高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省文山壯族苗族自治州2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，即，因，則.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.-1 B.1 C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，.故選：D.3.拋物線的焦點坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由化為標準方程得，開口向上，則，即，所以的焦點坐標是.故選：C.4.空間直角坐標系中，已知向量，，若，則（）A. B.2 C.4 D.【答案】A【解析】由可得，即，解得.故選：A.5.若雙曲線（，）的實軸長為4，焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，即可得，且，即；因此可得，可得；再由漸近線方程可得該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.6.已知在上滿足，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由在上滿足可得在上單調(diào)遞減；所以需滿足，解得；即實數(shù)的取值范圍為.故選：B.7.已知長方體的體積為16，且，則長方體外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，由長方體的體積為16可得：，即，長方體外接球的半徑為，所以，當且僅當“”時取等，所以，當，長方體外接球表面積的最小值為.故選：C.8.已知點O0,0，點滿足，則點到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，因點滿足，則點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，又直線經(jīng)過定點，由圖知，要使點到直線的距離最大，只需使圓心到直線的距離最大，即當且僅當軸時，點到直線的距離最大，為.（理由：如圖，過點另作一條直線，過點作于點，在中顯然有，故當且僅當軸時，點到直線的距離最大）.故選：D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.某學(xué)校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該校共有2000名同學(xué)，每名同學(xué)依據(jù)自己興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團的同學(xué)有8名，參加太極拳社團的同學(xué)有12名，則（）A.這五個社團的總?cè)藬?shù)為100B.脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總?cè)藬?shù)的20%C.這五個社團總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的5%D.從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為45%【答案】BD【解析】對于A，參加朗誦社團的同學(xué)有8名，占比為，所以這五個社團的總?cè)藬?shù)為人，即A錯誤；對于B，太極拳社團的同學(xué)有12名，可知其占比為，因此脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總?cè)藬?shù)的，即B正確；對于C，該校共有2000名，所以這五個社團總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的，即C錯誤；對于D，由選項B易知脫口秀社團共有人，舞蹈社團共有人，兩社團共有人，所以從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為，即D正確.故選：BD.10.已知圓，，則下列說法正確的是（）A.當時，圓與圓有2條公切線B.當時，是圓與圓的一條公切線C.當時，圓與圓相離D.當時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】由題可知圓心，半徑，圓心，半徑；故兩圓圓心距為，對于A，當時，，此時兩圓相離，故圓與圓有4條公切線，即A錯誤；對于B，當時，是圓的切線，又圓心到的距離為，即圓與相切，所以是圓與圓的一條公切線，即B正確；對于C，當時，，此時圓與圓相離，即C正確；對于D，當時，，此時圓與圓相交，將兩圓方程相減可得，即圓與圓的公共弦所在直線的方程為，即D錯誤.故選：BC.11.已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于，兩點.點在上的射影為，點為坐標原點，則下列說法正確的是（）A.過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有3條B.以為直徑的圓與相切C.設(shè)，則D.若，則的面積為【答案】ACD【解析】對于A，過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線必有；當直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，當直線與拋物線有且僅有一個公共點，聯(lián)立整理可得，所以；解得，所以切線方程為，綜上可知，過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有3條，即A正確；對于B，如下圖所示：設(shè)點在上的射影為，取的中點為，的中點為，由拋物線定義可知，在梯形中，有，所以以為直徑的圓與準線相切，切點為，可得B錯誤；對于C，易知F1,0，由拋物線定義可知，所以，當三點共線時，有最小值為，所以，即C正確；對于D，設(shè)的方程為，聯(lián)立整理可得，可得，因此；可得，因此，又可得，解得；易知到直線的距離為，所以的面積為，即D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知平面過點，，三點.直線與平面垂直，則直線的一個方向向量的坐標可以是__________.【答案】（答案不唯一）【解析】易知，可設(shè)平面的一個法向量為，可得，令，可得；所以；因為直線與平面垂直，所以直線的一個方向向量與共線，所以直線的一個方向向量的坐標可以是.13.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)為奇函數(shù)，則__________.【答案】【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位以后可得；即為奇函數(shù)，因此可得，即；又，可知當時，符合題意.14.年月，歐內(nèi)斯特·盧瑟福在《哲學(xué)》雜志上發(fā)表論文.在這篇論文中，他描述了用粒子轟擊厚的金箔時拍攝到的運動情況.在進行這個實驗之前，盧瑟福希望粒子能夠通過金箔，就像子彈穿過雪一樣，事實上，有極小一部分粒子從金箔上反彈.如圖顯示了盧瑟福實驗中偏轉(zhuǎn)的粒子遵循雙曲線一支的路徑，則該雙曲線的離心率為__________；如果粒子的路徑經(jīng)過點，則該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心__________cm.【答案】【解析】由題意可知雙曲線的一條漸近線方程為，即可得，因此離心率為；設(shè)雙曲線的方程為，將代入計算可得，解得；所以該粒子路徑的頂點距雙曲線的中心cm.四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.在銳角中，，，分別是角所對的邊，已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.解：（1）由可得，又，所以，即；可得，可得，由銳角可知，可知，因此，整理可得，所以，即；（2）由（1）中，利用正弦定理可得；因為，所以，可知.16.已知點A是圓C：與y軸的公共點，點B是圓C上到x軸距離最大的點．（1）求直線的方程；（2）求經(jīng)過A，B兩點，且圓心在直線上的圓的標準方程．解：（1）由，解得，即，顯然軸，，點在軸上方，則，所以直線的方程為，即.（2）由（1）知，，，線段的中點為，而直線的斜率為1，因此線段的中垂線方程為，即，由，解得，于是所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的標準方程為.17.已知函數(shù).（1）當時，求在上的最值；（2）設(shè)函數(shù)，若存在最小值-8，求實數(shù)的值.解：（1）當時，，設(shè)，則，開口向上，對稱軸，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，，所以在上的最小值為，最大值為8.（2），設(shè)，當且僅當，即時取得等號，所以，，對稱軸當，即時，，在上單調(diào)遞增，則當時，，解得，不滿足題意；當，即時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以時，，解得或（舍去），綜上，實數(shù)的值為.18.如圖，已知在四棱柱中，底面為梯形，，底面，，其中，，是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角余弦值；（3）求點到平面的距離.（1）證明：由底面，可得以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：可得,；則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，即，因為，可得，且平面，所以平面（2）解：設(shè)平面的一個法向量為，則則，解得，令，可得，即，所以因此平面與平面夾角的余弦值為；（3）解：易知，平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為.19.已知橢圓C:x2a2+（1）求的方程；（2）過左焦點的直線