高一上學(xué)期電視與數(shù)學(xué)試題電視作為現(xiàn)代生活中不可或缺的媒介，其與數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合正在重塑傳統(tǒng)的解題思路與教學(xué)模式。在高一上學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，集合、函數(shù)、不等式等核心概念，都能通過(guò)電視場(chǎng)景構(gòu)建出直觀且富有挑戰(zhàn)性的試題情境，使抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)轉(zhuǎn)化為可感知的生活問(wèn)題。以下從多個(gè)維度展開(kāi)電視與數(shù)學(xué)試題的深度融合，展示如何利用電視元素設(shè)計(jì)創(chuàng)新性題目，并通過(guò)解題過(guò)程培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用能力。一、電視節(jié)目中的集合概念應(yīng)用某電視臺(tái)在黃金時(shí)段（19:00-22:00）安排了三類節(jié)目：新聞?lì)悾ˋ）、綜藝類（B）、體育類（C）。已知新聞?lì)惞?jié)目每天播出2小時(shí)，綜藝類節(jié)目每?jī)商觳コ鲆淮吻颐看?.5小時(shí)，體育類節(jié)目每周播出3次且每次1小時(shí)。若將一周內(nèi)每天的節(jié)目安排視為一個(gè)集合，試解答下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：用列舉法表示周一播出的節(jié)目集合M，其中元素為節(jié)目類型與播出時(shí)長(zhǎng)的有序?qū)?。解析：根?jù)題意，需明確各類節(jié)目在周一的播出情況。新聞?lì)惷咳毡夭?小時(shí)，綜藝類每?jī)商觳コ鲆淮危僭O(shè)從周一開(kāi)始），周一播出1.5小時(shí)，體育類每周三次（假設(shè)周一、三、五播出），周一播出1小時(shí)。因此集合M={(新聞,2),(綜藝,1.5),(體育,1)}。問(wèn)題2：設(shè)全集U為一周內(nèi)所有節(jié)目類型構(gòu)成的集合，若A∩B={周二、周四}，B∪C={周一、二、三、四、五}，求C的補(bǔ)集?UC。解析：全集U={周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日}。由B∪C={周一、二、三、四、五}可知，C的元素必在這五天中；又因A∩B={周二、周四}，說(shuō)明綜藝類（B）僅在周二、四播出，故體育類（C）只能在周一、三、五播出。因此?UC={周六,周日}。問(wèn)題3：若觀眾對(duì)節(jié)目滿意度調(diào)查顯示，喜歡新聞?lì)惞?jié)目的觀眾集合X={15-25歲,45-60歲}，喜歡綜藝類的集合Y={15-35歲}，求X∩Y的區(qū)間表示，并說(shuō)明其demographic意義。解析：X∩Y={15-25歲}，表示15至25歲年齡段的觀眾同時(shí)喜歡新聞與綜藝類節(jié)目，這個(gè)交集區(qū)間反映了兩類節(jié)目受眾的重疊部分。二、電視信號(hào)傳播中的函數(shù)模型某電視塔的信號(hào)覆蓋范圍呈圓形，其信號(hào)強(qiáng)度y（單位：dB）與距離電視塔的距離x（單位：km）滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.5x2+10x+50（x≥0）?；诖四Ｐ徒獯鹣铝袉?wèn)題：?jiǎn)栴}1：求該函數(shù)的定義域與值域，并說(shuō)明實(shí)際意義。解析：定義域?yàn)閤≥0。通過(guò)配方得y=-0.5(x-10)2+100，當(dāng)x=10時(shí)y取得最大值100dB；當(dāng)y=0時(shí)，解方程-0.5x2+10x+50=0得x=10+10√2≈24.14km（負(fù)值舍去）。故值域?yàn)閇0,100]，表示信號(hào)從塔底50dB開(kāi)始增強(qiáng)，在10km處達(dá)到最強(qiáng)100dB，之后逐漸衰減，直至24.14km處信號(hào)消失。問(wèn)題2：若某居民區(qū)距離電視塔8km，現(xiàn)有兩種信號(hào)增強(qiáng)方案：方案一將函數(shù)圖像向上平移5個(gè)單位，方案二將函數(shù)圖像向右平移2個(gè)單位。