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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河北區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本大題共10個小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知雙曲線(,)的離心率為2,則它的漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】由得雙曲線的漸近線方程為.∵雙曲線的離心率為2,∴,解得,∴雙曲線的漸近線方程為.故選:D.2.已知直線經(jīng)過,兩點(diǎn),且直線,則直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為,因?yàn)橹本€的斜率,由,得,所以,即,又,則,所以直線的傾斜角為.故選:B.3.直線與橢圓()的位置關(guān)系為()A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定【答案】C【解析】因?yàn)橹本€過點(diǎn),而為橢圓的右端點(diǎn)和上端點(diǎn),故直線與橢圓相交.故選:C.4.若數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為,且,則.故選:C.5.已知雙曲線過點(diǎn),且與橢圓有公共焦點(diǎn),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由橢圓,可化為標(biāo)準(zhǔn)方程,可得,因?yàn)殡p曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn),所以,又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn),可得,則,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B.6.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差不為0.若,,成等比數(shù)列,則的前6項(xiàng)和為()A. B. C.3 D.8【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)椋?,成等比?shù)列,所以,所以,又,所以,整理得,因?yàn)?,所以,所以?shù)列前6項(xiàng)的和為.故選:A.7.過點(diǎn),且圓心在直線上的圓的方程是()A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè),的中點(diǎn)坐標(biāo)為,且,∴的中垂線方程為,聯(lián)立,∴,可得,即圓心為,而,∴圓的方程是.故選:B.8.在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關(guān)”.其大意是:有人要去某關(guān)口,路程為378里,第一天健步行走,從第二天起由于腳痛,每天走的路程都為前一天的一半,一共走了六天,才到目的地,則此人后3天共走的里程數(shù)為()A.6 B.18 C.28 D.42【答案】D【解析】設(shè)第天走里,其中,由題意可知,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,,解得,所以,此人后三天所走的里程數(shù)為.故選:D.9.過拋物線:()焦點(diǎn)的直線與交于,兩點(diǎn),過點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足為,則()A. B. C.18 D.20【答案】B【解析】依題意拋物線的準(zhǔn)線為,即,解得,所以拋物線方程為,則焦點(diǎn)為,又,所以,解得,所以,所以,所以直線方程為,由,消去整理得,解得、,即,所以.故選:B.10.已知,是雙曲線的兩個焦點(diǎn),為上一點(diǎn),且,(),若的離心率為,則的值為()A.3 B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)椋呻p曲線的定義可得,所以,;因?yàn)?,由余弦定理可得,整理可得,所以,即,解得或,又因?yàn)?,即.故選:A.二、填空題:本大題共5個小題,每小題4分,共20分.答案填在題中橫線上.11.拋物線的準(zhǔn)線方程為______.【答案】【解析】由拋物線,可得,拋物線的準(zhǔn)線方程為,故答案為:.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則______.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)椋?,解得,所?13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,對任意的正整數(shù),都有恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】由題,對任意的正整數(shù),都有恒成立,,即恒成立,對任意的正整數(shù)恒成立,,即.14.已知拋物線:()和圓:,若傾斜角為的直線過的焦點(diǎn)且與相切,則______.【答案】6【解析】由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)直線l的方程為,由已知得圓的圓心,半徑,因?yàn)橹本€l與圓相切,所以圓心到直線距離,即,解得或(舍去).所以.15.若不等式對任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】.【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時,恒成立,即轉(zhuǎn)化為恒成立,而數(shù)列是遞增數(shù)列,故時,,故;當(dāng)n為奇數(shù)時,恒成立,即,轉(zhuǎn)化為恒成立,而數(shù)列是遞增數(shù)列,n為奇數(shù)時,,故;綜上可得a的范圍為.三、解答題:木大腿共4個小題,共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列,且,,數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列,,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意可得,,解得,∴,設(shè)等比數(shù)列的公比為(),由題意可得,,解得,∴.(2)∵,∴.(3)由(Ⅰ)可得,,①,②①-②,得,∴.17.如圖,在多面體中,四邊形為正方形,平面,,,.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與所成角的余弦值為,若存在,求出點(diǎn)到平面的距離,若不存在,請說明理由.(1)證明:依題意,以D為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,可得,,,,,.依題意,,,從而,所以,即.

(2)解:依題意,,,設(shè)為平面ACF的法向量,則,不妨設(shè)可得,因?yàn)?設(shè)直線EC與平面ACF所成角為,則,所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為.(3)解:假設(shè)線段DE上存在一點(diǎn),使得直線BG與AD所成角的余弦值為,則.依題意,則,解得.所有存在點(diǎn)滿足條件,所以可得,由(2)可知平面ACF的一個法向量為,所以點(diǎn)G到平面ACF的距離為18.已知橢圓:()的離心率,且橢圓過點(diǎn).(1)求的方程:(2)過點(diǎn)直線與橢圓有兩個交點(diǎn),,已知軸上點(diǎn),求證:.解:(1)由橢圓:的離心率,得,則,由橢圓過點(diǎn),得,解得,所以橢圓的方程為.(2)依題意,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程:,由消去,得,設(shè),顯然,則,,所以.19.對于一個給定的數(shù)列,令,則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列,再令,則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列.設(shè)的二階和數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列,且,,,,求和;(2)若,求的二階和數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)若是首項(xiàng)為1

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