高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省大慶市2026屆高三上學期第一次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單選題1．已知集合A=1,2,B=x∣x≤3，則A∩B=A．1,2 B．2 C．1,2,3 D．1,3【答案】A【解析】已知集合A=1,2，集合B=集合B表示所有小于等于3的實數(shù)構成的集合，集合A中的元素1,2都滿足x≤3，即1∈B,2∈B,所以集合A和集合B的公共元素是1和2，那么A∩B=1,2故選：A.2．拋物線y2=8x的準線方程是（A．x=-2 B．x=-4 C．y=-2 D．y=-4【答案】A【解析】拋物線y2=8x,滿足y2=2px，所以所以準線方程是x=-p故選：A.3．已知等比數(shù)列an,a2=2,A．14 B．32 C．16 D．54【答案】B【解析】由題意可知a2故選：B.4．已知復數(shù)z=3+4i（i為虛數(shù)單位），則z2+iA．5 B．3 C．2 D．5【答案】D【解析】由題意，z2+所以z2+故選：D.5．已知cosα2cosα+sinA．-3 B．-5 C．5 D．3【答案】A【解析】cosα2cos所以tanα+故答案為：A.6．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6，點P是邊BC上的動點，則AP?AB+A．為定值16 B．為定值32C．最大值為32 D．與P的位置有關【答案】B【解析】如圖，取BC的中點為D，連接AD，因為△ABC為等腰三角形，所以AD⊥BC，又AB=AC=5,BC=6，所以AD=5所以AP?所以AP?AB故選：B.7．已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(1+x)=f(3-x)，且f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(2x-3)>f(3)A．(-∞,3) B．(-∞,2) C．【答案】D【解析】由函數(shù)f(x)的定義域為R,f(1+x)=f(3-x)，得函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=2又函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減，則不等式即-1<2x-5<1，解得2<x<3，所以所求不等式的解集為(2,3).故選：D.8．已知正三棱錐A-BCD的底面邊長為6，二面角A-BC-D的余弦值為34，則正三棱錐A-BCD外接球的表面積為（

A．2561313π B．6251313π【答案】C【解析】如圖所示，正三棱錐A-BCD，作AH⊥平面BCD于點H，則H為正三角形BCD的中心，取BC的中點E，連接DE,AE，設外接球心為O，則O在AH上，連接OD.由已知△BCD的邊長為6，由于AE⊥BC,DE⊥BC，∠AED即二面角A-BC-D的平面角，則cos∠AED=因為DE=BD2所以AE=EHcos∠AED設外接球O的半徑為r，則OA=OD=r，OH=AH-r又DH=23DE=所以r2=2故正三棱錐A-BCD外接球的表面積S=4π故選：C.二、多選題9．已知數(shù)列an的前n項和為Sn,A．a(chǎn)5-a1C．當n>4時，an<0 D．當n=3或4時，【答案】ACD【解析】因為an=an+1+3，所以an+1-an=-3記公差為d,則d=-3,所以an=a選項A：a5-a1=4d=-12選項B：因為公差為-3，所以數(shù)列an是遞減數(shù)列.所以選項B錯誤選項C：當n>4，-3n+12<0,即an<0.所以選項C選項D：Sn=-3n2+21n2=-3(n-72)2+14742,所以Sn在1≤n≤3故選：ACD.10．某高校組織全體學生參加以“慶祝中華人民共和國成立75周年”為主題的知識競賽，隨機抽取了100名學生的成績（單位：分）進行統(tǒng)計，按成績分成5組：50,60,60,70根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．這100名學生成績的中位數(shù)約為75B．這100名學生成績的平均數(shù)約為78C．從100名學生中隨機抽取一名，估計其成績不低于70分的概率為0.7D．