第四章：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一指數(shù)與對(duì)數(shù)混合運(yùn)算【例1】計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）1；（2）3【解析】（1）原式．（2）原式.【變式1-1】化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）,（2）,（3）方法一（從外向里化簡(jiǎn)）．方法二（從里向外化簡(jiǎn)）．【變式1-2】計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）0；（2）3；（3）1【解析】（1）方法一：（直接運(yùn)算）原式．方法二：（拆項(xiàng)后運(yùn)算）原式．（2）原式．（3）原式．【變式1-3】（1）；（2）．【答案】（1）2；（2）4.【解析】（1）原式．（2）原式．【變式1-4】解關(guān)于的方程.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）即，令（），原方程可化為，解得（舍）或，∴，∴，即.∴原方程的解為.（2）原方程中需滿足，即，∵∴∴，∴即，解得（舍）或∴原方程的解為.題型二指數(shù)運(yùn)算中的條件求值【例2】已知，，則的值為（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】．故選：B【變式2-1】已知，，，且，則______．【答案】4【解析】因?yàn)?，，所以兩式相乘得，則．將代入，得，所以．故答案為：4【變式2-2】若則（）A．10B．15C．D．【答案】C【解析】因?yàn)閮蛇吰椒降茫矗栽?，故選：C【變式2-3】已知，，且，用表示．【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，所以．原式．【變?-4】）（1）已知，計(jì)算：；（2）設(shè)，，求的值．【答案】（1）4；（2）27【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以．?）因?yàn)?，所以，即．又，所以，即，由，解得，故的值?7．題型三用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)【例3】已知，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以．故選：D.【變式3-1】若，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B【變式3-2】已知，則下列能化簡(jiǎn)為的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：B.【變式3-3】（多選）已知，，則的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由換底公式得：，，，其中，，故故選：ABD.【變式3-4】）（1）已知，，試用表示；（2）已知，，試用表示．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，，；（2），，．題型四指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)定義【例4】若函數(shù)（，且）是指數(shù)函數(shù)，則________．【答案】8【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，所以．故答案為：8.【變式4-1】已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，則______．【答案】【解析】由題意，設(shè)（且），因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以．故答案為：【變?-2】下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù).故選：D.【變式4-3】若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則.【答案】5【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有，解得，故答案為：5．【變式4-4】已知為對(duì)數(shù)函數(shù)，，則______．【答案】1【解析】設(shè)（，且），則，∴，即，∴，∴．題型五指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例5】函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則a，b，c，d的值分別是（）A．，，，B．，，，C．，，，，D．，，，，【答案】C【解析】由題圖，直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)從上到下依次為c，d，a，b，而.故選：C．【變式5-1】已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像經(jīng)過（）．A．第一、二、四象限B．第二、三、四象限C．第二、四象限D(zhuǎn)．第一、二象限【答案】B【解析】因?yàn)?，所以函?shù)的圖象經(jīng)過一、二象限，又的圖象是由的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位得到，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，如圖，故選：B【變式5-2】函數(shù)且的圖象可能是（）

A．①③B．②④C．④D．①【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象為過點(diǎn)的上升的曲線，函數(shù)圖象由函數(shù)向下平移個(gè)單位可得，故①②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象為過點(diǎn)的下降的曲線，函數(shù)圖象由函數(shù)向下平移個(gè)單位可得，故④正確③錯(cuò)誤；故選：C【變式5-3】函數(shù)（且）與的圖象有可能是下圖中的（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，恒過定點(diǎn)（0，1），遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減，恒過定點(diǎn)（0，1），遞增，故選：D【變式5-4】函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的減函數(shù)，且時(shí)，，即圖象過點(diǎn)；符合條件的圖象是．故選：A．題型六對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例6】如圖所示的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為_____________．【答案】b＞a＞1＞d＞c【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象可得：loga2＞logb2＞0＞logc2＞logd2，即∴b＞a＞1＞d＞c．故答案為：b＞a＞1＞d＞c．【變式6-1】已知函數(shù)的圖象如圖，則________．【答案】8【解析】由圖像可得：過點(diǎn)和，則有：，解得．∴．故答案為：８．【變式6-2】已知函數(shù)的圖像不經(jīng)過第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】由于函數(shù)的圖像不經(jīng)過第四象限，所以，即，所以.故填：.【變式6-3】畫出函數(shù)的圖象.【答案】答案見解析．【解析】按照流程：1.圖像向上平移1個(gè)單位；2.圖像向右平移個(gè)單位．【變式6-4】當(dāng)時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，與的圖象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的定義域?yàn)?，故AD錯(cuò)誤；BC中，又因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤，B正確.故選：B題型七指對(duì)冪比較大小問題【例7】設(shè)，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，；，，，；，，，，綜上，．故選：．【變式7-1】設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題得：又綜上：故選：A.【變式7-2】已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得，所以.故選：D.【變式7-3】已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，即，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，即，所以，故選：B.【變式7-4】已知，則下列判斷正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，所以．故選：A題型八指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)【例8】函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】令，即，則，所以定點(diǎn)為，故答案為：【變式8-1】若且，則函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)（）A．（2，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，2）【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，則，則函數(shù)過定點(diǎn).故選：D.【變式8-2】（多選）下列四個(gè)函數(shù)的圖象都有恒過的定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)相同的函數(shù)是（）A．B．且C．且D．【答案】ABCD【解析】對(duì)于A、函數(shù)可化為，令，得，，故函數(shù)的圖象恒過對(duì)于B、當(dāng)，即時(shí)，無(wú)論取何值，，故函數(shù)的圖象恒過對(duì)于C、令，則，，故函數(shù)的圖象恒過；對(duì)于D、令，則，，故函數(shù)的圖象恒過．綜上，ABCD都符合題意.故選：ABCD【變式8-3】已知函數(shù)(且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，則__________．【答案】【解析】由題意函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故得，又點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，，解得，故答案為：．