專題39圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】1、定值問(wèn)題解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決．證明過(guò)程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值----化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．2、求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無(wú)關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒(méi)什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒(méi)什么關(guān)系了，或者說(shuō)參數(shù)不起作用．3、求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無(wú)關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒(méi)有關(guān)系的點(diǎn)．【題型歸納目錄】題型一：面積定值題型二：向量數(shù)量積定值題型三：斜率和定值題型四：斜率積定值題型五：斜率比定值題型六：線段定值題型七：直線過(guò)定點(diǎn)題型八：動(dòng)點(diǎn)在定直線上題型九：圓過(guò)定點(diǎn)題型十：角度定值【典例例題】題型一：面積定值例1．已知雙曲線的焦距為，且過(guò)點(diǎn)，，直線與曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線的兩條漸近線與，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）求證：面積為定值，并求出該定值．例2．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中一條漸近線的傾斜角的正切值為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）直線與軸正半軸相交于一點(diǎn)，與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線的兩條漸近線于，兩點(diǎn)，證明：的面積為定值，并求出該定值．例3．已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積．變式1．已知橢圓，離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．變式2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、且橢圓上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和為4．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線、的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．變式3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，△的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．變式4．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，且滿足，求證：四邊形的面積為定值．變式5．已知橢圓的焦距為，，為其左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，以線段，為鄰邊作平行四邊形，其中頂點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：平行四邊形的面積為定值．變式6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，，橢圓的離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2），是橢圓上與點(diǎn)不重合的任意兩點(diǎn)，若的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)，試證明：的面積為定值，并求出該定值．題型二：向量數(shù)量積定值例4．己知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求的方程；(2)若直線與交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為．設(shè)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線為，若直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：為定值．例5．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè)，過(guò)橢圓中心作直線的垂線交于點(diǎn)，求證：為定值．例6．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，△是面積為4的直角三角形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，，問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由．題型三：斜率和定值例7．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在此橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值．例8．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，求證：為定值．例9．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)為，，且左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.題型四：斜率積定值例10．已知橢圓：的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，且，為線段的中點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.例11．已知分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，分別是的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn)在上，滿足.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不重合）交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.例12．已知橢圓的焦距為2，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P為橢圓C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)、y軸對(duì)稱．連接MN與x軸交于點(diǎn)E，并延長(zhǎng)PE交橢圓C于點(diǎn)Q．試問(wèn)：是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式7．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點(diǎn)都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的兩條切線和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.變式8．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）若，是橢圓上兩點(diǎn)，且，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值．題型五：斜率比定值例13．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的方程；(2)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.例14．設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，求直線的方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．例15．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)，的距離比它到直線的距離小2．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）記點(diǎn)的軌跡為，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，，延長(zhǎng)，與交于，兩點(diǎn)，設(shè)的斜率為，證明：為定值．題型六：線段定值例16．如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線l的方程為：．(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明：為定值，并求此定值．例17．已知橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0），左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且|F1F2|＝2，直線l交橢圓Γ于不同的兩點(diǎn)M和N．(1)求橢圓Γ的方程；(2)若直線l的斜率為1，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求直線l的方程；(3)若直線l與橢圓Γ相切，求證：點(diǎn)F1、F2到直線l的距離之積為定值．例18．已知橢圓的離心率為，若與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且圓E在內(nèi)的弧長(zhǎng)為．(1)求的值；(2)過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓于A，B、C，D，求證：為定值．變式9．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的兩條切線交于點(diǎn)M（4，t），其中，切點(diǎn)分別是A、B，試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓上的點(diǎn)處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)；(3)試探究的值是否恒為常數(shù)，若是，求出此常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式10．已知橢圓過(guò)點(diǎn)．，分別為左右焦點(diǎn)，為第一象限內(nèi)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，記和的面積分別為，．(1)試確定實(shí)數(shù)的值，使得點(diǎn)到的距離與到直線的距離之比為定值，并求出的值；(2)在（1）的條件下，若，求的值．變式11．已知橢圓過(guò)點(diǎn)且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，左焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于、兩點(diǎn)和均不在坐標(biāo)軸上），直線、分別與軸交于點(diǎn)、，直線、分別與軸交于點(diǎn)、，求證：為定值，并求出該定值．變式12．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于另外一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，求證：為定值．變式13．已知橢圓，其上頂點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)、圍成的是面積為的正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線的斜率存在）交橢圓于，兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，問(wèn)：是否是定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由．題型七：直線過(guò)定點(diǎn)例19．已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.(1)若的面積為，求直線的方程；(2)過(guò)兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點(diǎn).例20．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．例21．已知，是橢圓上的兩點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)橢圓E的上頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F的直線與橢圓E交于另一個(gè)點(diǎn)B，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，分別與橢圓E交于C（異于點(diǎn)A），D（異于點(diǎn)B）兩點(diǎn)，證明：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．變式14．已知橢圓過(guò)點(diǎn)．右焦點(diǎn)為，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)在上，且．(1)求的方程：(2)設(shè)過(guò)與軸垂直的直線為，縱坐標(biāo)不為的點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線的垂線交于點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．變式15．已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，問(wèn)直線AD是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型八：動(dòng)點(diǎn)在定直線上例22．已知為的兩個(gè)頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為6.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程.(2)已知點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)公共點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，試問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.例23．已知直線l經(jīng)過(guò)橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)（1，0），交橢圓C于點(diǎn)A，B，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，△ABF的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線m與直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓C于點(diǎn)M，N，，求證：直線m與直線l的交點(diǎn)P在定直線上．例24．已知橢圓C:的上下頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)P且斜率為k(k<0)的直線與橢圓C自上而下交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).(1)設(shè)的斜率分別為，求的值;(2)求證：點(diǎn)在定直線上.變式16．已知為的兩個(gè)頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為6.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程.(2)已知點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)公共點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，求證：當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，點(diǎn)恒在一條定直線上.變式17．已知橢圓：（）過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)記橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在定直線上，并求出該定直線的方程．變式18．如圖，已知橢圓，的左、右焦點(diǎn)為、，其上頂點(diǎn)為．已知△是邊長(zhǎng)為2的正三角形．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記，若在線段上取一點(diǎn)使得，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在請(qǐng)求出該定直線，若不在請(qǐng)說(shuō)明理由．變式19．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)滿足．（1）求橢圓以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程．變式20．如圖所示，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，右焦點(diǎn)為，，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓交于點(diǎn)、，直線與直線交于點(diǎn)，試探討點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否為定值，若是求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設(shè)為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，，分別與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且直線垂直于軸．①設(shè)直線，的斜率分別是，，求的值；②過(guò)作直線，過(guò)作直線，與相交于點(diǎn)．試問(wèn)：點(diǎn)是否在一條定直線上？若在，求出該直線的方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式22．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，是的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，△是底角為的等腰三角形，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）設(shè)，是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，問(wèn)：直線與的交點(diǎn)是否在一條定直線上？若在，求出這條定直線的方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式23．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為和，離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作一條斜率不為0的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接、，直線與交于點(diǎn)，探求點(diǎn)是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型九：圓過(guò)定點(diǎn)例25．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，△為等腰直角三角形為坐標(biāo)原點(diǎn)），拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的右頂點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)，分別是橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異與，的點(diǎn)，求證：直線和直線的斜率之積為定值．（3）已知圓的切線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．例26．已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知圓的切線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．例27．已知定點(diǎn)，曲線上任意一點(diǎn)，到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大2．（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)任作一直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與直線別交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)）．試判斷以線段為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．變式24．已知橢圓和拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從它們每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：540（Ⅰ）求和的方