1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞1.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義,提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.掌握判斷全稱量詞命題與存在量詞命題真假的方法,提升邏輯推理的核心素養(yǎng).【課程標(biāo)準(zhǔn)要求】必備知識·歸納落實(shí)知識點(diǎn)一全稱量詞與全稱量詞命題知識歸納全稱量詞定義短語“

”“

”在邏輯中通常叫做全稱量詞符號表示全稱量詞命題定義含有

量詞的命題,叫做全稱量詞命題一般形式對M中

x,p(x)成立符號表示

,p(x)所有的任意一個(gè)?全稱任意一個(gè)?x∈M知識點(diǎn)二存在量詞與存在量詞命題存在量詞定義短語“

”“

”在邏輯中通常叫做存在量詞符號表示存在量詞命題定義含有

量詞的命題,叫做存在量詞命題一般形式

M中的元素x,p(x)成立符號表示

,p(x)存在一個(gè)至少有一個(gè)?存在存在?x∈M·疑難解惑·從集合的觀點(diǎn)看,全稱量詞命題是陳述某集合中的所有元素都具有某種性質(zhì)的命題,全稱量詞表示的數(shù)量可能是有限的,也可能是無限的.存在量詞命題是陳述某集合中有或存在一些或至少一個(gè)元素具有某種性質(zhì)的命題.基礎(chǔ)自測1.下列命題中的存在量詞命題是(

)[A]所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)[B]每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上[C]有的三角形是等邊三角形[D]任意兩個(gè)等邊三角形都相似C【解析】

對于A,含有量詞“所有”,為全稱量詞命題,故A錯(cuò)誤;對于B,含有量詞“每一個(gè)”,為全稱量詞命題,故B錯(cuò)誤;對于C,含有量詞“有的”,為存在量詞命題,故C正確;對于D,含有量詞“任意”,為全稱量詞命題,故D錯(cuò)誤.故選C.2.(人教A版必修第一冊P28練習(xí)T1改編)下列命題為全稱量詞命題的是(

)[A]有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)[B]有的有理數(shù)的立方是無理數(shù)[C]存在一個(gè)三角形,它的三個(gè)角都是銳角[D]任意三角形的內(nèi)角和都是180°D【解析】

對于選項(xiàng)A,為存在量詞命題;對于選項(xiàng)B,為存在量詞命題;對于選項(xiàng)C,為存在量詞命題;對于選項(xiàng)D,為全稱量詞命題.故選D.3.下列命題與“?x∈R,x2+1≥1”的表述意義一致的是(

)[A]有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2+1<1成立[B]有些實(shí)數(shù)x,使得x2+1≥1成立[C]不存在實(shí)數(shù)x,使得x2+1<1成立[D]有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)x,使得x2+1≥1成立C【解析】

與“?x∈R,x2+1≥1”表述一致的是“不存在實(shí)數(shù)x,使得x2+1<1成立”.故選C.4.將“存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使2x2-1≥0”用“?”或“?”符號簡記為

.

?x∈R,2x2-1≥0【解析】

含有存在量詞,選擇符號“?”,簡記為?x∈R,2x2-1≥0.關(guān)鍵能力·素養(yǎng)培優(yōu)[例1]

判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.(1)有些實(shí)數(shù)是無理數(shù);題型一全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷【解】

(1)含有存在量詞“有些”,所以命題(1)是存在量詞命題.(2)每一個(gè)正方形都是平行四邊形;【解】

(2)含有全稱量詞“每一個(gè)”,所以命題(2)是全稱量詞命題.(3)?x∈R,x2+4x+4≤0;【解】

(3)含有存在量詞“?”,所以命題(3)是存在量詞命題.(4)?x∈N,2x是偶數(shù);【解】

(4)含有全稱量詞“?”,所以命題(4)是全稱量詞命題.(5)方程2x+1=0有整數(shù)解.【解】

(5)省略存在量詞,可以改寫為“?x∈Z,2x+1=0”,所以命題(5)是存在量詞命題.·解題策略·(1)判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,關(guān)鍵是看命題中含有全稱量詞還是存在量詞.(2)要注意有些全稱量詞命題與存在量詞命題中的量詞是省略的,這時(shí)要根據(jù)命題涉及的意義去添補(bǔ)量詞再判斷,對于同一個(gè)全稱量詞命題或存在量詞命題的表述方法可能不同.[變式訓(xùn)練]

