函數(shù)專題：函數(shù)不等式恒成立與能成立一、單變量不等式恒成立問題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：1、，2、，3、，4、，二、雙變量不等式與等式一般地，已知函數(shù)，1、不等關(guān)系（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．2、相等關(guān)系記的值域?yàn)锳,的值域?yàn)锽,（1）若，，有成立，則有；（2）若，，有成立，則有；（3）若，，有成立，故；題型一單變量不等式恒成立問題【例1】已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意的，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，∴，解得，經(jīng)驗(yàn)證：為奇函數(shù)，符合題意，故；（2）∵，∴在上單調(diào)遞增，且．∵，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，∴在上恒成立，設(shè)，令，則，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，則，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式1-1】已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，，即，解得．此時(shí)，則，符合題意；（2）因?yàn)?，且在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞增，則不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得，即.【變式1-2】已知對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【解析】依題意，對(duì)任意恒成立，可等價(jià)為對(duì)任意恒成立，即，令，，，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式1-3】已知，其中為常數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，試求的取值范圍；【答案】（1）；（2）【解析】（1）得??；（2），令，，設(shè)，則，在上為增函數(shù)?時(shí)，有最小值為2，.【變式1-4】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的定義域；（2）若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，令，即，即，解得，所以的定義域?yàn)?（2）由對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，因?yàn)槭菃握{(diào)遞減函數(shù)，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍為.題型二單變量不等式能成立問題【例2】定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)（）．（1）求在上的解析式；（2）若存在時(shí)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則，得．經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意：故；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．又是奇函數(shù)，則．綜上，當(dāng)時(shí)，．（2）根據(jù)題意，若存在，使得成立，即在有解，即在有解．又由，則在有解．設(shè)，分析可得在上單調(diào)遞減，又由時(shí)，，故．即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【變式2-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?）求的定義域；（2）對(duì)于（1）中的集合，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵的定義域?yàn)?，∴．∴，則．（2）令，，使得成立，即大于在上的最小值．∵，∴在上的最小值為，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式2-2】已知函數(shù)，其中（1）若的最小值為，求的值；（2）若存在，使成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，解得.（2）令，則，由可得，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，?【變式2-3】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，試判斷并證明其單調(diào)性.（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見解析；；（2）.【解析】（1）在上單調(diào)遞增，證明如下：，且，則，由得：，，所以，即在上的單調(diào)遞增（2）由題設(shè)，使，又，即是偶函數(shù)，結(jié)合（1）知：在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，即，令，則使，可得，令在單調(diào)遞增，故；所以，即.【變式2-4】已知1≤x≤27，函數(shù)(a＞0)的最大值為4，最小值為0．（1）求a、b的值；（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1），由1≤x≤27得，，又a＞0，因此的最大值為，最小值為，解得．（2），又，，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由不等式在上有解，得：．因此，的取值范圍是．題型三任意-任意型不等式成立問題【例3】已知，若對(duì)任意，，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】易知在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，，對(duì)任意，，使得，則所以，即.故選：C.【變式3-1】已知定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，其中，.（1）求函數(shù)的最小值；（2）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以；（2），當(dāng)時(shí)，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.若對(duì)任意，恒成立則，故或解得：.【變式3-2】已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）試求出函數(shù)的定義域，并判斷該函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性；（判斷函數(shù)的單調(diào)性不必給出證明.）（3）若函數(shù)，且對(duì)，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2021；（2）定義域?yàn)椋瘮?shù)在上為減函數(shù)；奇函數(shù)；（3）.【解析】（1）；（2）由有，∴函數(shù)的定義域?yàn)?