高一上學(xué)期可能與數(shù)學(xué)試題一、集合與常用邏輯用語(yǔ)（一）集合的基本概念與運(yùn)算例題1：已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|x^2-ax+a-1=0})，若(A\cupB=A)，求實(shí)數(shù)(a)的值。解析：解方程(x^2-3x+2=0)，得(A={1,2})；由(A\cupB=A)可知(B\subseteqA)，則(B)可能為(\varnothing)、({1})、({2})或({1,2})；當(dāng)(B={1})時(shí)，方程(x^2-ax+a-1=0)有兩個(gè)相等實(shí)根1，由韋達(dá)定理得(a=2)；當(dāng)(B={2})時(shí)，代入方程得(4-2a+a-1=0)，解得(a=3)，此時(shí)方程為(x^2-3x+2=0)，(B={1,2})，與假設(shè)矛盾；當(dāng)(B=A)時(shí)，由韋達(dá)定理得(a=3)，符合題意；當(dāng)(B=\varnothing)時(shí)，判別式(\Delta=a^2-4(a-1)=(a-2)^2<0)，無(wú)解。綜上，(a=2)或(a=3)。（二）常用邏輯用語(yǔ)例題2：已知命題(p)：“(\forallx\inR)，(x^2+mx+1>0)”，命題(q)：“(\existsx\inR)，(x^2+2x-m-1=0)”，若(p\landq)為真命題，求實(shí)數(shù)(m)的取值范圍。解析：命題(p)為真時(shí)，(\Delta=m^2-4<0)，即(-2<m<2)；命題(q)為真時(shí)，(\Delta=4+4(m+1)\geq0)，即(m\geq-2)；由(p\landq)為真，得(\begin{cases}-2<m<2\m\geq-2\end{cases})，解得(-2<m<2)。二、一元二次函數(shù)、方程和不等式（一）二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)例題3：已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)在區(qū)間([-1,2])上的最小值為(1)，求實(shí)數(shù)(a)的值。解析：函數(shù)對(duì)稱軸為(x=a)，開口向上；當(dāng)(a<-1)時(shí)，(f(x))在([-1,2])上單調(diào)遞增，(f(-1)=1+2a+3=1)，解得(a=-\frac{3}{2})（符合題意）；當(dāng)(-1\leqa\leq2)時(shí)，(f(a)=a^2-2a^2+3=3-a^2=1)，解得(a=\pm\sqrt{2})，其中(a=\sqrt{2}\in[-1,2])；當(dāng)(a>2)時(shí)，(f(x))在([-1,2])上單調(diào)遞減，(f(2)=4-4a+3=1)，解得(a=\frac{3}{2})（舍去）。綜上，(a=-\frac{3}{2})或(a=\sqrt{2})。（二）不等式的解法例題4：解關(guān)于(x)的不等式(ax^2-(a+1)x+1<0)（(a\inR)）。解析：當(dāng)(a=0)時(shí)，不等式化為(-x+1<0)，解得(x>1)；當(dāng)(a>0)時(shí)，因式分解得((ax-1)(x-1)<0)，方程(ax^2-(a+1)x+1=0)的根為(x_1=\frac{1}{a})，(x_2=1)：若(a=1)，不等式化為((x-1)^2<0)，無(wú)解；若(a>1)，則(\frac{1}{a}<1)，解集為((\frac{1}{a},1))；若(0<a<1)，則(\frac{1}{a}>1)，解集為((1,\frac{1}{a}))；當(dāng)(a<0)時(shí)，不等式化為((ax-1)(x-1)<0)，此時(shí)(\frac{1}{a}<1)，解集為((-\infty,\frac{1}{a})\cup(1,+\infty))。三、函數(shù)的概念與性質(zhì)（一）函數(shù)的定義域與值域例題5：求函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{\log_2(x-1)})的定義域。解析：需滿足(\begin{cases}x^2-4\geq0\x-1>0\\log_2(x-1)\neq0\end{cases})，解得(\begin{cases}x\leq-2或x\geq2\x>1\x\neq2\end{cases})，故定義域?yàn)?(2,+\infty))。（二）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性例題6：已知函數(shù)(f(x))是定義在(R)上的奇函數(shù)，且在([0,+\infty))上單調(diào)遞增，若(f(a-1)+f(2a)<0)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解析：由奇函數(shù)性質(zhì)得(f(a-1)<-f(2a)=f(-2a))；因(f(x))在(R)上單調(diào)遞增，故(a-1<-2a)，解得(a<\frac{1}{3})。四、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)冪與對(duì)數(shù)運(yùn)算例題7：已知(\log_35=a)，(5^b=7)，用(a,b)表示(\log_{63}105)。解析：由(\log_35=a)得(5=3^a)，由(5^b=7)得(7=5^b=3^{ab})；(\log_{63}105=\frac{\log_3105}{\log_363}=\frac{\log_3(3\times5\times7)}{\log_3(7\times9)}=\frac{1+\log_35+\log_37}{2+\log_37}=\frac{1+a+ab}{2+ab})。（二）函數(shù)圖像與性質(zhì)綜合應(yīng)用例題8：已知函數(shù)(f(x)=|2^x-1|)，若(a<b<c)且(f(a)=f(b)=f(c))，求證：(2^a+2^b=2)，且(2^a+2^b+2^c>3)。