第1頁/共1頁2020-2022北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編隨機(jī)事件與概率一、單選題1．（2022·北京昌平·高一期末）北京2022年冬奧會新增了女子單人雪車?短道速滑混合團(tuán)體接力?跳臺滑雪混合團(tuán)體?男子自由式滑雪大跳臺?女子自由式滑雪大跳臺?自由式滑雪空中技巧混合團(tuán)體和單板滑雪障礙追逐混合團(tuán)體等個比賽小項，現(xiàn)有甲?乙兩名志愿者分別從個比賽小項中各任選一項參加志愿服務(wù)工作，且甲?乙兩人的選擇互不影響，那么甲?乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進(jìn)行志愿服務(wù)工作的概率是（

）A． B． C． D．2．（2021·北京昌平·高一期末）2020年11月5日—11月10日，在上海國家會展中心舉辦了第三屆中國國際進(jìn)口博覽會，其中的“科技生活展區(qū)”設(shè)置了各類與人民生活息息相關(guān)的科技專區(qū).現(xiàn)從“高檔家用電器”、“智能家居”、“消費電子”、“服務(wù)機(jī)器人”、“人工智能及軟件技術(shù)”五個專區(qū)中選擇兩個專區(qū)參觀，則選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術(shù)”專區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·高一期末）從數(shù)字中隨機(jī)取兩個不同的數(shù)，分別記為和，則為整數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．二、解答題4．（2022·北京石景山·高一期末）某網(wǎng)站為調(diào)查某項業(yè)務(wù)的受眾年齡，從訂購該項業(yè)務(wù)的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人的年齡按照，，，，分成5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值和樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人年齡在中的概率．5．（2022·北京昌平·高一期末）近年來，手機(jī)逐漸改變了人們的生活方式，已經(jīng)成為了人們生活中的必需品，因此人們對手機(jī)性能的要求也越來越高.為了了解市場上某品牌的甲?乙兩種型號手機(jī)的性能，現(xiàn)從甲?乙兩種型號手機(jī)中各隨機(jī)抽取了6部手機(jī)進(jìn)行性能測評，得到的評分?jǐn)?shù)據(jù)如下（單位：分）：甲型號手機(jī)908990889192乙型號手機(jī)889189938594假設(shè)所有手機(jī)性能評分相互獨立.(1)在甲型號手機(jī)樣本中，隨機(jī)抽取1部手機(jī)，求該手機(jī)性能評分不低于90分的概率；(2)在甲?乙兩種型號手機(jī)樣本中各抽取1部手機(jī)，求其中恰有1部手機(jī)性能評分不低于90分的概率；(3)試判斷甲型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差與乙型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）6．（2022·北京西城·高一期末）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，各射擊4局，每局射擊10次，射擊命中目標(biāo)得1分，未命中目標(biāo)得0分．兩人4局的得分情況如下：甲6699乙79xy(1)若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x的最小值；(2)設(shè)，，現(xiàn)從甲、乙兩人的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，并將其得分分別記為a，b，求的概率；(3)在4局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同，且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定，寫出x的所有可能取值．（結(jié)論不要求證明）7．（2022·北京房山·高一期末）在創(chuàng)建文明城市活動中，房山區(qū)某單位共有名文明交通義務(wù)勸導(dǎo)志愿者（簡稱為志愿者），他們每周三和每周五的上午，下午上下班的高峰時段，在紅綠燈路口義務(wù)執(zhí)勤，勸導(dǎo)行人自覺遵守交通規(guī)則，該單位對他們自年月至月參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如下圖所示．區(qū)創(chuàng)城辦為了解市民文明出行情況，采用分層抽樣的方法從該單位參加次和3次的志愿者中抽取5人進(jìn)行訪談．(1)求該單位志愿者參加活動的人均次數(shù)；(2)這5人中參加次和次活動的志愿者各占多少人？(3)從這5人中隨機(jī)抽取人完成訪談問卷，求人中恰有名參加次活動的志愿者的概率．8．（2022·北京市懷柔區(qū)教科研中心高一期末）某籃球隊在本賽季已結(jié)束的8場比賽中，隊員甲得分統(tǒng)計的莖葉圖如下：（1）求甲在比賽中得分的平均數(shù)和方差；（2）從甲比賽得分在20分以下的6場比賽中隨機(jī)抽取2場進(jìn)行失誤分析，求抽到2場都不超過平均數(shù)的概率．9．