從該校學生中隨機抽取兩名，在這兩名學生成績都不低于70分的條件下，恰有一名學生成績在70,80內(nèi)的概率估計值為10【答案】BC【解析】對于A，前3組的頻率之和為0.01×10+0.02×10+0.02×10=0.5，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為80，故A錯誤；對于B，這100名學生成績的平均數(shù)約為55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.02×10+85×0.03×10+95×0.02×10=78.故B正確；對于C，成績不低于70分的頻率為1-0.01×10+0.02×10所以從100名學生中隨機抽取一名，估計其成績不低于70分的概率為0.7，故C正確；對于D，成績在70,80內(nèi)的頻率為0.02×10=0.2，成績在80,100的頻率為0.5，設“兩名學生成績都不低于70分”為事件A，“恰有一名學生成績在70,80內(nèi)”為事件B，PAPAB根據(jù)條件概率公式PB|A=P故選：BC．11．已知函數(shù)fx=sinA．fx的最小正周期為B．若fπ3=0，則C．若ω=12，關于x的方程fx+φ=1D．當ω=1時，設fx在區(qū)間t-π8,t+π8t∈R上的最大值為M【答案】BD【解析】對于A，因為fx=sin2ωx-π6，所以對于B，因為fπ3=sin2因為ω>0，所以當k=0時，ω取得最小值14，故B對于C，若ω=12?，則fx當x∈0,8π3時，結(jié)合正弦函數(shù)y=sinx=12的解的分布，可知fx+φ對于D，當ω=1時，函數(shù)fx=sin而區(qū)間t-π8,t+π8的長度為π由-π2+2k所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為-①當-π6+k則有h=sin而π4+2kπ≤2t+π②當π3+kπ則有h=sin而5π4+2kπ≤2t+π③當t-π8≤1°當5πht則2kπ≤2t-5π12≤2°當πht則3π4+2kπ≤2t+π12④當t-π8≤-1°當-ht則-π+2kπ≤2t-5π2°當-ht則-π4+2kπ≤2t+綜上，ht的最小值為1-22，故故選：BD.三、填空題12．已知隨機變量X～N3,σ2，且P(0<X≤3)=0.4，則【答案】0.1【解析】因為隨機變量X～N3,σ2所以P(3<X<6)=0.4，則PX≥6故答案為：0.1.13．已知F1,F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)【答案】(1,【解析】設以F2(c,0)為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線bx-ay=0交于則F2到漸近線bx-ay=0的距離d=bca由3|AB|≥2|F1F2|，得6即c2a2≤18所以雙曲線的離心率的取值范圍是1<e≤3故答案為：(1,314．對于任意的x∈R，不等式ex+x-a-ln【答案】e【解析】設f(x)=ex+x-a-lna注意到f(ln于是x>ln設g(x)=x要使得ex+x-a-ln需滿足x>lna,g(x)≤0;x<ln由g(lna)=0，即ln2整理得(ln設p(a)=lna-a，則0<a<1,p'(a)>0，p(a)單調(diào)遞增，a>1,故p(a)≤p(1)=ln1-1=-1<0，即lna-a≤-1只可能lna-2=0，解得a=下面檢驗x>lna,g(x)<0;x<ln由于a=e2，即檢驗x>2,g(x)<0;x<2,g(x)>0，且g(x)=x2-g'設q(x)=2x-ex，則x<ln2,q'(x)>0，q(x)故q(x)≤q(ln2)=2ln結(jié)合g(2)=0即得證.故答案為：e2四、解答題15．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且asin（1）求A；（2）若a=4,△ABC的面積為23，求△ABC的周長解：（1）asinB-3因為0<B<π，所以sinB≠0，則sinA-因為0<A<π，所以A=（2）因為A=π3，所以S△ABC由余弦定理可得a2即16=b2+所以b+c2則△ABC的周長為a+b+c=4+21016．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AD∥BC,AD=2,AB=BC=1，△PAD為等邊三角形，M為PA的中點，且平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AB.（1）證明：DM⊥平面PAB；（2）求直線PC與平面MCD所成角的正弦值.