4.2指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)的概念1、定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．2、注意事項(xiàng)：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)規(guī)定大于0且不等于1的理由：（1）如果，當(dāng)（2）如果，如，當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．（3）如果，是一個(gè)常量，對(duì)它就沒有研究的必要．為了避免上述各種情況，所以規(guī)定且．二、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域值域過定點(diǎn)單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)三、比較指數(shù)冪的大小比較冪的大小的常用方法：（1）對(duì)于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個(gè)冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；（2）對(duì)于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來判斷；（3）對(duì)于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個(gè)冪，或者通過中間值來比較．四、簡單指數(shù)不等式的解法1、形如的不等式，可借助的單調(diào)性求解；2、形如的不等式，可將化為為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助的單調(diào)性求解；3、形如的不等式，可借助兩函數(shù)，的圖象求解。題型一指數(shù)函數(shù)的概念判斷【例1】下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④.A．1B．2C．3D．0【答案】D【解析】①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量，而是的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)，只有規(guī)定且時(shí)，才是指數(shù)函數(shù)；④中前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)故選：D.【變式1-1】下列是指數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式可知，為指數(shù)函數(shù)，A、B選項(xiàng)中的函數(shù)均不為指數(shù)函數(shù)，C選項(xiàng)中的底數(shù)的范圍未知，C選項(xiàng)中的函數(shù)不滿足指數(shù)函數(shù)的定義.故選：D.【變式1-2】下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤.其中一定為指數(shù)函數(shù)的有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】B【解析】形如且為指數(shù)函數(shù)，其解析式需滿足①底數(shù)為大于0，且不等于1的常數(shù)，②系數(shù)為1，③指數(shù)為自變量，所以只有②是指數(shù)函數(shù)，①③④⑤都不是指數(shù)函數(shù)，故選：B.【變式1-3】函數(shù)，，，，其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因?yàn)樾稳绲暮瘮?shù)稱為指數(shù)函數(shù)，所以和是指數(shù)函數(shù)，故選：B．題型二利用指數(shù)函數(shù)的概念求參【例2】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或B．C．D．且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時(shí)，且，所以解得，故選：C【變式2-1】若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（）A．或B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得，解得.故選：C.【變式2-2】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（）A．a(chǎn)＝1或a＝3B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝3D．a(chǎn)＞0且a≠1【答案】C【解析】由已知得，即，解得．故選：C【變式2-3】已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，由是指數(shù)函數(shù)，所以，所以，題型三求指數(shù)函數(shù)的解析式【例3】若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則指數(shù)函數(shù)的解析式為___．【答案】【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.【變式3-1】已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，則________.【答案】【解析】設(shè)（且），則，得，故，因此，.【變式3-2】已知是指數(shù)函數(shù)，若，則___________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，即，解得，所以，即．【變?-3】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，的解析式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，則，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)．題型四指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題【例4】函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)過定點(diǎn).故選：B【變式4-1】對(duì)任意實(shí)數(shù)且關(guān)于x的函數(shù)圖象必過定點(diǎn)()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，過定點(diǎn)(0，1)，則過定點(diǎn)(0，5).故選：C.【變式4-2】已知函數(shù)（且），則函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)______．【答案】【解析】由解析式，當(dāng)，即時(shí)，所以的圖像恒過定點(diǎn).【變式4-3】已知函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)，所以為，，故選：C.題型五指數(shù)函數(shù)的圖象問題【例5】函數(shù)的圖像如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，排除AB選項(xiàng)；函數(shù)圖像是由向左平移所得，，.故D選項(xiàng)正確.【變式5-1】若函數(shù)的圖象如圖所示，且，則實(shí)數(shù)，的值可能為（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由函數(shù)的圖像，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又由，可得，可得，結(jié)合選項(xiàng)，只有C項(xiàng)適合.故選：C.【變式5-2】函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則a，b，c，d的值分別是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】C【解析】直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為c，d，a，b，而，所以a，b，c，d的值分別是，，，，故選：C.【變式5-3】如圖，曲線①②③④分別是指數(shù)函數(shù)，，，的圖像，則實(shí)數(shù)a、b、c、d的大小關(guān)系滿足（）A．B．C．；D．．