/四川省古藺中學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.若命題：，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（）A.49 B.63 C.70 D.1264.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)在處取得極大值，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.46.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知平面向量，若，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.-2025 C.2025 D.4050二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.的虛部為C.為純虛數(shù) D.10.下列函數(shù)中，是增函數(shù)的是（

）A. B.C. D.11.已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則（）A.B.令，存在，使得為偶函數(shù)C.函數(shù)在上可能有3個(gè)或4個(gè)極值點(diǎn)D.函數(shù)在上單調(diào)遞增三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分12.已知，，則________.13.已知向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為______.14.若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．四、解答題：本大題共5小題，共T7分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，（1）求不等式的解集；（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．16.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前n項(xiàng)和．17.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若的最大值為，求的值．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，則過點(diǎn)的曲線的切線有幾條?并寫出其中一條切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19.已知函數(shù)，在上的最大值為．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若數(shù)列滿足，且．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，比較與1的大小，并說明理由；（ⅱ）求證：．四川省古藺中學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】由，則，所以，又，所以.故選：C2.若命題：，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【詳解】由題,則的否定為,故選：C3.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（）A.49 B.63 C.70 D.126【答案】B【詳解】因是等差數(shù)列，故，于是故選：B4.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】∵，∴，∴在上為增函數(shù)，由得，，解得，故的取值范圍是.故選：B.5.已知函數(shù)在處取得極大值，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，再由所得參數(shù)驗(yàn)證在處是否取得極大值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，則，可得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，則在和上遞增，當(dāng)時(shí)，則在上遞減，此時(shí)在處取得極小值，不符；當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，則在和上遞增，當(dāng)時(shí)，則在上遞減，此時(shí)在處取得極大值，符合；綜上，.故選：C6.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.【詳解】由題設(shè)，則在上遞增，所以，又，故.故選：B7.已知平面向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)向量平行求得，再根據(jù)二倍角公式，將齊次式轉(zhuǎn)化為正切值，即可求解.【詳解】由，可知，，得，，.8.已知函數(shù)，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C.2025 D.4050【答案】A【解析】【分析】令，然后可判斷出的單調(diào)性、奇偶性，然后由，，可得，然后由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得答案.【詳解】令，因?yàn)椋詾樯系脑龊瘮?shù)，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，因?yàn)?，，所以，，所以，即，所以，故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.的虛部為C.為純虛數(shù) D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，由條件可得.由復(fù)數(shù)模長公式可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的概念可得選項(xiàng)B正確；通過復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得選項(xiàng)C正確；通過復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算可得選項(xiàng)D正確.【詳解】設(shè)，則，∴，∴，解得，故.A.，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.的虛部為，選項(xiàng)B正確.C.，為純虛數(shù)，選項(xiàng)C正確.D.由得，故，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.10.下列函數(shù)中，是增函數(shù)的是（

）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得A正確，由反比例函數(shù)性質(zhì)可得B錯(cuò)誤，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可得C正確，求導(dǎo)得出恒成立，可得D正確.【詳解】對于A，易知的定義域?yàn)?，是由函?shù)和組成，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞增函數(shù)，因此A正確；對于B，函數(shù)定義域?yàn)?，根?jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可得在和上分別單調(diào)遞增，但不是增函數(shù)，即B錯(cuò)誤；對于C，易知的定義域?yàn)?，由冪函?shù)性質(zhì)可得其在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即C正確；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t恒成立，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則（）A.B.令，存在，使得為偶函數(shù)C.函數(shù)在上可能有3個(gè)或4個(gè)極值點(diǎn)D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡得到，根據(jù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，可確定，進(jìn)而解得，再根據(jù)其范圍結(jié)合函數(shù)圖象和平移知識(shí)等逐一判斷即可.【詳解】對于A，，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有4個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，∴，故A正確；對于B，，為偶函數(shù)，則，即，∵∴取，為偶函數(shù),滿足題意，故B正確；對于C，x∈0,π∵，，∴函數(shù)在上可能有4個(gè)或5個(gè)極值點(diǎn)，故C不正確；對于D，若，則，∵，∴，∴函數(shù)上單調(diào)遞增.故D正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分12.已知，，則________.【答案】【解析】【分析】由，可知，再結(jié)合，及，可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以．故答案為?13.已知向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算，利用投影向量的公式即可計(jì)算結(jié)果.【詳解】由題意得，，，，所以在上的投影向量為.故答案為：.14.若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分類討論，再結(jié)合的根，分類討論，分析函數(shù)的極大值點(diǎn)即可得出答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f′x<0，當(dāng)時(shí)，f′x所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，可得，若，即時(shí)，則時(shí)，f′x>0，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，f′x<0，函數(shù)所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意；若即時(shí)，則時(shí)，f′x>0，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，f′x<0，函數(shù)所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；若即時(shí)，則時(shí)，f′x≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)，不符合題意.綜上，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn).故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共T7分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，（1）求不等式的解集；（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積．【答案】（1）且；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性解不等式求解集即可；（2）由題意得，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程并確定與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，即可求三角形面積.【小問1詳解】由題設(shè)，則，所以且，可得且，所以解集為且.【小問2詳解】由題意，則，所以，，所以曲線y=gx在點(diǎn)處的切線為顯然切線過，故其與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.16.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出公比，根據(jù)題目條件得到方程，求出公比和首項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法求和得到答案.【小問1詳解】等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)數(shù)列的公比為，由得,因?yàn)椋?，解得，由得，解得，故?shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】∵，∴，∴，∴17.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若的最大值為，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦邊角關(guān)系及差角正弦公式得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角A的大??；（2）根據(jù)正弦邊角關(guān)系及倍角余弦公式可得，結(jié)合（1）及三角恒等變換有，最后根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)及已知求邊長.【小問1詳解】由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系，有，所以，整理得，即，顯然不合題設(shè)，則，所以，而，可得.【小問2詳解】由，可得，，所以，由（1）知：，則，由，則，又的最大值為，所以，可得（負(fù)值舍），綜上，.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，則過點(diǎn)的曲線的切線有幾條?并寫出其中一條切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）有3條切線，（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切點(diǎn)得出切線斜率，列方程組分析解得個(gè)數(shù)即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對分類討論即可得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，利用極大值建立不等式求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)0,2，所以切線斜率存在，故可設(shè)切線方程為，則，化簡可得，即，由的判別式知方程有2個(gè)不等實(shí)根且不為1，故有3個(gè)不等的實(shí)根，所以切線有3條，其中一條切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故，所以切線方程為.【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以或時(shí)，f′x>0，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f′x<0，當(dāng)時(shí)，，所以或時(shí)，f′x>0，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f′x<0，綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)1；當(dāng)時(shí)，由（2）知，的極大值為，且當(dāng)時(shí)，，若有唯一零點(diǎn)，則，解得，故，當(dāng)時(shí)，由（2）知，的極大值為，同理，若有唯一零點(diǎn)，則，解得，故，綜上，實(shí)數(shù)a取值范圍19.已知函數(shù)，在上的最大值為．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若數(shù)列滿足，且．（?。┊?dāng)時(shí)，比較與1的大小，并說明理由；（ⅱ）求證：．【答案】（1）a=2（2）(1)，理由見詳解；（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性求出最大值得解；（2）（i）