通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪種方案能使該居民區(qū)獲得更強(qiáng)的信號(hào)。解析：原函數(shù)在x=8時(shí)的函數(shù)值為y=-0.5×82+10×8+50=78dB。方案一平移后函數(shù)為y=-0.5x2+10x+55，x=8時(shí)y=83dB；方案二平移后函數(shù)為y=-0.5(x-2)2+10(x-2)+50=-0.5x2+12x+28，x=8時(shí)y=-0.5×64+96+28=88dB。因此方案二效果更好。問(wèn)題3：若另一電視塔的信號(hào)強(qiáng)度函數(shù)為y=-0.4x2+8x+60，求兩座電視塔信號(hào)強(qiáng)度相等的位置坐標(biāo)，并判斷距離較近的電視塔。解析：令-0.5x2+10x+50=-0.4x2+8x+60，整理得0.1x2-2x+10=0，判別式Δ=4-4=0，x=10km處兩信號(hào)強(qiáng)度相等，均為100dB。此時(shí)距離兩座塔均為10km，距離相等。三、電視節(jié)目編排中的不等式應(yīng)用某電視臺(tái)每周一至周五的晚間節(jié)目表需滿足以下條件：①新聞節(jié)目（N）時(shí)長(zhǎng)x分鐘，滿足30≤x≤60②電視劇（D）時(shí)長(zhǎng)y分鐘，滿足45≤y≤90③廣告（A）時(shí)長(zhǎng)z分鐘，滿足15≤z≤30④總時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)180分鐘：x+y+z≤180問(wèn)題1：若某天安排新聞30分鐘，廣告20分鐘，求電視劇時(shí)長(zhǎng)y的取值范圍，并在數(shù)軸上表示解集。解析：代入已知條件得30+y+20≤180?y≤130，結(jié)合y≥45，故45≤y≤90（因電視劇最大時(shí)長(zhǎng)限制為90分鐘）。數(shù)軸表示為從45到90的閉區(qū)間。問(wèn)題2：若廣告時(shí)長(zhǎng)是新聞時(shí)長(zhǎng)的1/2，求x、y、z的整數(shù)解，使電視劇時(shí)長(zhǎng)最長(zhǎng)。解析：由z=0.5x，代入總時(shí)長(zhǎng)不等式x+y+0.5x≤180?y≤180-1.5x。要使y最大，需1.5x最小，x最小為30分鐘（新聞最短時(shí)長(zhǎng)），此時(shí)z=15分鐘，y=180-45=135分鐘，但電視劇最大時(shí)長(zhǎng)為90分鐘，故取y=90，此時(shí)1.5x=180-90=90?x=60分鐘，z=30分鐘。整數(shù)解為x=60,y=90,z=30。問(wèn)題3：建立以x為橫軸、y為縱軸的坐標(biāo)系，畫(huà)出所有可能（x,y）的可行域，并求出該區(qū)域的面積。解析：根據(jù)條件可得不等式組：30≤x≤6045≤y≤90x+y≤165（因z≥15）x+y≥90（因z≤30）可行域?yàn)榫匦螀^(qū)域內(nèi)的梯形，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(30,45)、(60,45)、(60,90)、(30,90)，但需扣除x+y<90和x+y>165的部分。實(shí)際可行域面積計(jì)算：大矩形面積(60-30)×(90-45)=1350，減去兩個(gè)三角形面積。當(dāng)x=30時(shí)，y≥60（90-30）；x=60時(shí)，y≥30（90-60），但因y≥45，故實(shí)際可行域?yàn)橥暾匦?，面積1350平方單位。四、電視收視率統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)分析某電視劇開(kāi)播后，前6周的周收視率（%）如下表所示：|周次|1|2|3|4|5|6||------|---|---|---|---|---|---||收視率|1.2|1.8|2.5|2.1|1.9|1.5|問(wèn)題1：計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和方差（精確到0.01）。解析：平均數(shù)=(1.2+1.8+2.5+2.1+1.9+1.5)/6≈1.83；排序后為1.2,1.5,1.8,1.9,2.1,2.5，中位數(shù)=(1.8+1.9)/2=1.85；方差=[(1.2-1.83)2+...+(1.5-1.83)2]/6≈0.19。問(wèn)題2：用最小二乘法求收視率y關(guān)于周次x的線性回歸方程y=bx+a，并預(yù)測(cè)第7周的收視率。