指出下列命題中的全稱量詞或存在量詞,并用量詞符號“?”或“?”表示下列命題.(1)任意實(shí)數(shù)x都能使|x|+1>0成立;【解】

(1)“任意”是全稱量詞;?x∈R,|x|+1>0.(2)對所有實(shí)數(shù)a,b,方程ax+b=0恰有一個(gè)解;【解】

(2)“所有”是全稱量詞;?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一個(gè)解.(3)存在整數(shù)x,y,使得3x-2y=10成立;【解】

(3)“存在”是存在量詞;?x,y∈Z,3x-2y=10.(4)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)m,使得m與m的倒數(shù)之和等于1.題型二全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷[例2]

(湘教版必修第一冊P20~21例7和例8)判斷下列命題的真假:(1)?x∈R,x2+2>0;【解】

(1)因?yàn)?x∈R,x2≥0,從而有x2+2≥2>0,即x2+2>0.因此(1)是真命題.(2)?x∈N,x4≥1;【解】

(2)因?yàn)?∈N,且當(dāng)x=0時(shí),x4≥1不成立,因此(2)是假命題.(4)?a≥3,a2=3a-2;【解】

(3)因?yàn)?∈Z且12=3×1-2,因此(3)是真命題.(4)?a≥3,a2=3a-2;【解】

(4)因?yàn)閍2=3a-2只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a=1或a=2,所以當(dāng)a≥3時(shí)a2≠3a-2.因此(4)是假命題.(5)設(shè)A,B,C是平面上不在同一直線上的三點(diǎn),在該平面上存在某個(gè)點(diǎn)P,使得PA=PB=PC.【解】

(5)以A,B,C為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形,三角形總有外接圓,設(shè)P是△ABC的外心,則PA=PB=PC.因此(5)是真命題.·解題策略·全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷技巧(1)全稱量詞命題真假的判斷:要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題,必須對限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立;但要判定全稱量詞命題是假命題,只需找出集合M中的一個(gè)x,使得

p(x)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”).(2)存在量詞命題真假的判斷:要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個(gè)x,使p(x)成立即可;否則,這一存在量詞命題就是假命題.[變式訓(xùn)練]

(多選)下列命題為真命題的是(

)[A]?x∈Q,|x|?Z[B]?x∈Z,使x同時(shí)被3和4整除[C]?x∈R,|x+1|>1[D]?x∈N,2x2-3x+1=0BD【解析】

對于A,當(dāng)x=1時(shí),|x|=1∈Z,故A錯(cuò)誤;對于B,當(dāng)x=12時(shí),x可同時(shí)被3和4整除,B正確;對于C,當(dāng)x=0時(shí),|x+1|=1,故C錯(cuò)誤;對于D,當(dāng)x=1時(shí),2x2-3x+1=0,故D正確.故選BD.[例3]

(1)已知命題p:?x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若p為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;題型三由含量詞命題的真假求參數(shù)【解】

(1)法一命題p為真命題,轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈{x|1≤x≤4}時(shí),x≥a恒成立,因此xmin≥a,即a≤1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤1}.法二命題p為真命題,轉(zhuǎn)化為{x|1≤x≤4}?{x|x≥a},所以a≤1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤1}.(2)已知命題q:?x∈{x|1≤x≤4},x-a≥0,若q為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解】

(2)法一命題q為真命題,轉(zhuǎn)化為x≥a在x∈{x|1≤x≤4}上有解,因此xmax≥a,即a≤4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤4}.法二命題q為真命題,轉(zhuǎn)化為{x|1≤x≤4}∩{x|x≥a}≠?,所以a≤4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤4}.·解題策略·求解含量詞命題中的參數(shù)取值范圍的策略(1)對于全稱量詞命題“?x∈M,a>y(或a<y)”為真命題的問題,實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問題,通常轉(zhuǎn)化為求y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin).(2)對于存在量詞命題“?x∈M,a>y(或a<y)”為真命題的問題,實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問題,通常轉(zhuǎn)化為求y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<y