（2022·北京師大附中高一期末）空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量指數(shù)的值越高，就代表空氣污染越嚴(yán)重，其分級如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染現(xiàn)分別從甲、乙兩個城市月份監(jiān)測的空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)，記錄如下：甲乙（1）估計甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率；（2）分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染的概率；（3）記甲城市這天空氣質(zhì)量指數(shù)的方差為．從甲城市月份空氣質(zhì)量指數(shù)的數(shù)據(jù)中再隨機(jī)抽取一個記為，若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為；若，與原有的天的數(shù)據(jù)構(gòu)成新樣本的方差記為，試比較、、的大?。ńY(jié)論不要求證明）10．（2021·北京市第四中學(xué)順義分校高一期末）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績.乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以a表示.（I）若甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績相同，求a的值;（II）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率;（III）當(dāng)時，試比較甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差的大小.（結(jié)論不要求證明）11．（2021·北京昌平·高一期末）某班倡議假期每位學(xué)生每天至少鍛煉一小時.為了解學(xué)生的鍛煉情況，對該班全部34名學(xué)生在某周的鍛煉時間進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:鍛煉時長（小時）56789男生人數(shù)（人）12434女生人數(shù)（人）38621（Ⅰ）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這個班級女生在該周的平均鍛煉時長;（Ⅱ）若從鍛煉8小時的學(xué)生中任選2人參加一項活動，求選到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）試判斷該班男生鍛煉時長的方差與女生鍛煉時長的方差的大小.（直接寫出結(jié)果）12．（2021·北京市第四中學(xué)順義分校高一期末）某校高一年級1000名學(xué)生全部參加了體育達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理并按分?jǐn)?shù)段，，，，，進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，則得到體育成績的折線圖如下（I）估計該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)；（II）現(xiàn)從體育成績在和的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求其中恰有1人體育成績在的概率.13．（2021·北京市第八中學(xué)京西校區(qū)高一期末）某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在、兩家餐廳用餐的滿意度，從在、兩家都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了人，每人分別對這兩家餐廳進(jìn)行評分，滿分均為分.整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以為組距分為組：、、、、、，得到餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖和餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：

餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)235154035（1）在抽樣的人中，求對餐廳評分低于的人數(shù)；（2）從對餐廳評分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出人，求人中恰有人評分在范圍內(nèi)的概率.（3）如果從、兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由.14．（2020·北京·高一期末）某校2019級高一年級共有學(xué)生195人，其中男生105人，女生90人.基于目前高考制度的改革，為了預(yù)估學(xué)生“分科選考制”中的學(xué)科選擇情況，該校對2019級高一年級全體學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查.現(xiàn)采用按性別分層抽樣的方法，從中抽取13份問卷.已知問卷中某個必答題的選項分別為“同意”和“不同意”，下面表格記錄了抽取的這13份問卷中此題的答題情況.選“同意”的人數(shù)選“不同意”的人數(shù)男生4a女生b2(1)寫出a，b的值；(2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)估計2019級高一年級學(xué)生該題選擇“同意”的人數(shù)；(3)從被抽取的男生問卷中隨機(jī)選取2份問卷，對相應(yīng)的學(xué)生進(jìn)行訪談，求至少有一人選擇“同意”的概率.

