在數(shù)學(xué)的世界里，數(shù)與數(shù)之間存在著多種奇妙的關(guān)系，最大公因數(shù)（GCD）和最小公倍數(shù)（LCM）便是其中最為基礎(chǔ)也最為重要的兩種。無(wú)論是分?jǐn)?shù)的約分、通分，還是解決實(shí)際生活中的分配、周期問(wèn)題，它們都扮演著不可或缺的角色。掌握最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的概念、性質(zhì)及求解方法，是提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和解決問(wèn)題能力的關(guān)鍵一步。本次專項(xiàng)練習(xí)旨在幫助你鞏固相關(guān)知識(shí)，熟練運(yùn)用各種技巧，真正做到融會(huì)貫通。一、概念回顧與核心方法梳理在開始練習(xí)之前，讓我們簡(jiǎn)要回顧一下核心概念與方法，確保我們?cè)谕黄鹋芫€上。1.最大公因數(shù)（GCD）幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)中，最大的那個(gè)因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。例如，對(duì)于12和18，它們的公因數(shù)有1、2、3、6，其中最大的是6，所以12和18的最大公因數(shù)是6。核心求解方法：*短除法：這是最常用的方法之一。將所有數(shù)同時(shí)除以它們的公有質(zhì)因數(shù)，直到所得的商互質(zhì)為止，然后把所有的除數(shù)相乘，其積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。*列舉法：分別列出每個(gè)數(shù)的所有因數(shù)，再找出它們共有的因數(shù)中最大的那個(gè)。這種方法直觀，但對(duì)于較大的數(shù)效率較低。2.最小公倍數(shù)（LCM）幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)中，最小的那個(gè)倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如，對(duì)于4和6，它們的公倍數(shù)有12、24、36……其中最小的是12，所以4和6的最小公倍數(shù)是12。核心求解方法：*短除法：同樣適用。將所有數(shù)同時(shí)除以它們的公有質(zhì)因數(shù)，然后繼續(xù)用所得商的公有質(zhì)因數(shù)去除（如果有的話），直到商兩兩互質(zhì)為止。最后，把所有的除數(shù)和最后的商相乘，其積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。*利用最大公因數(shù)：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a和b，存在一個(gè)重要的關(guān)系：`a×b=GCD(a,b)×LCM(a,b)`。因此，`LCM(a,b)=(a×b)/GCD(a,b)`。這個(gè)關(guān)系在已知最大公因數(shù)的情況下，能快速求出最小公倍數(shù)。二、專項(xiàng)練習(xí)第一部分：基礎(chǔ)鞏固（直接求解）1.求下列每組數(shù)的最大公因數(shù)：*15和20*24和36*18和27*9和16（思考：這兩個(gè)數(shù)有什么特殊關(guān)系？）2.求下列每組數(shù)的最小公倍數(shù)：*6和8*12和15*7和9（思考：這兩個(gè)數(shù)有什么特殊關(guān)系？）*16和24第二部分：進(jìn)階提升（綜合應(yīng)用與拓展）3.用一個(gè)數(shù)去除30、45、60都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？（提示：此數(shù)為這三個(gè)數(shù)的公因數(shù)中最大的那個(gè)）4.一個(gè)數(shù)能同時(shí)被12和18整除，這個(gè)數(shù)最小是多少？（提示：此數(shù)為這兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)中最小的那個(gè)）5.已知兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是36，其中一個(gè)數(shù)是12，另一個(gè)數(shù)是多少？（提示：運(yùn)用a×b=GCD(a,b)×LCM(a,b)的關(guān)系）6.有一些糖果，平均分給4個(gè)小朋友或6個(gè)小朋友都正好分完，這些糖果至少有多少顆？如果糖果數(shù)量在30到40之間，那么有多少顆？7.一塊長(zhǎng)方形布料，長(zhǎng)48分米，寬36分米。