解析：函數(shù)(f(x))在((-\infty,0))上單調(diào)遞減，在((0,+\infty))上單調(diào)遞增，圖像最低點(diǎn)為((0,0))；由(f(a)=f(b))（(a<b<0)）得(1-2^a=2^b-1)，即(2^a+2^b=2)；由(f(b)=f(c))（(c>0)）得(2^b-1=2^c-1)，即(2^c=2^b)，但(b<c)，故(2^c>2^b)，則(2^a+2^b+2^c=2+2^c>2+1=3)。五、三角函數(shù)（一）三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式例題9：已知角(\alpha)的終邊過(guò)點(diǎn)(P(-3,4))，求(\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\tan(-\alpha+\pi)}{\sin(\pi+\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)})的值。解析：由三角函數(shù)定義得(\sin\alpha=\frac{4}{5})，(\cos\alpha=-\frac{3}{5})；原式(=\frac{\sin\alpha\cdot\cos\alpha\cdot(-\tan\alpha)}{(-\sin\alpha)(-\sin\alpha)}=\frac{-\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\sin^2\alpha}=-1)。（二）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例題10：已知函數(shù)(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分圖像如圖所示，求其解析式。解析：由圖像知(A=2)，周期(T=4\times(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12})=\pi)，故(\omega=2)；將點(diǎn)((\frac{\pi}{12},2))代入得(2\sin(2\times\frac{\pi}{12}+\varphi)=2)，即(\sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)=1)，解得(\varphi=\frac{\pi}{3})；解析式為(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3}))。（三）三角恒等變換例題11：化簡(jiǎn)(\frac{\sin(\alpha+\beta)-2\sin\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)})。解析：原式(=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-2\sin\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}=\frac{-\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta}=\frac{-\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=-\tan(\alpha-\beta))。六、綜合應(yīng)用題例題12：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10元，已知總收益(R)（單位：元）與年產(chǎn)量(x)（單位：件）的關(guān)系是(R(x)=\begin{cases}40x-\frac{1}{2}x^2,&0\leqx\leq400\80000,&x>400\end{cases})，問(wèn)年產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解析：總成本函數(shù)(C(x)=2000+10x)，總利潤(rùn)函數(shù)(L(x)=R(x)-C(x))；當(dāng)(0\leqx\leq400)時(shí)，(L(x)=-\frac{1}{2}x^2+30x-2000)，對(duì)稱軸為(x=30)，此時(shí)(L(30)=-\frac{1}{2}\times900+900-2000=-450+900-2000=-1550)（虧損）；當(dāng)(x>400)時(shí)，(L(x)=80000-10x-2000=78000-10x)，此時(shí)(L(x))單調(diào)遞減，(L(400)=78000-4000=74000)；綜上，年產(chǎn)量為400件時(shí)，最大利潤(rùn)為74000元。例題13：已知函數(shù)(f(x)=\log_a(1-x)+\log_a(x+3))（(a>0)且(a\neq1)）。（1）求函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)的最小值為-2，求(a)的值。解析：（1）由(\begin{cases}1-x>0\x+3>0\end{cases})得定義域?yàn)?(-3,1))；（2）(f(x)=\log_a[(1-x)(x+3)]=\log_a(-x^2-2x+3))，令(t=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4)，(t\in(0,4])；當(dāng)(a>1)時(shí)，(f(x)_{\min}=\log_a4=-2)，無(wú)解；當(dāng)(0<a<1)時(shí)，(f(x)_{\min}=\log_a4=-2)，即(a^{-2}=4)，解得(a=\frac{1}{2})。七、易錯(cuò)點(diǎn)與解題技巧總結(jié)集合運(yùn)算中空集的特殊性：涉及子集關(guān)系時(shí)需優(yōu)先考慮空集情況，如例題1中對(duì)(B=\varnothing)的討論。含參不等式的分類討論：需根據(jù)參數(shù)符號(hào)、根的大小關(guān)系分層討論，如例題