第1講向量及其運(yùn)算第8章向量代數(shù)與空間解析幾何高等數(shù)學(xué)（下冊）（慕課版）主講教師|空間直角坐標(biāo)系本講內(nèi)容空間兩點(diǎn)間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積01

空間直角坐標(biāo)系3以空間中一定點(diǎn)??為原點(diǎn),過定點(diǎn)??,引3條互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系,稱為空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn)??叫做坐標(biāo)原點(diǎn).這3條數(shù)軸分別叫作??軸（橫軸）,??軸（縱軸）,??

軸（豎軸）,統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.其正向通常符合右手法則.xyOz401

空間直角坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸兩兩決定一個(gè)平面,稱為坐標(biāo)平面,分別記為??????、??????、??????平面,3個(gè)坐標(biāo)平面將空間分為8個(gè)卦限.

ⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅦⅠ501

空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中,空間中的點(diǎn)與三維有序數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.點(diǎn)??,??,??也稱為點(diǎn)??在三個(gè)坐標(biāo)平面??????,??????,??????內(nèi)的投影.空間直角坐標(biāo)系本講內(nèi)容空間兩點(diǎn)間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積702

空間兩點(diǎn)間的距離

解設(shè)??(1,1,1)與??

(2,3,4)為空間兩點(diǎn),求??

與B兩點(diǎn)間的距離.802

空間兩點(diǎn)間的距離

由兩點(diǎn)之間距離公式可得,A與B兩點(diǎn)間的距離為??例1

在??軸上求與點(diǎn)??(3,5,?2)和??(?4,1,5)等距離的點(diǎn)??.902

空間兩點(diǎn)間的距離??例2解由空間兩點(diǎn)間的距離公式,得由于所求的點(diǎn)??在??軸上,因此??點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為(0,0,??),又由于

從而解得即所求的點(diǎn)為

空間直角坐標(biāo)系本講內(nèi)容空間兩點(diǎn)間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積1103

向量的概念既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）.??稱為向量的起點(diǎn),??稱為向量的終點(diǎn),用有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.通常用黑體ɑ,b,c

或帶箭頭的字母

來表示向量.數(shù)學(xué)上,我們用有向線段來表示向量,

1203

向量的概念如果兩個(gè)向量??和??的大小相等,且方向相同,我們就說向量??和??為相等向量,記作??=b.與向量??大小相等,方向相反的向量叫作??的負(fù)向量（反向量）,記作???.1303

向量的概念兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同（或者相反）,就稱這兩個(gè)向量平行.又稱兩向量共線.向量??

與b

平行,記作??∥b.設(shè)有??(??≥3)個(gè)向量,當(dāng)它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí),如果??個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上,則稱這??個(gè)向量共面.空間直角坐標(biāo)系本講內(nèi)容空間兩點(diǎn)間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積就表示??

與b的和,記作??+b.1504

向量的線性運(yùn)算??+bBbC??A??定義8.1該法則稱為三角形法則,如圖所示.對向量??,b

,任取一點(diǎn)??作為向量??

的起點(diǎn),作

再以??為起點(diǎn),作

連接????,那么向量

1.向量的加法1604

向量的線性運(yùn)算該法則稱為平行四邊形法則,如圖所示.??O??+bBb當(dāng)向量??

和b

不平行時(shí),將向量??

與b

平移到同一起點(diǎn)??,以此兩向量為鄰邊作平行四邊形,以起點(diǎn)??到定點(diǎn)??所做的向量為向量??與b的和,即

1704

向量的線性運(yùn)算向量的加法滿足以下運(yùn)算法則.(1)交換律:

(2)結(jié)合律:

1804

向量的線性運(yùn)算??定義8.2向量ɑ與b的負(fù)向量?b的和,稱為向量ɑ與b的差,

特別地,當(dāng)b=??

時(shí),??+(???)=0.2.向量的減法1904

向量的線性運(yùn)算??定義8.3

3.數(shù)乘向量2004

向量的線性運(yùn)算3.數(shù)乘向量??定理8.1若??和??為實(shí)數(shù),向量的數(shù)乘滿足以下運(yùn)算法則.向量的加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.