解析：計(jì)算得Σx=21，Σy=11，Σxy=38.3，Σx2=91，n=6。b=(6×38.3-21×11)/(6×91-212)=(229.8-231)/(546-441)=(-1.2)/105≈-0.011a=11/6-(-0.011)×21/6≈1.83+0.0385≈1.87回歸方程y=-0.011x+1.87，第7周預(yù)測(cè)值y≈-0.077+1.87≈1.79%。問(wèn)題3：若收視率超過(guò)2%的周次被定義為“熱播周”，在該電視劇后續(xù)播出的4周中，隨機(jī)抽取2周，求恰有1周為“熱播周”的概率。解析：由回歸方程預(yù)測(cè)后4周收視率分別約為1.79,1.78,1.77,1.76，均低于2%，故熱播周概率為0，所求概率為0。五、電視屏幕中的幾何計(jì)算某品牌4K電視屏幕的長(zhǎng)與寬之比為16:9，對(duì)角線長(zhǎng)度為55英寸（1英寸≈2.54厘米）。解答下列問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：求屏幕的長(zhǎng)和寬（精確到1厘米）。解析：設(shè)長(zhǎng)16k，寬9k，由勾股定理(16k)2+(9k)2=(55×2.54)2?337k2≈(139.7)2?k≈139.7/√337≈7.67長(zhǎng)=16×7.67≈123厘米，寬=9×7.67≈69厘米。問(wèn)題2：若播放4:3比例的老電影，計(jì)算上下黑邊的總面積（屏幕面積保留兩位小數(shù)）。解析：屏幕面積=123×69≈8487平方厘米。4:3比例下，寬度69厘米時(shí)，高度=69×3/4=51.75厘米，上下黑邊高度=(69-51.75)=17.25厘米，黑邊面積=123×17.25≈2121.75平方厘米。問(wèn)題3：若屏幕分辨率為3840×2160像素，計(jì)算每平方厘米的像素?cái)?shù)（精確到整數(shù)）。解析：總像素=3840×2160=8294400，像素密度=8294400/8487≈977像素/平方厘米。六、電視廣告投放的優(yōu)化問(wèn)題某企業(yè)計(jì)劃在A、B兩個(gè)電視臺(tái)投放廣告，A臺(tái)廣告每次收費(fèi)1000元，收視率為3%；B臺(tái)廣告每次收費(fèi)800元，收視率為2%。該企業(yè)每周廣告預(yù)算不超過(guò)10000元，且A臺(tái)投放次數(shù)不超過(guò)B臺(tái)的2倍。問(wèn)題1：設(shè)A臺(tái)投放x次，B臺(tái)投放y次，列出x、y滿足的約束條件，并畫(huà)出可行域。解析：約束條件為：1000x+800y≤10000?5x+4y≤50x≤2yx,y∈N*可行域?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)由直線5x+4y=50、x=2y及坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域。問(wèn)題2：求每周廣告覆蓋人數(shù)的最大值（假設(shè)總?cè)丝跒?00萬(wàn)，收視率=覆蓋人數(shù)/總?cè)丝冢?。解析：覆蓋人數(shù)=100萬(wàn)×(3%x+2%y)=10000(3x+2y)。目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y，在可行域頂點(diǎn)處取得最值。聯(lián)立5x+4y=50與x=2y得x=5,y=2.5（非整數(shù)），取鄰近整數(shù)點(diǎn)(6,2)：z=18+4=22；(4,5)：z=12+10=22；(10,0)：z=30（但5×10=50≤50，x=10,y=0時(shí)z=30）。故最大覆蓋人數(shù)=10000×30=300000人。問(wèn)題3：若B臺(tái)推出優(yōu)惠活動(dòng)，投放超過(guò)5次后，從第6次起每次收費(fèi)600元，求此時(shí)的最優(yōu)投放方案。解析：分情況討論：當(dāng)y≤5時(shí)，約束條件不變；當(dāng)y>5時(shí)，預(yù)算變?yōu)?000x+800×5+600(y-5)≤10000?1000x+600y≤7000?5x+3y≤35。結(jié)合x(chóng)≤2y，通過(guò)枚舉得最優(yōu)解x=4,y=5時(shí)z=22；x=2,y=9時(shí)（5×2+3×9=37>35，不可行）；x=1,y=10時(shí)5+30=35，z=3+20=23，覆蓋人數(shù)230000人，仍小于x=10,y=