【答案】B【解析】作出直線，此時(shí)與各函數(shù)的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的底數(shù)，如圖，所以，故選：B【變式5-4】在同一平面直角坐標(biāo)系中，指數(shù)函數(shù)且和一次函數(shù)的圖像關(guān)系可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以一次函數(shù)與x軸交于，與y軸交于，故排除B選項(xiàng)；對(duì)于A選項(xiàng)，一次函數(shù)的縱截距，而冪函數(shù)的圖象中的，故A選項(xiàng)不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，一次函數(shù)的縱截距，而冪函數(shù)的圖象中的，故D選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，一次函數(shù)的縱截距，而冪函數(shù)的圖象中的，故C選項(xiàng)正確；故選：C.【變式5-5】已知函數(shù)（且）的圖象不經(jīng)過第二象限，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（且）的圖象不經(jīng)過第二象限，所以，解得，即；故選：A【變式5-6】如果函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，則，解得，故選：B題型六比較指數(shù)冪的大小【例6】已知，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，，所以，又，∴．故選：C．【變式6-1】若，則a?b?c的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，即，所以，即，故選：A【變式6-2】已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，即，所以，又，所以，而遞增，故，故選：D【變式6-3】設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，故.故選：B【變式6-4】若，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)是上的減函數(shù)，，即，冪函數(shù)，在上是增函數(shù)，，即，，故．故選：D．【變式6-5】已知函數(shù)，，是正實(shí)數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為()A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，是正?shí)數(shù)，所以由基本不等式可得：，又，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以，即.故選：A.題型七解指數(shù)型不等式【例7】若x滿足不等式，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析由可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以即，解得：，所以，即函數(shù)的值域是，故選：B.【變式7-1】已知函數(shù)，則不等式的解集為()A.B.C.D.【答案】B【解析】可知函數(shù)為減函數(shù)，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集為．故選B.【變式7-2】不等式的解集是______．【答案】【解析】．【變式7-3】解不等式（且）.【答案】當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為.【解析】當(dāng)時(shí)，由于單調(diào)遞增，所以，解得：或；當(dāng)時(shí)，于單調(diào)遞減，所以，解得：，綜上：當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為.【變式7-4】已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】因?yàn)椋x域?yàn)?，且，故為奇函?shù)；又均為單調(diào)增函數(shù)，故是上的單調(diào)增函數(shù)；則，即，也即，故，，解得.故不等式的解集為.故答案為：.【變式7-5】已知函數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，∴，即為奇函數(shù)，又在R上均為減函數(shù)，∴為減函數(shù)，由得：，∴，即，解得.故選：D.題型八指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性問題【例8】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)“同增異減”可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A.【變式8-1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則“同增異減”得：的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D【變式8-2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是由于在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：A【變式8-3】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，，解得：，即定義域?yàn)?，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C【變式8-4】函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間為_______.【答案】【解析】令，則函數(shù)為，為減函數(shù)，所以要求函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間，只需求的減區(qū)間，又，所以的減區(qū)間為，所以函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間為.【變式8-5】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________．【答案】【解析】令，，當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即，單調(diào)遞減；因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【變式8-6】若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可得，在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為所以，即故答案為：【變式8-7】已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】令，可得拋物線的開口向上，且對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又由函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型九指數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題【例9】已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m，n的值.【答案】【解析】由于是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，由于是奇函數(shù)，所以，所以，即，所以.【變式9-1】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得.【變式9-2】已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．【答案】1【解析】由題設(shè)，，所以.【變式9-3】已知函數(shù)是偶函數(shù)，則常數(shù)的值為__．【答案】【解析】易知函數(shù)定義域?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)都成立，，對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)都成立，即.【變式9-4】設(shè)函數(shù)（且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)．求實(shí)數(shù)k的值；【答案】【解析】函數(shù)（且）是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則，所以，又時(shí)，，對(duì)任意的，都有成立，滿足題意，所以；題型十指數(shù)型函數(shù)的值域問題【例10】函數(shù)的值域是__________.【答案】【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上