空間直角坐標(biāo)系本講內(nèi)容空間兩點(diǎn)間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積2205

向量的坐標(biāo)

2305

向量的坐標(biāo)

設(shè)

即r2405

向量的坐標(biāo)

設(shè)則

2505

向量的坐標(biāo)??例3解

e

2605

向量的坐標(biāo)??例4

解

2705

向量的坐標(biāo)

所以

解得??的坐標(biāo)為2805

向量的坐標(biāo)

??例5

解

上的點(diǎn)??將它分為兩條有向

和

線段

求分點(diǎn)??的坐標(biāo).

空間直角坐標(biāo)系本講內(nèi)容空間兩點(diǎn)間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積3006

向量的數(shù)量積與方向余弦??定義8.4

1.向量的數(shù)量積3106

向量的數(shù)量積與方向余弦由數(shù)量積定義可得數(shù)量積滿足如下運(yùn)算性質(zhì).特別地,有

(1)交換律

(2)分配律

(3)結(jié)合律

3206

向量的數(shù)量積與方向余弦

由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得

設(shè)非零向量

3306

向量的數(shù)量積與方向余弦與3條坐標(biāo)軸正向的夾角分別為設(shè)非零向量

OxyzRM2βαM1γ

稱為向量ɑ

的方向余弦.

2.向量方向余弦3406

向量的數(shù)量積與方向余弦

??例6

則

由題意可知解

3506

向量的數(shù)量積與方向余弦

3606

向量的數(shù)量積與方向余弦又

所以向量ɑ的方向余弦為

這就是方向余弦的計(jì)算公式.將以上3式平方后相加,得

3706

向量的數(shù)量積與方向余弦

則??例7由題意知解

由于

空間直角坐標(biāo)系本講內(nèi)容空間兩點(diǎn)間的距離02010304050607向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的坐標(biāo)向量的數(shù)量積和方向余弦向量的向量積與混合積3907

向量的向量積與混合積??定義8.5設(shè)兩向量??

,

b的向量積確定的一個(gè)新向量c

,

c滿足下列條件.

(2)c同時(shí)垂直于向量??與b

,即c垂直于向量??

,

b所決定的平面;(3)c的方向,按順序??,b,c符合右手法則拇指的指向.1.向量的向量積4007

向量的向量積與混合積??注c=??×b.即向量??與b的向量積（也稱為外積或叉積）,記作??×b,兩向量??與b的向量積??

×b是一個(gè)向量,其模|??×b|的幾何意義是以為??,

b鄰邊的平行四邊形的面積4107

向量的向量積與混合積

(4)與數(shù)乘的結(jié)合律:

(3)分配律:

(2)反交換律:對向量??,b及任意實(shí)數(shù)??,由向量積的定義可以推得如下性質(zhì).

4207

向量的向量積與混合積由向量積的定義與性質(zhì),對空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸的單位向量

i,j,k有

向量??={x1,

y1,

z1}和向量b={x2,

y2,

z2}的向量積的坐標(biāo)表示4307

向量的向量積與混合積

為了便于記憶,借助于線性代數(shù)中的二階行列式及三階行列式,則有4407

向量的向量積與混合積??注

對兩個(gè)非零向量??={x1,

y1,

z1},b={x2,

y2,

z2}則有

4507

向量的向量積與混合積??例8解

已知向量??={3,?1,?2},??={1,2,?1},求??×2??.4607

向量的向量積與混合積

??例9

解

因此

根據(jù)向量積模的幾何意義知,三角形ABC的面積為

4707

向量的向量積與混合積

試用向量的線性運(yùn)算證明：三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且其長度等于第三邊的一半.??例10

解如圖所示，D、E分別是CA與BC的中點(diǎn).1即三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且其長度等于第三邊的一半.

得

4807

向量的向量積與混合積

??例11

2解

根據(jù)向量的線性運(yùn)算有

07

向量的向量積與混合積

5007

向量的向量積與混合積

??例123解

由兩點(diǎn)之間距離公式可得，

5107

向量的向量積與混合積

??例12

解4

5207

向量的向量積與混合積

??例135

解07

向量的向量積與混合積

5407

向量的向量積與混合積

??例146

解

07

向量的向量積與混合積

5607

向量的向量積與混合積

??例157

解

5707

向量的向量積與混合積

??例168

解

07

向量的向量積與混合積

5907

向