（1）證明：如圖，取AD中點O，連接OC，OP，在正三角形△PAD中，PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴OP⊥平面ABCD，且OC?平面ABCD，∴OP⊥OC，在梯形ABCD中，AO=BC，∴四邊形ABCO為平行四邊形，∴OC∥AB，又∵AB⊥PD，∴OC⊥PD，又OP∩PD=D，OP?平面PAD，PD?平面PAD，∴OC⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴OC⊥AD，如圖建立空間直角坐標系O-xyz，則A0,-1,0，B1,-1,0，P0,0,3，AB=1,0,0，AP=∵AB?DM=0∴AB⊥DM且AP⊥DM，且AB∩AP=A，AB?平面ABP，AP?平面ABP，∴DM⊥平面PAB.（2）解：由（1）可知C1,0,0∴CD=-1,1,0，CM=設平面CDM的一個法向量為n=則CD?n=-x+y=0CM?n=-x-直線PC與平面MCD所成角θ∈0,則，即直線PC與平面MCD所成角的正弦值為5517．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為F1,F2，過點P0,2（1）求橢圓C的方程；（2）若MN=3PM?PN解：（1）令x2a2+2又MF2⊥x軸，則5a5由MF2=解得c=1，則b=2,a=5橢圓方程為x2（2）由（1）知點P的坐標為0,4設M(x1,y1由弦長公式，MN=1+k將l:y=kx+455由韋達定理：x1+x故PM?又MN=1+所以425k2+4所以直線l的方程為y=±518．已知函數(shù)fx=x+m（1）當m=1時，（i）求曲線y=fx在點1,f（ii）當x>1時，證明：fx（2）設0<a<1，b<0，若存在x1,x2∈0,+（1）（i）解：當m=1時，fx=x+1∴f1=0，∴y=fx在點1,f1處的切線方程為：y=2x-1（ii）證明：設hx=fx令φx=h∴h'x在1,+∞上單調(diào)遞增，又∴hx在1,+∞上單調(diào)遞增，又h1即當x>1時，fx（2）證明：不妨設x1<x2，由即x2令px=x-sin∴px在0,+∞上單調(diào)遞增，∴px∴sinx2由（1）知：當x>1時，x+1lnx>2x-1∴l(xiāng)nx>∴l(xiāng)nx1∴bln∴-4b又x2-x1>0∵0<a<1，b<0，∴x19．2025年7月16日-27日，第32屆世界大學生運動會在德國舉行.在比賽期間，運動員甲（來自中國）和運動員乙（來自澳大利亞）因賽事成為朋友.運動員甲持有一套熊貓主題的運動項目徽章，包含乒乓球?羽毛球?籃球3個項目；運動員乙則擁有一套袋鼠主題的同項目（乒乓球?羽毛球?籃球）徽章.兩套徽章除印制的主題圖案和項目標識不同外，其余完全相同.為了加深友誼，兩人在比賽期間約定，每次見面時，都隨機取出1枚徽章與對方進行交換，運動會結(jié)束時已重復進行了nn∈N（1）求3次交換后，運動員甲有3枚熊貓主題徽章的概率；（2）求n次交換后，運動員乙有3枚相同動物主題徽章的概率（結(jié)果用含n的式子表示）；（3）求n次交換后，運動員甲的徽章包含乒乓球?羽毛球?籃球3項運動的概率（結(jié)果用含n的式子表示），并求出這個概率的最大值.解：（1）記3次交換后，運動員甲有3枚熊貓主題徽章為事件A，交換過程包含兩種情況：①第一次甲用熊貓徽章與乙的袋鼠徽章交換，概率為1；第二次甲用袋鼠徽章與乙的袋鼠徽章交換，概率為13第三次甲用袋鼠徽章與乙的熊貓徽章交換，概率為13所以第一種情況的概率為P1②第一次甲用熊貓徽章與乙的袋鼠徽章交換，概率為1；第二次甲用熊貓徽章與乙的熊貓徽章交換，概率為23第三次甲用袋鼠徽章與乙的熊貓徽章交換，概率為13所以第二種情況的概率為P2所以3次交換后，運動員甲有3枚熊貓主題徽章的概率為PA（2）記“n次交換后，運動員乙有3枚相同動物主題徽章”概率為pn則p1=0，第n-1次交換后，乙的徽章只有兩種可能，一種是另一種是3枚徽章中有1枚不同動物，記第n-1次交換后，乙的3枚徽章動物相同為事件B1，動物不同為事件B則PB1=pn-1,PB2=1-pn-1，記“n在第n-1次交換后徽章動物不同的條件下再交換后可以變?yōu)橄嗤瑒游铮碢C再根據(jù)全概率公式可得：pn=PC所以pn則pn-1所以pn（3）又記“n次交換后，甲的徽章包含乒乓球?羽毛球?籃球3項運動”概率為qn則q1第n-1次交換后，甲的徽章只有兩種可能，一種是包含乒乓球?羽毛球?籃球3項運動，另一種是不包含乒乓球?羽毛球?籃