要把它裁成同樣大小的正方形且沒(méi)有剩余，正方形布料的邊長(zhǎng)最大是多少分米？能裁成多少塊這樣的正方形？8.甲、乙、丙三人從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲每6天去一次圖書館，乙每8天去一次，丙每12天去一次。如果他們?nèi)四程焱瑫r(shí)在圖書館相遇，那么至少再過(guò)多少天他們?nèi)藭?huì)再次同時(shí)在圖書館相遇？9.求12、18和24這三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。（提示：短除法同樣適用于三個(gè)數(shù)，求GCD時(shí)，需除到所有數(shù)的商互質(zhì)；求LCM時(shí)，需除到任意兩個(gè)商之間都互質(zhì)）10.判斷對(duì)錯(cuò)，并說(shuō)明理由：*兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)一定比這兩個(gè)數(shù)都小。*兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)一定比這兩個(gè)數(shù)都大。*兩個(gè)數(shù)的積一定是這兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。三、參考答案與思路提示第一部分：基礎(chǔ)鞏固1.最大公因數(shù)：*15和20：5（15的因數(shù)：1,3,5,15；20的因數(shù)：1,2,4,5,10,20；公有最大為5）*24和36：12（短除法：24=2×2×2×3，36=2×2×3×3，公有質(zhì)因數(shù)2×2×3=12）*18和27：9（短除法：18=2×3×3，27=3×3×3，公有質(zhì)因數(shù)3×3=9）*9和16：1（兩數(shù)互質(zhì)，公因數(shù)只有1）2.最小公倍數(shù)：*6和8：24（短除法：6=2×3，8=2×2×2，LCM=2×2×2×3=24）*12和15：60（短除法：12=2×2×3，15=3×5，LCM=2×2×3×5=60）*7和9：63（兩數(shù)互質(zhì)，LCM=7×9=63）*16和24：48（短除法或利用GCD：GCD(16,24)=8，LCM=(16×24)/8=48）第二部分：進(jìn)階提升3.這個(gè)數(shù)最大是15。思路：求30、45、60的最大公因數(shù)。短除法可得GCD為15。4.這個(gè)數(shù)最小是36。思路：求12和18的最小公倍數(shù)。LCM(12,18)=36。5.另一個(gè)數(shù)是18。思路：設(shè)另一個(gè)數(shù)為x，則12×x=6×36，解得x=(6×36)/12=18。6.至少有12顆；30到40之間有36顆。思路：求4和6的最小公倍數(shù)，LCM(4,6)=12。30到40之間12的倍數(shù)是36。7.正方形邊長(zhǎng)最大是12分米；能裁成12塊。思路：邊長(zhǎng)最大即求48和36的GCD，為12分米。塊數(shù)：(48÷12)×(36÷12)=4×3=12塊。8.至少再過(guò)24天。思路：求6、8、12的LCM，為24天。9.最大公因數(shù)是6；最小公倍數(shù)是72。思路：*GCD(12,18,24)：用短除法，公有質(zhì)因數(shù)2和3，GCD=2×3=6。*LCM(12,18,24)：短除法除到兩兩互質(zhì)，LCM=2×2×3×2×3=72。10.判斷對(duì)錯(cuò)：*錯(cuò)。例如：2和4的最大公因數(shù)是2，并不比其中一個(gè)數(shù)（2）小。*錯(cuò)。例如：2和4的最小公倍數(shù)是4，并不比其中一個(gè)數(shù)（4）大。*對(duì)。因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的積一定是這兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)，所以也是它們的公倍數(shù)（但不一定是最小公倍數(shù)）。四、總結(jié)與反思最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的學(xué)習(xí)，不僅僅是掌握幾種計(jì)算方法，更重要的是理解其內(nèi)在含義，并能靈活運(yùn)用于解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)本次練習(xí)，希望你能：*深化理解：真正明白GCD是“公有的因數(shù)中最大的”，LCM是“公有的倍數(shù)中最小的”。*熟練方法：短除法是基礎(chǔ)，務(wù)必掌握；兩數(shù)關(guān)系公式（a×b=GCD×LCM）是捷徑，學(xué)會(huì)妙用。*聯(lián)系