第8講重積分的應用第10章重積分及其應用主講教師|高等數(shù)學（下冊）（慕課版）本講內(nèi)容重積分在物理中的應用02重積分在幾何中的應用01301重積分在幾何中的應用設??為坐標平面上的有界閉區(qū)域,則??的面積

1.面積D

4求由

確定的平面圖形的面積.例10.31解??例1由

得

解得交點：

01重積分在幾何中的應用xO5(1)?設曲面

則曲面Σ的面積為(2)?若

則

01重積分在幾何中的應用2.空間曲面的面積6(3)?若

則

01重積分在幾何中的應用7解??例2求半徑是R的球面的面積.球面關于坐標面對稱,取上半球面方程為則它在xoy面上的投影區(qū)域Dxy={(x,y)|x2+y2≤R2}.因為

01重積分在幾何中的應用8

所以球面面積.

01重積分在幾何中的應用9

01重積分在幾何中的應用10解??例3計算球面

被平面

截出的頂部的面積.例10.32Σ的方程

Σ在x??y面上的投影區(qū)域為Dxy是圓形閉區(qū)域:

01重積分在幾何中的應用11

Dxyh????Σ??xOyz01重積分在幾何中的應用12設Ω為空間有界閉區(qū)域,則Ω的體積為

01重積分在幾何中的應用3.體積13解??例4求由圓柱面

和

例10.33

01重積分在幾何中的應用OxDOxy14解??例5求曲面

上點

處的切平面與曲面

所圍空間區(qū)域的體積??.記曲面

曲面

先求曲面Σ在點

處的切平面方程Σ在點

處的法向量

切平面方程為2???2??????1=0.01重積分在幾何中的應用15則切平面與曲面??的交線

交線在??????面上的投影

即

01重積分在幾何中的應用16

令

01重積分在幾何中的應用本講內(nèi)容重積分在物理中的應用02重積分在幾何中的應用011802重積分在物理中的應用質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力重積分在物理中的應用包括：19解??例6所圍的立體.其在任意點（x,y,z）處的密度等于該點的豎坐標.求其質(zhì)量.

是球面與拋物線

質(zhì)量利用柱面坐標系,由

知交線為

02重積分在物理中的應用20解得z=1,

在xOy面的投影區(qū)域為D,如圖10.52所示.則圖10.5202重積分在物理中的應用

所求質(zhì)量

21解??例7求位于兩圓

和

之間的均勻薄片的重心(??＜b).設薄片的密度為,因為均勻薄片關于x軸對稱,故=0.如圖10.54所示.

圖10.5402重積分在物理中的應用22均勻薄片的質(zhì)量從而

==

02重積分在物理中的應用23而

02重積分在物理中的應用24所以故所求重心為

==

02重積分在物理中的應用??例8在任意點(??,??,??)的密度等于該點到原點的距離的平方,求其重心.已知球體

25解例10.36球面

球心為(0,0,??),密度函數(shù)為

設Ω的重心位置為

02重積分在物理中的應用26

由對稱性得

02重積分在物理中的應用27分母

02重積分在物理中的應用

28分子

02重積分在物理中的應用29

02重積分在物理中的應用因此球體Ω的重心位置為

30解??例9選取坐標系如圖10.55所示,則薄片所占區(qū)域為圖10.55

02重積分在物理中的應用xyO??-??

31于是所求轉(zhuǎn)動慣量為半圓薄片關于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix其中是半圓薄片的質(zhì)量.

Ix

02重積分在物理中的應用

32解??例10求密度為1的均勻球體

對各坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量.由輪換對稱性知

三式相加得

例10.3802重積分在物理中的應用33

02重積分在物理中的應用34解??例11如圖10.56所示.薄片對軸上單位質(zhì)點的引力

02重積分在物理中的應用圖10.56

35引力的元素為dF=

于是

02重積分在物理中的應用G為萬有引力常數(shù),引力微元的方向為{x,y,-??},將其單元化為36所以

02重積分在物理中的應用37薄片對z軸上單位質(zhì)點的引力為

特別取面密度為常量、半徑為R的均勻圓形薄片：

02重積分在物理中的應用38對位于z軸上的點M0(0,0,??)(??＞0）處的單位質(zhì)點的引力：由積分區(qū)域的對稱性知,Fx=Fy=0.

02重積分在物理中的應用39

所以02重積分在物理中的應用

40??例12在計算導彈、衛(wèi)星的軌道時需了解飛行體在地球上空不同高度所受的地球引力.設地球半徑為R,體密度為（常數(shù)）,飛行體的質(zhì)量為m,且距離地球高度為h,求地球?qū)︼w行體的引力.

圖10.5702重積分在物理中的應用41解以地球中心為坐標原點,質(zhì)點（飛行體）位于z軸上,建立如圖10.57所示的直角坐標系,則地球占空間區(qū)域Ω為質(zhì)點M（0,0,??）(??=R+h)球體.

對z軸上質(zhì)點的引力F={Fx,Fy,Fz}引力微元的方向為{x,y,z,-??},將其單位化,單位向量為02重積分在物理中的應用42則

02重積分在物理中的應用

43

02重積分在物理中的應用44根據(jù)對稱性、