第7講三重積分的概念及其計算(4)第10章重積分及其應(yīng)用主講教師|高等數(shù)學(xué)（下冊）（慕課版）本講內(nèi)容三重積分的概念02空間直角坐標(biāo)系下三重積分的計算03空間物體的質(zhì)量01球面坐標(biāo)系下三重積分的計算05柱面坐標(biāo)系下三重積分的計算04305球面坐標(biāo)系下三重積分的計算在地球上,某地的地理位置可以用經(jīng)度、維度和海拔高度來表示.?設(shè)??(??,??,??)為空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn),點(diǎn)??的位置可用三個有次序的數(shù)??,??,??確定??是點(diǎn)??到原點(diǎn)??的距離；在數(shù)學(xué)上可采用類似方法來表示空間點(diǎn)的位置.?這種表示空間點(diǎn)位置的方法稱為球面坐標(biāo)系.1.球面坐標(biāo)OzxyP)(x,y,zMrzθφAy4

??是有向線段與z軸正向的夾角；設(shè)??為點(diǎn)??在xoy平面上的投影點(diǎn),則??是從z軸正向看,由x軸正向逆時針旋轉(zhuǎn)到有向線段的轉(zhuǎn)角.

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算5這樣的三個參數(shù)(??,??,??)稱為點(diǎn)??的球面坐標(biāo).三個參數(shù)分別取定值時,得三組坐標(biāo)平面.?幾何意義為

(常數(shù))：以原點(diǎn)為中心的球面；

(常數(shù))：以原點(diǎn)為頂點(diǎn),z軸為軸的半圓錐面；

(常數(shù))：過z軸的半平面05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算6

與

的交線是球面上的緯線,

與的交線是球面上的經(jīng)線.

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算7直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與球面坐標(biāo)系中的點(diǎn)之間的關(guān)系

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算8球面坐標(biāo)系中的體積元素?

2.三重積分在球面坐標(biāo)系下的計算公式05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算

若積分區(qū)域Ω是包圍原點(diǎn)的立體,其邊界曲面是包圍原點(diǎn)在內(nèi)的封閉曲面,將其邊界曲面化為球面坐標(biāo)方程??=??(??,??),則有9積分區(qū)域用球面坐標(biāo)表示需要參照幾何形狀,依據(jù)球面坐標(biāo)變量的特點(diǎn)決定.

3.積分區(qū)域的球面坐標(biāo)表示05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算10

例如,Ω是球體

則Ω的球面坐標(biāo)表示形式為05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算11??例1設(shè)??(??,??,??)在Ω上連續(xù),三重積分

(1)?Ω是由上

半球面

及平面??=0所圍成的閉區(qū)域,將??化為柱面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系下的三次積分.將I化為直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系及球面坐標(biāo)系下的三次積分.同步習(xí)題10.4，提高105球面坐標(biāo)系下三重積分的計算

12解(1)?柱面坐標(biāo)系下：球面坐標(biāo)系下：

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算

13(2)?直角坐標(biāo)系：

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算14柱面坐標(biāo)系下:球面坐標(biāo)系下:05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算

15??例2求曲面

與曲面

所圍成的立體Ω的體積??.例10.28解

OxyzΩ2a05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算16

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算17??例3計算其中是錐面與平面z=a(a＞0）所圍成的立體,如圖10.46所示.

圖10.4605球面坐標(biāo)系下三重積分的計算18解解法一：球面坐標(biāo)系由

有

所以積分區(qū)域

則

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算19

解法二：柱面坐標(biāo)系由有.z=r,

則積分區(qū)域

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算

20設(shè)

則

解??例4第10章總復(fù)習(xí)題(8)由輪換對稱性知?

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算21

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算22解??例5設(shè)函數(shù)??(??)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且??(0)=0,

若

求

同步習(xí)題10.4，提高405球面坐標(biāo)系下三重積分的計算23

05球面坐標(biāo)系下三重積分的計算24解??例505球面坐標(biāo)系下三重積分的計算1設(shè)則于