第4講空間曲面第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學（下冊）（慕課版）主講教師|01空間曲面的定義本講內(nèi)容02特殊的空間曲面301空間曲面的定義定義8.12如果曲面Σ與方程??(??,??,??)=0滿足如下關系：(1)曲面Σ上每一點的坐標都滿足方程??(??,??,??)=0；(2)以滿足方程??(??,??,??)=0的解為坐標的點都在曲面Σ上.ΣzOxy??則稱方程??(??,??,??)=0為曲面Σ的方程,而稱曲面Σ為此方程的圖形,如圖所示.01空間曲面的定義本講內(nèi)容02特殊的空間曲面502特殊的空間曲面1.球面在空間中,到一定點的距離等于定長的點的集合叫做球面

,其中定點為球心,定長為半徑.602特殊的空間曲面建立球面的中心點為M0(x0,y0,z0)

,半徑為??的球面方程,如圖所示.??例1MM0ROxyz702特殊的空間曲面解

設??(??,??,??)是球面上任一點,則即

兩邊平方,得這也就是說，球面上任意一點的坐標都滿足方程(8.10),而不在球面上的點的坐標一定不滿足方程(8.10).特別地,以坐標原點為球心,以??為半徑的球面方程為

802特殊的空間曲面

令

將（8.10）式展開得

902特殊的空間曲面球面方程具有下列兩個特點：(1)它是??,??,??之間的二次方程,且方程中缺????,????,????項；(2)x2,y2,z2的系數(shù)相同且不為零.

則有此方程稱為球面的一般方程.1002特殊的空間曲面方程x2+y2+z2?4x+2y

=0表示怎樣的曲面？通過配方原方程可以改寫為解??例2

1102特殊的空間曲面

準線C母線L2.柱面用直線??沿空間一條曲線??平行移動所形成的曲面稱為柱面.下面只研究在空間直角坐標系中準線在坐標面上,母線平行于坐標軸的柱面方程.動直線L稱為柱面的母線，定曲線??稱為柱面的準線,如圖所示.??例3在??????平面上,方程x2+y2=R2表示圓心在坐標原點,半徑為??的圓.1202特殊的空間曲面解分析方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？在空間直角坐標系中,由于方程缺少??,這意味著不論空間的點??怎么取,坐標??和??滿足x2+y2=R2的點都在曲面上.1302特殊的空間曲面MM0xyOz因此,任意點??(??,??,??)在曲面上的充分必要條件是??0(??,??,0)在圓x2+y2=R2上,而點??是過點??0且平行于??軸的直線組成,即方程x2+y2=R2表示柱面，此柱面為圓柱面,如圖所示.1402特殊的空間曲面一般地：方程中缺少??,即??(??,??)=0,表示準線在??????平面上,母線平行于??軸的柱面；方程中缺少??,即??(??,??)=0,表示準線在??????平面上,母線平行于??軸的柱面；方程中缺少??,即?(??,??)=0,表示準線在??????平面上,母線平行于??軸的柱面.1502特殊的空間曲面xyOz（a)常見柱面

(1)方程

表示母線平行于??軸的雙曲柱面,

其準線為??????平面上的雙曲線

如圖(??)所示；1602特殊的空間曲面

xyOz（b)

1702特殊的空間曲面3.旋轉曲面一條平面曲線??繞同一平面內(nèi)的一條定直線??旋轉一周所形成的曲面稱為旋轉曲面.曲線??稱為旋轉曲面的母線,母線旋轉軸定直線??稱為旋轉曲面的旋轉軸,簡稱軸，如圖所示.繞??軸旋轉生成的旋轉雙葉雙曲面,如圖8.26所示,其方程為1802特殊的空間曲面解??例4圖8.26Oyxz將坐標面??????上的

分別繞??軸和??軸旋轉一周,求所生成的旋轉曲面的方程.

1902特殊的空間曲面繞??軸旋轉生成旋轉單葉雙曲面,如圖8.27所示,其方程為

圖8.27Oxyz

2002特殊的空間曲面??例5

2102特殊的空間曲面或

這是一個頂點在原點,對稱軸為??軸的圓錐面,如圖8.28所示.解

其中

yoz面上直線方程為z=ycotα,因為旋轉軸為Z軸,所以只要將方程中的

??改成

便得到這個圓錐面方程

xyOz圖8-28

設直線??過??(1,0,0),??(0,1,1)兩點,將??繞??軸旋轉一周得到曲面Σ,求曲面Σ的方程.2202特殊的空間曲面??例6解所以直線??繞??軸旋轉一周得到曲面Σ方程為即

過??(1,0,0),??(0,1,1)兩點的直線方程為

設直線??過??(1,0,0),??(0,1,1)兩點,將??繞??軸旋轉一周得到曲面Σ,求曲面Σ的方程.2302特殊的空間曲面??例7解

1其圖形是一個開口向下的