概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第4講隨機(jī)變量的獨(dú)立性第3章多維隨機(jī)變量及其分布2第一章介紹了兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念,由此可以引出兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念.有了邊緣分布,我們就可以很方便的判斷隨機(jī)變量X和Y之間的獨(dú)立性.第4講

隨機(jī)變量的獨(dú)立性01兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立定義02隨機(jī)變量的獨(dú)立性本講內(nèi)容如何判斷兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的定義設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.??兩事件A,B獨(dú)立定義若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.401兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立定義??結(jié)論用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則稱X,Y相互獨(dú)立.若對任意的x,y,有它表明,兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立時(shí),兩聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.501兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立定義即離散型X與Y獨(dú)立對一切i,j

有601兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立定義連續(xù)型X與Y獨(dú)立對一切x,y

有二維隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立,完全確定聯(lián)合分布則邊緣分布,701兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立定義01兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立定義02隨機(jī)變量的獨(dú)立性本講內(nèi)容判斷應(yīng)用隨機(jī)變量的獨(dú)立性902隨機(jī)變量的獨(dú)立性判斷??第一講例題討論X,Y是否獨(dú)立？故X,Y相互獨(dú)立1002隨機(jī)變量的獨(dú)立性0.500.30不獨(dú)立判斷??第二講例題11001000.200.200.1502002500.100.050.500.500.250.251102隨機(jī)變量的獨(dú)立性(??，??)的聯(lián)合與邊緣分布律討論X,Y是否獨(dú)立？故X,Y不獨(dú)立1102xy判斷12??第三講例題02隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)隨機(jī)變量(??，??)?服從區(qū)域G上的均勻分布．其他其他其他應(yīng)用??例11302隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(??，??)的聯(lián)合分布律為試確定常數(shù)(??，??)使得隨機(jī)變量??與??相互獨(dú)立．14解由表，可得隨機(jī)變量??與??的邊緣分布律為如果隨機(jī)變量

??

與

??

相互獨(dú)立，則有02隨機(jī)變量的獨(dú)立性15由此得由此得??結(jié)論

02隨機(jī)變量的獨(dú)立性

16??例2設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布,求解02隨機(jī)變量的獨(dú)立性其他證對任何x,y

有取相互獨(dú)立17??命題02隨機(jī)變量的獨(dú)立性故將代入即得1802隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布求19??例3解02隨機(jī)變量的獨(dú)立性??~??(1,1),??~??(0,1)且獨(dú)立在左轉(zhuǎn)車道上，每個(gè)信號周期內(nèi)的私家車數(shù)量記為X，20

X

Y

0120123450.0250.0150.0100.0500.0300.0200.1250.0750.0500.1500.0900.0600.1000.0600.0400.0500.0300.020問隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立？由邊緣分布律的定義可得X的分布律為：X012345P0.0500.1000.2500.3000.2000.100公交車數(shù)量??例4且(??,??)的聯(lián)合分布見下表：記為??，??與??都是隨機(jī)變量，解02隨機(jī)變量的獨(dú)立性Y的分布律為：21故隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的.Y012P0.5000.3000.200可以驗(yàn)證，隨機(jī)變量(??,??)的任意一點(diǎn)都滿足02隨機(jī)變量的獨(dú)立性22本節(jié)我們學(xué)習(xí)了二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性,后續(xù)會推廣到更多維.隨機(jī)變量的獨(dú)立性在概率論