1.4.2

充要條件問(wèn)題1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；逆命題：若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等；真命題真命題問(wèn)題1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；逆命題：若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0；逆命題：若ac<0，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；真命題假命題假命題真命題問(wèn)題1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(4)若A∪B是空集，則A與B均是空集．逆命題：若A與B均是空集，則A∪B是空集真命題真命題2.充要條件

p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件充要條件探究：通過(guò)上面的學(xué)習(xí),你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎?若四邊形的兩組對(duì)角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形若四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；若四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；若四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；若四邊形的兩條對(duì)邊分別平行，則這個(gè)四邊形是平行四邊形。例4已知：

O的半徑為r，圓心O到是直線l的距離為d，求證：d=r是直線l與

O相切的充要條件.證明：設(shè)p:d=r，q:直線l與

O相切.（1）充分性(p

q):如圖，作OP⊥l于點(diǎn)P，則OP=d.若d=r，則點(diǎn)P在

O上.在直線l上任取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P)，連接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在

O的外部，即直線l與

O僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.所以直線l與

O相切.（2）必要性(q

p):若直線l與

O相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則OP⊥l.因此，d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直線l與

O相切的充要條件.3、證明：如圖，AC=BD是梯形ABCD為等腰梯形的充要條件。ACBD5、設(shè)a,b,c∈R.證明：a=b=c是a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要條件。答案:充要

【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)如果原命題“若p,則q”與其逆命題都為真命題,那么p是q的充要條件.(√)(2)若p是q的充要條件,則p是唯一的.(×)(3)當(dāng)p是q的充要條件時(shí),也可說(shuō)成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.(√)【例1】

在下列各題中,判斷p是q的什么條件(請(qǐng)用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”回答):(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,p:x=2,且y=6,q:x+y=8;(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;

【變式訓(xùn)練1】

“x=5”是“x2-4x-5=0”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件解析:由x2-4x-5=0,得x=5或x=-1,則當(dāng)x=5時(shí),x2-4x-5=0成立,但當(dāng)x2-4x-5=0時(shí),x=5不一定成立,故選A.答案:A【例2】

求證:a+b+c=0是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件.【變式訓(xùn)練2】

求證:ac<0是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩異號(hào)實(shí)根的充要條件.【例3】

已知非零實(shí)數(shù)x,y,x>y,試探求

的充要條件,并加以證明.條件類型與集合的關(guān)系充分PQ必要P(Q)QPP(Q)充要“充小必大”：充分條件范圍小必要條件范圍大條件類型與集合的關(guān)系①p是(q的)充分條件：③p是(q的)充要條件：④p是(q的)充分不必要條件：⑤p是(q的)必要不充分條件：已知p:x∈P，q:x∈Q，則p,q對(duì)應(yīng)的集合滿足“充小必大”充分條件范圍小必要條件范圍大②p是(q的)必要條件：PQQP【典例】

已知p:-2≤

≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若q是p的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

1.已知命題“若p,則q”,假設(shè)其逆命題為真命題,則p是q的(

)A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:原命題的逆命題為“若q,則p”,是真命題,即q?p,故p是q的必要條件.答案:B2.函數(shù)y=x2+2mx+1的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的充要條件是(

)A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1解析:由y=x2+2mx+1,得其圖象的對(duì)稱軸為直線x=-m,由題意得-m=1,故m=-1.答案:C3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“A?B”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:∵A={1,a},B={1