微專題03解三角形秒殺總結(jié)在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.例1.烏龍江濕地公園擁有良好的生態(tài)環(huán)境和多樣化的景觀資源，為了吸引游客，計(jì)劃在該公園內(nèi)搭建一個(gè)形狀為平面凸四邊形的旅游休閑及科普宣教平臺(tái)（如圖所示），其中百米，百米，為正三角形，建成后，將作為人們旅游休閑的區(qū)域，其余部分作為科普宣教平臺(tái).（1）當(dāng)時(shí)，求旅游休閑區(qū)域的面積；（2）設(shè)，求旅游休閑區(qū)域的面積的最大值例2.在平面四邊形中，，，，.（1）若，求；（2）若，求.例3.在中，分別為角的對(duì)邊，且.（1）求角；（2）若的內(nèi)切圓面積為，求面積的最小值.例4.在中，分別為角的對(duì)邊，且有（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的內(nèi)切圓面積為，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的面積．過關(guān)測試一、解答題1．（2021·云南省玉溪第一中學(xué)高二期中（文））為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號(hào)召，農(nóng)民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護(hù)欄．已知，，，．（1）若，求護(hù)欄的長度（的周長）；（2）若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求；（3）當(dāng)為何值時(shí)，魚塘的面積最小，最小面積是多少？2．（2021·江蘇南通·高三期中）在中，已知D是BC上的點(diǎn)，AD平分，且.（1）若，求的面積；（2）若，求.3．（2021·江蘇鹽城·高三期中）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.（1）求證：存在，使得；（2）求面積S的最大值.4．（2021·江蘇·高三期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.且滿足（a+2b）cosC+ccosA=0.（1）求角C的大小；（2）設(shè)AB邊上的角平分線CD長為2，求△ABC的面積的最小值.5．（2021·江蘇淮安·高三期中）在中，，，分別為內(nèi)角，B，的對(duì)邊，且.（1）求的大??；（2）若，試判斷的形狀；（3）若，求周長的最大值.6．（2021·江蘇常州·高三期中）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，.（1）求的大??；（2）若，，求|AB|.7．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（文））在平面四邊形中，，，，（1）求的長；（2）求的最大值．8．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，，求的取值范圍.9．（2021·廣東肇慶·模擬預(yù)測）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）若，求的值；（2）是否存在，滿足為直角？若存在，求出的面積；若不存在，請說明理由.10．（2021·寧夏·銀川三沙源上游學(xué)校高二期中（文））某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設(shè)計(jì)如圖所示，為地面，，為路燈燈桿，，，在處安裝路燈，且路燈的照明張角，已知m，m．（1）當(dāng)，重合時(shí)，求路燈在路面的照明寬度；（2）求此路燈在路面上的照明寬度的最小值．11．（2021·上海市延安中學(xué)高一期中）如圖，為一個(gè)等腰三角形的空地，腰的長為3（百米），底的長為4（百米）現(xiàn)決定在空地內(nèi)筑一條筆直的小路（寬度不計(jì)），將該空地分成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形的周長相等，面積分別為和；（1）若小路一端E為的中點(diǎn)，求此時(shí)小路的長度；（2）求的最小值.12．（2021·江蘇東?！じ咭黄谥校┤鐖D，在圓O的內(nèi)接四邊形中，，記的面積為，的面積為，.（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，求的最大值，并寫出此時(shí)的值.13．（2021·江蘇·無錫市第一中學(xué)高一期中）現(xiàn)有長度分別為1，2，3，4的線段各1條，將它們?nèi)坑蒙?，首尾依次相連地放在桌面上，可組成周長為10的三角形或四邊形.（1）求出所有可能的三角形的面積；（2）如圖，已知平面凸四邊形中，，，，.①求滿足的數(shù)量關(guān)系；②求四邊形面積的最大值，并指出面積最大時(shí)的值.14．（2021·江蘇·金陵中學(xué)高一期中）已知△ABC為銳角三角形，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．R為△ABC外接圓半徑．（1）若R＝1，且滿足，求的取值范圍；（2）若，求的最小值．15．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某人身高，他站的地點(diǎn)和云南大理文筆塔塔底在同水平線上，他直立時(shí)，測得塔頂?shù)难鼋牵c(diǎn)在線段上，忽略眼睛到頭頂之間的距離，下同）.他沿線段向塔前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)直立時(shí)，測得塔頂?shù)难鼋牵核釳N的視角（是塔尖底，在線段上）.（1）求塔高；（2）此人在線段上離點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)，他直立看塔尖的視角最大？說明理由.參考數(shù)據(jù)：，，.16．（2021·重慶復(fù)旦中學(xué)高二開學(xué)考試）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求的最小值；（2）記的面積為，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，證明：①；②.17．（2021·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在中，，是角的平分線，且．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若，時(shí)，求的面積的最大值及此時(shí)的值．18．（2021·上海青浦·一模）已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．19．（2020·江蘇·呂叔湘中學(xué)高二期末）在中，，是邊的中點(diǎn).（1）若，，求的長；（2）若，，求的面積.20．（2021·浙江·高一期末）已知a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且的面積.（1）記，，若.（i）求角C，（ii）求的值；（2）求的取值范圍.21．（2020·山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)應(yīng)邊分別為，，，已知.（1）求的值；（2）若，求的最小值.22．（2020·北京·北師大二附中高三期中）如圖，四邊形中，，，設(shè).（1）若面積是面積的4倍，求；（2）若，求.23．（2021·江西·上高二中高二階段練習(xí)（理））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.（1）求證：；（2）若是銳角三角形，，求的范圍.24．（2019·河北棗強(qiáng)中學(xué)高二期末（文））在中的內(nèi)角、、，，是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），．（）求的大?。ǎ┊?dāng)取最大值時(shí)，求的值．25．（2021·陜西·西安一中高二期中）如圖，在四邊形中，已知，求26．（2021·山東泰安·高三期中）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，點(diǎn)D在射線AC上，滿足.（1）求；（2）設(shè)的角平分線與直線AC交于點(diǎn)E，求證：.27．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖，在平面四邊形中，，，.（1）若，求的面積；（2）若，，求.28．（2021·福建·福州三中高一期中）烏龍江濕地公園擁有良好的生態(tài)環(huán)境和多樣化的景觀資源，為了吸引游客，計(jì)劃在該公園內(nèi)搭建一個(gè)形狀為平面凸四邊形的旅游休閑及科普宣教平臺(tái)（如圖所示），其中百米，百米，為正三角形，建成后，將作為人們旅游休閑的區(qū)域，其余部分作為科普宣教平臺(tái).（1）當(dāng)時(shí)，求旅游休閑區(qū)域的面積；（2）設(shè)，求旅游休閑區(qū)域的面積的最大值29．（2021·江蘇·無錫