參考答案1．C【分析】根據(jù)古典概型概率的計算公式直接計算.【詳解】由題意可知甲?乙兩名志愿者分別從個比賽小項中各任選一項參加志愿服務(wù)工作共有種情況，其中甲?乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進(jìn)行志愿服務(wù)工作共種，所以甲?乙兩名志愿者選擇同一個比賽小項進(jìn)行志愿服務(wù)工作的概率是，故選：C.2．C【解析】先分別對五個專區(qū)作標(biāo)記，列舉出總的基本事件，以及滿足“選擇的兩個專區(qū)中包括人工智能及軟件技術(shù)專區(qū)”所對應(yīng)的基本事件，基本事件的個數(shù)比即為所求概率.【詳解】分別記“高檔家用電器”、“智能家居”、“消費電子”、“服務(wù)機(jī)器人”、“人工智能及軟件技術(shù)”五個專區(qū)為、、、、；從這五個專區(qū)中選擇兩個專區(qū)參觀，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共個基本事件；選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術(shù)”專區(qū)（即專區(qū)），所對應(yīng)的基本事件有：，，，，共個基本事件；因此，選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術(shù)”專區(qū)的概率是.故選：C.3．B【解析】先計算出從數(shù)字中隨機(jī)取兩個不同的數(shù)，共有種情況，再求出滿足為整數(shù)的情況，即可求出為整數(shù)的概率.【詳解】解：從數(shù)字中隨機(jī)取兩個不同的數(shù)，則有種選法，有種選法，共有種情況；則滿足為整數(shù)的情況如下：當(dāng)時，或有種情況；當(dāng)時，有種情況；當(dāng)或時，則不可能為整數(shù)，故共有種情況，故為整數(shù)的概率是：.故選：B.4．(1)，平均數(shù)為歲(2)【分析】（1）根據(jù)頻率之和等于得出的值，再由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)計算平均數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣確定第1，2組中抽取的人數(shù)，再由列舉法結(jié)合古典概型的概率公式得出概率.(1)由，得平均數(shù)為歲.(2)第1，2組的人數(shù)分別為人，人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，分別記為，，，，從5人中隨機(jī)抽取2人，樣本空間可記為，，，，，，，，，，用表示“2人中恰有1人年齡在”，則，，，，，，包含的樣本點個數(shù)是6.所以2人中恰有1人年齡在中的概率5．(1)(2)(3)甲型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差小于乙型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差.【分析】（1）由于甲型號手機(jī)樣本中，得共有4部手機(jī)性能評分不低于90分，進(jìn)而得其概率；（2）由于甲型號的手機(jī)有4部評分不低于90分，乙型號的手機(jī)有3部評分不低于90分，進(jìn)而列舉基本事件，根據(jù)古典概型求解即可；（3）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的分散程度，估計比較即可.(1)解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，甲型號手機(jī)樣本中，得共有4部手機(jī)性能評分不低于90分，所以隨機(jī)抽取1部手機(jī)，求該手機(jī)性能評分不低于90分的概率為(2)解：甲型號的手機(jī)有4部評分不低于90分，記為，另外兩部記為乙型號的手機(jī)有3部評分不低于90分，記為，另外三部記為，所以甲?乙兩種型號手機(jī)樣本中各抽取1部手機(jī)，共有，，共36種，其中恰有1部手機(jī)性能評分不低于90分的基本事件有，，共18種，所以所求概率為.(3)解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可判斷甲型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差小于乙型號手機(jī)樣本評分?jǐn)?shù)據(jù)的方差.6．(1)5(2)(3)6，7，8【分析】（1）由題意得，又，即可求得x的最小值；（2）利用列舉法能求出古典概型的概率；（3）由題設(shè)條件能求出的可能的取值為.(1)由題意得，即.又根據(jù)題意知，，所以x的最小值此為5.(2)設(shè)“從甲、乙的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，且得分滿足”為事件，記甲的4局比賽為，各局的得分分別是；乙的4局比賽為，各局的得分分別是.則從甲、乙的4局比賽中隨機(jī)各選取1局，所有可能的結(jié)果有16種，它們是：，，，，，，，，，，，，，，，.而事件的結(jié)果有8種，它們是：，，，，，，，，∴事件的概率.(3)的所有可能取值為6，7，8.7．(1)(2)分別占人、人(3)【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計算公式計算即可；、（2）根據(jù)分層抽樣的方法計算即可；（3）設(shè)參加次活動的名志愿者分別為，參加次活動的名志愿者分別為，再列舉基本事件，結(jié)合古典概型求解即可.(1)解：參加次的志愿者有人，次的志愿者有人，次的志愿者有人．所以該校志愿者參加活動的人均次數(shù)為．(2)護(hù)額：這人中參加次活動的志愿者有；這人中參加次活動的志愿者有．所以這人中參加次和次活動的志愿者分別占人、人．(3)解：設(shè)參加次活動的名志愿者分別為，參加次活動的名志愿者分別為，則基本事件空間為所以．設(shè)“從這人中隨機(jī)抽取人完成訪談問卷，這人中恰有名參加次活動的志愿者”為事件，則，所以．所以．

