1.4.2充要條件人教A版(2019)必修第一冊(cè)1.理解充要條件的含義.2.掌握判斷充要條件的方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)新課引入下列”若

p,則

q"形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題

?(1若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等則這兩個(gè)三角形全等；(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則

ac<0;(

4

)

若

AU

B

是空集，則

A

與B

均是空集.不難發(fā)現(xiàn)，上述命題中的命題(1)(4)和它們的逆命題都是真命題；命題(2)是真命題，但它的逆命題是假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題.新課引入將命題"若p,則q"

中的條件

p和結(jié)論

q互換，就得到一個(gè)新的命題“

若

q,則p

”,稱這個(gè)命題為原命題的逆命題.逆命題充要條件如果“

若

p則

q”和它的逆命題"若

q,

則p"均是真命題，即既有

p→q,

又有

q→p

,

就記作p?q

.此時(shí)，p既是

q的充分條件，也是

q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件.顯然，如果

p是q的充要條件，那么

q也是

p的充要條件.概括地說，如果p?q,

那么

p

與q

互為充要條件上述命題(1)(4)中的

p

與

q互為充要條件.充要條件例題來(lái)了例

3

.下列各題中，哪些p是q的充要條件?(1)p

:四邊形是正方形，q:四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分；(2)p:兩個(gè)三角形相似，q

:兩個(gè)三角形三邊成比例；(3)p:xy>0,q:x>0,y>0

;(4)p:x=1

是一元二次方程ax2+bx+c

=0

的一個(gè)根，

q:a+b+c=0(a≠0).例題來(lái)了解

析

：(1)因?yàn)閷?duì)角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形，所以q≠p,所以

p

不是

q

的充要條件.(2)因?yàn)椤叭?/p>

p,

則q”是相似三角形的性質(zhì)定理，"若q,

則p"是相似三角形的判定定理，所以它們均為真命題，即

p→q

,所以

p是q的充要條件

.例題來(lái)了解

析

：(3)因?yàn)?/p>

xy>0時(shí)，x>0,y>0不一定成立，所以p≠q,

是q的充要條件.(4)因?yàn)?若

p,

則q"與

"

若

q,

則

p"均為真命題，即

以p是q的充要條件.所以

p

不p?q,

所通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出”四邊形是平行四邊形"的充要條件嗎?思考新知探究新知探究可以發(fā)現(xiàn)，"四邊形的兩組對(duì)角分別相等""四邊形的兩組對(duì)邊分別相等""四邊形的一組對(duì)邊平行且相等"和"四邊形的對(duì)角線互相平分"既是”四邊形是平行四邊形"的充分條件，又是必要條件，所以它們都是"四邊形是平行四邊形"的充要條件.新知探究另外，我們?cè)倏雌叫兴倪呅蔚亩x：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，它表明”四邊形的兩組對(duì)邊分別平行“也是”四邊形是平行四邊形"的一個(gè)充要條件.新知探究上面的這些充要條件從不同角度刻畫了"平行四邊形"這個(gè)概念，據(jù)此我們可以給出平行四邊形的其他定義形式.例如：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形.新知探究類似地，利用”兩個(gè)三角形全等"的充要條件，可以給出“三角形全等"的其他定義形式，而且這些定義是相互等價(jià)的；同樣，利用“兩個(gè)三角形相似”的充要條件，可以給出"相似三角形"其他定義形式，這些定義也是相互等價(jià)的；等等.例題來(lái)了例4

:已知：⊙0的半徑為

r,

圓

心

0

到

直

線

l的距離為

d.求證：d=r是直線

l

與⊙0相切的充要條件

.例題來(lái)了解

析

：設(shè)

p:d=r,q

:直線

l

與⊙

0

相

切

.(1)充分性(p→q):

如圖，作0P⊥l

點(diǎn)P

在

⊙

0

上

.

在

直

線

I

上任取一點(diǎn)

在Rt△

OPQ

中，0Q>0P=r

.于點(diǎn)

P,

則OP=dQ

(異于點(diǎn)

P),

連.若

d=r

,則接

0Q

.例題來(lái)了解

析

：所以，除點(diǎn)

P外直線

l

上的點(diǎn)都在⊙0的外部，即直線

l

與⊙0僅有一個(gè)公共點(diǎn)

P

.所以直線

l

與⊙

0

相

切

.(2)必要性

(q→

p):若直線

l與⊙0相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為

P,則OP⊥l

.因此，d=0P=r.由(1)(2)可得，

d=r

是直線

l

與⊙0相切的充要條件

.課堂練習(xí)1.對(duì)于實(shí)數(shù)x,“x<0”是“x<1”的(A

).A.

充分不必要條件

B.必要不充分條件C.

充要條件

D.

既不充分也不必要條件解

析

：x<0→x<1,

但x<1≠x<0,故“x<0”

是“x<1”的充分不必要條件.課堂練習(xí)2.“2x2-x=0”

是“x=0”的

(B

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.

既不充分也不必要條件解

析

：方程2x2-x

=0的解集為所以“2x2-x=0”是“x=0”的必要不充分條件.故選B.課堂練習(xí)3.“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的(

B)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件D.

既不充分也不必要條件課堂練習(xí)解

析

：四邊形是平行四邊形不能推出四邊形是菱形，但是四邊形是菱形能推出四邊形是平行四邊形，所以“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的必要不充分條件.故選B.課堂練習(xí)4.

(多選)設(shè)全集為U,

則下列選項(xiàng)中是“AcB”

的充要條件的有(ABC)A.A∩B=A

B.(痧A)(B)c.ǚ,B∩A=D.0A)∩B=課堂練習(xí)解

析

：由A∩B=A,

可得AcB;

由AcB,

可得A∩B=A.故A∩B=A

是AcB

的充要條件，故A滿足條件.由(痧A)(B),可得A≤B;

由A=B,可得(痧A)(B)故(痧A)(B)

是A≤B

的充要條件，故B滿足條件課堂練習(xí)解

析

：由(4,B)∩A=O,可得A≤B;由A≤B,可得(,B∩A=

故e,B∩A=是A≌B的充要條件，故C滿足條件由

4A)∩B=?,可得B≤A,不能推出A≤B,故(

QA)∩B=◎

不是AcB

的充要條件，故D不滿足條件.故選ABC.課堂練習(xí)5.下列各題中，哪些p

是

q

的充要條件?(1)p:

三角形為等腰三角形，q:

三角形存在兩角相等；(2)p:⊙0

內(nèi)兩條弦相等，q:⊙0內(nèi)兩條弦所對(duì)的圓周角相等；(3)p:A∩B

為空集，q:A

與

B之一為空集課堂練習(xí)解

析

：在(1)中，三角形中等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，所以P?q,所以p