第7講周期為2π的函數(shù)的傅里葉級數(shù)第7章無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)（下冊）（慕課版）主講教師|本講內(nèi)容01三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)01三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性31.三角級數(shù)形如

均為常數(shù).01三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性42.三角函數(shù)系的正交性

(7.30)稱為三角函數(shù)系.??性質(zhì)7.1上的定積分為零,即

01三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性5??性質(zhì)7.2

本講內(nèi)容01三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)71.傅里葉系數(shù)和傅里葉級數(shù)

8將這些系數(shù)代入三角級數(shù)

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)9??注記為

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)102.傅里葉級數(shù)的收斂性??定理7.1（收斂定理,狄利克雷充分條件）

(1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點,(2)在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點,

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)11??注(1)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低得多.

其中02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

123.正弦級數(shù)、余弦級數(shù)則

稱為正弦級數(shù).

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)13則

稱為余弦級數(shù).

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)144.定義在[-π,π]上的函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)展開法

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)15(4)根據(jù)收斂定理,

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)16??注實際上,系數(shù)計算公式為因此“周期延拓”的步驟可以省略.

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)175.定義在[0,

π]上的函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)展開法

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)18

則得到的傅里葉級數(shù)為正弦級數(shù)

①若在第(1)步中,采用的延拓方式為“奇延拓”+“周期延拓”,02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)19②若在第(1)步中,采用的延拓方式為“偶延拓”+“周期延拓”,則得到的傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù)

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)20(4)①根據(jù)收斂定理,“奇延拓”+“周期延拓”下得到的正弦級數(shù)

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)21??注實際上,系數(shù)計算公式為因此“奇延拓”+“周期延拓”的步驟可以省略.

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)22(4)②根據(jù)收斂定理,“偶延拓”+“周期延拓”下得到的余弦級數(shù)

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)23??注實際上,系數(shù)計算公式為因此“奇延拓”+“周期延拓”的步驟可以省略.

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)24??例1解補充題目

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)25??例2解P40例7.39

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

26

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

27

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

28

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

29

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)xyO2π--3π-2π-π2π3πππ-30??例3解

并求級數(shù)

的和.P51第七章總復(fù)習(xí)題16

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)31

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)32

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

33解得

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)34??例4證明

證明：級數(shù)

絕對收斂.由已知

補充題目

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

35

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

36

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)又??

收斂,所以??

絕對收斂.

其中

37證明

02周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)1??例5

3802周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

3902周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)計算傅立葉系數(shù)如下：

4002周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

4102周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

4202周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)2??例6

解

4302周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)計算傅立葉系數(shù)如下：

4402周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

4502周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

展開式4602周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)3解

??例7

4702周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

4802周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)

根據(jù)收斂定理，

4902周期為2π的函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)4??例