．8．（1）15，32.25；（2）.【分析】（1）將數(shù)據(jù)代入公式，即可求得平均數(shù)和方差.（2）6場比賽中得分不超過平均數(shù)的有4場，可記為，超過平均數(shù)的有2場，可記為，分別求得6場比賽中抽出2場，總事件及滿足題意的事件，根據(jù)古典概型概率公式，即可得答案.【詳解】解：（1）平均數(shù)方差（2）由題意得，6場比賽中得分不超過平均數(shù)的有4場，可記為．超過平均數(shù)的有2場，可記為．記從6場比賽中抽出2場，抽到的2場都不超過平均數(shù)為事件A．從6場比賽中抽出2場，共有以下情形：，共有15個基本事件，事件A包含6個基本事件．所以9．（1）；（2）；（3）．【解析】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，利用頻率估計概率的思想可求得結(jié)果；（2）列舉出所有的基本事件，并利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】（1）甲城市這天內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的有天，則估計甲城市月份某一天空氣質(zhì)量類別為良的概率為；（2）由題意，分別從甲、乙兩個城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個，用表示“這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量類別都為輕度污染”，則事件包含的基本事件有：、、、，共個基本事件，所以，；（3）．【點睛】方法點睛：求解古典概型概率的問題有如下方法：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.10．（I）；（II）；（III）甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大于乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差.【解析】（I）先求解出甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績，根據(jù)平均成績相同求解出的值；（II）先確定出的所有可取值，再求解出滿足條件的的取值，根據(jù)滿足條件的取值個數(shù)與總的可取值個數(shù)的比值求解出對應(yīng)概率；（III）根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況直接判斷出甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大小.【詳解】（I）因為，且，所以，所以；（II）記“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，因為乙組平均成績超過甲組平均成績，所以，所以，所以的可取值有：，共個數(shù)，又因為，集合中共有個元素，所以；（III）甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大于乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差.（理由如下：因為，所以，，因為，所以）11．（Ⅰ）小時（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)計算平均數(shù)即可；（Ⅱ）列舉出任選2人的所有情況，再由古典概型的概率公式計算即可；（Ⅲ）根據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度結(jié)合方差的性質(zhì)得出【詳解】（Ⅰ）這個班級女生在該周的平均鍛煉時長為小時（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可知，鍛煉8小時的學(xué)生中男生有人，記為，女生有人，記為從中任選2人的所有情況為，，，共種，其中選到男生和女生各1人的共有種故選到男生和女生各1人的概率（Ⅲ）【點睛】關(guān)鍵點睛：在第二問中，關(guān)鍵是利用列舉法得出所有的情況，再結(jié)合古典概型的概率公式進(jìn)行求解.12．（I）750；（II）【解析】（I）根據(jù)折線圖可以得到體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)，從而可以估計出該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生頻率，進(jìn)而得到學(xué)生人數(shù).（II）利用列舉法可得基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個數(shù)，從而可求概率.【詳解】（I）根據(jù)折線圖可以得到體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)為，所以該校高一年級中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)估計為：.（II）體育成績在和的人數(shù)分別為、3，分別記為若隨機(jī)抽取2人，則所有的基本事件為：，故基本事件的總數(shù)為.其中恰有1人體育成績在的基本事件的個數(shù)有6個，設(shè)為：“恰有1人體育成績在”，則.【點睛】思路點睛：古典概型的概率的計算，關(guān)鍵是基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個數(shù)的