∵，∴函數(shù)在上為減函數(shù)；，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴函數(shù)為奇函數(shù)；（3）∵對(duì)，，都有恒成立，∴，由（2）知在上為減函數(shù)，∴，∵，令，則，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)即時(shí)，，∴，即，∴的取值范圍為.【變式3-3】已知函數(shù)，且的解集為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若對(duì)于任意的、都有，求的最小值.【答案】（1）；（2）的最小值為.【解析】（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所以的根為、，由韋達(dá)定理可得，即，，所以.（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)于任意的、都有，即求，轉(zhuǎn)化為，而，，所以，.所以的最小值為.題型四任意-存在型不等式成立問題【例4】已知函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】對(duì)任意的，總存在，使得，即，因?qū)春瘮?shù)在上遞減，在上遞增，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，所以，由得，即．【變式4-1】已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)如果對(duì)于任意的，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】若對(duì)于，，使得，則等價(jià)為是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，，，則滿足，解得.【變式4-2】已知函數(shù)（a＞0且）是偶函數(shù)，函數(shù)（a＞0且）．（1）求實(shí)數(shù)b的值；（2）當(dāng)a＝2時(shí)，若，，使得恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)，，即，所以，則，可得.（2）由（1）及a＝2知：，，所以在，上恒成立，令且，且，只需恒成立，而，由在上遞增，在上遞減，上遞增，在定義域上遞增，所以在上遞減，上遞增，故，綜上，在上恒成立，令，則在上恒成立，而，故，可得.【變式4-3】已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義法證明你的判斷：（3）設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，證明見解析；（3）【解析】（1）為偶函數(shù)，定義域?yàn)?，故?duì)定義域內(nèi)恒成立，，即對(duì)定義域內(nèi)恒成立，故；（2），在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，證明：設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，同理可證在上單調(diào)遞減；（3）由題意得，而，①時(shí)，，，解得，②時(shí)，，，故時(shí)恒滿足題意，綜上，的取值范圍是．題型五存在-存在型不等式成立問題【例5】已知函數(shù)，，若存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】a＞－4【解析】問題可轉(zhuǎn)化為f(x)max>g(x)min，易得f(x)max=4，g(x)min=－a，由f(x)max>g(x)min得：4＞－a，故a＞－4即為所求.【變式5-1】已知函數(shù)，，若，，使得成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】存在，，，使得成立，等價(jià)為在，上，．由在，遞增，可得的最小值為，又，所以在，遞減，可得的最大值為，由，解得，所以；綜上可得，的范圍是．【變式5-2】已知，，對(duì)于，，成立．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)于，，成立故當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)樵谶f減，遞增，且，，故，而在遞減，故所以，解得，即a的取值范圍是．【變式5-3】已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，．（1）求的值；（2）若存在，，，使得成立，求的取值范圍．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，即，即，解得，故；（2）由（1）可得，因?yàn)?，所以在，上是增函?shù)，在，上是減函數(shù)，所以（2），設(shè)，，，可得，，則在，遞增，可得時(shí)，（2）取得最小值，存在，，，使得成立，可得，即為．題型六任意-存在型等式成立問題【例6】已知函數(shù)，，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】定義，，值域?yàn)锳；令，，則可化為在上單增，所以，，即集合.定義，，值域?yàn)锽；因?yàn)閷?duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞減，所以，即集合因?yàn)閷?duì)于任意，總存在，使得成立，所以.只需解得：，即。故選：D【變式6-1】已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)．（1）求的值，并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）求不等式的解集；（3）設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），證明見解析；（2）；（3）【解析】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，得所以下面用定義法證明單調(diào)性：，且則因?yàn)?，所以所以，即所以函?shù)在R上單調(diào)遞增.（2）由（1）知在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故不等式即，整理得，即，解得，故不等式解集為（3）因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上，，，故當(dāng)時(shí)，，不存在符合題意的；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，要使對(duì)任意的，總存在，使得成立則需，即，解得，即【變式6-2】已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)任意的，記.記.由題意知，當(dāng)時(shí)不成立，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，所以，記由題意知，所以，解得.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，所以，記，由題意知，所以，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式6-3】已知函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒成立，函數(shù)，若對(duì)，，使，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，解得，所以.當(dāng)時(shí)，，，令，則在區(qū)間上遞減，，所以，所以當(dāng)時(shí)，.依題意，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，所以在區(qū)間