【變式8-4】已知直線過函數(shù)（，且）的定點(diǎn)T，則的最小值為（）A．4B．6C．D．【答案】C【解析】函數(shù)過定點(diǎn)，所以，將代入直線，得，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)“=”成立.故選：C.題型九指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域【例9】函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則，即，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋咀兪?-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t_________．【答案】【解析】由題意可知，不等式的解集為，則，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，合乎題意.【變式9-2】函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】根據(jù)題意，由，解得且，因此定義域?yàn)?故答案為：.【變式9-3】函數(shù)的定義域?yàn)開___________．【答案】【解析】依題意，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋还蚀鸢笧椋骸咀兪?-4】函數(shù)的定義域_____________【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足，即，解得故函數(shù)定義域?yàn)轭}型十指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的值域【例10】函數(shù)的值域是__________.【答案】【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)有最大值為，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最小值為.所以值域?yàn)?故答案為：【變式10-1】函數(shù)在的值域?yàn)開_____．【答案】【解析】，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海咀兪?0-2】函數(shù)，的最大值為______.【答案】-2【解析】因?yàn)?，則，由于是減函數(shù)，所以，故答案為：-2【變式10-3】已知，，設(shè)函數(shù)，_____.【答案】【解析】因?yàn)椋?，，由，，所?，令，，則在上單調(diào)遞增，，，；故答案為：【變式10-4】已知函數(shù)，則使有意義的x的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】的定義域是，由得．所以使有意義的x的取值范圍是．故選：B．題型十一利用單調(diào)性解指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式【例11】不等式的解集為__________.【答案】【解析】由，得，所以，即，得，解得或，所以不等式的解集為，故答案為：【變式11-1】關(guān)于的不等式的解集為______;【答案】【解析】由題知：，整理得：，即，解得，即.故答案為：【變式11-2】已知是在定義域上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意都滿足：，則滿足不等式的的取值范圍是________.【答案】【解析】由題意得為正常數(shù)，令，則，且，解得，原不等式為，可得，解得，故答案為：【變式11-3】如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解為___________.【答案】【解析】因?yàn)榻?jīng)過，所以時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，可得，所以的解集為.故答案為：.【變式11-4】解下列不等式：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題且，且，得且，，則，由，，化簡(jiǎn)得，則或，解得或，故不等式解集為.（2）由題，則或，解得.故不等式解集為.題型十二判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間【例12】已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含零點(diǎn)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知函數(shù)，，，所以含零點(diǎn)的區(qū)間是，故選：A【變式12-1】方程的根所在的區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，顯然單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可知：的零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以的根所在區(qū)間為.故選：B【變式12-2】設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則所在的區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可令函數(shù)，則的零點(diǎn)即為，又在上單調(diào)遞增，，，所以．故選：B．【變式12-3】已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，則整數(shù)（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與在上均為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，，所以函?shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，故.故選：B.【變式12-4】設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且有零點(diǎn)，所以，解得，故答案為：題型十三判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例13】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．【答案】1【解析】解法一：令，可得方程，即，故原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象（如圖）．由圖可知，函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故答案為：1解法二：∵，，∴，又的圖象在上是不間斷的，∴在上必有零點(diǎn)，又在上是單調(diào)遞增的，∴函數(shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，故答案為：1【變式13-1】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．【答案】1【解析】令，可得方程．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故方程只有一個(gè)解，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．故答案為：1.【變式13-2】若偶函數(shù)在定義域內(nèi)滿足，且當(dāng)時(shí)，；則的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．9D．18【答案】D【解析】由可知偶函數(shù)周期為2，故先畫出時(shí)，的函數(shù)圖象，再分別利用偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱、周期為2畫出的函數(shù)圖象，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，易得在上有個(gè)交點(diǎn)，故在定義域內(nèi)有18個(gè)交點(diǎn).故選：D【變式13-3】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】令，，則，即，分別作出函數(shù)和直線的圖象，如圖所示，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為，，則，，對(duì)于，分別作出函數(shù)和直線的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，即方程有兩個(gè)不相等的根，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和直線有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不相等的根，綜上可得的實(shí)根個(gè)數(shù)為，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.故選：B.【變式13-4】已知函數(shù)，則的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)共有（）A．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖示，則的圖象上上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，即為當(dāng)時(shí)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖象，與的圖象的交點(diǎn)，由圖象可知，交點(diǎn)有2個(gè)，所以函數(shù)的圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)共有2對(duì)．故選：．題型十四根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)【例14】（多選）已知函數(shù)，，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因?yàn)?，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)根，則方程在和時(shí)各有一個(gè)實(shí)根，則，當(dāng)時(shí)，由得，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，可得.由題意可得，解得，故選：BC.【變式14-1】若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)a的值共有（）A．7個(gè)B．8個(gè)