專題08解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合的六種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合 1類型二、解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合 5類型三、解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合 10類型四、解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合 14類型五、解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合 18類型六、解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合 22壓軸能力測(cè)評(píng)（15題） 26解題知識(shí)必備1.含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形方法總結(jié)：作垂線構(gòu)造直角三角形時(shí)“不破壞”特殊角（30°，45°，60°），如下展示部分常見(jiàn)構(gòu)造方法：2.非特殊角的非直角三角形方法總結(jié)：作垂線構(gòu)造直角三角形時(shí)，豎直作垂線與水平作垂線.壓軸題型講練類型一、解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合例題：（23-24九年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）隨著春天的陽(yáng)光越來(lái)燦爛，在青臺(tái)山中學(xué)小花園學(xué)習(xí)的同學(xué)被龐校抓拍到努力學(xué)習(xí)的場(chǎng)景，隨后龐校@霍校長(zhǎng)可以購(gòu)買(mǎi)太陽(yáng)傘，為我們愛(ài)學(xué)習(xí)的青臺(tái)山學(xué)子，遮擋刺眼的陽(yáng)光．如圖①是簡(jiǎn)易太陽(yáng)傘，為遮擋不同方向的陽(yáng)光，太陽(yáng)傘可以在撐桿上的點(diǎn)O處彎折并旋轉(zhuǎn)任意角，圖②是太陽(yáng)傘直立時(shí)的示意圖，當(dāng)傘完全撐開(kāi)時(shí)，傘骨與水平方向的夾角，傘骨AB與AC水平方向的最大距離與交于點(diǎn)，撐桿．(1)如圖②，當(dāng)傘完全撐開(kāi)并直立時(shí)，求點(diǎn)到地面的距離．(2)某日某時(shí)，為了增加遮擋斜射陽(yáng)光的面積，將太陽(yáng)傘傾斜與鉛垂線成夾角，如圖③，若斜射陽(yáng)光與所在直線垂直時(shí)，求在水平地面上投影的長(zhǎng)度約是多少．（說(shuō)明：，結(jié)果精確到）【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，求得，結(jié)合，解答即可．（2）證明，利用三角函數(shù)解答即可．本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，∵傘骨AB與AC水平方向的最大距離與交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∵撐桿．∴，故點(diǎn)到地面的距離為．（2）解：根據(jù)題意，得，，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，答：在水平地面上投影的長(zhǎng)度約是．【變式訓(xùn)練1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，明代科學(xué)家徐光啟所著的《農(nóng)政全書(shū)》中記載了中國(guó)古代的一種采桑工具—桑梯，其簡(jiǎn)單示意圖如圖2，已知，，與的夾角為α．為保證安全，農(nóng)夫?qū)⑸Ｌ莘胖迷谒降孛嫔?，將夾角α調(diào)整為，并用鐵鏈鎖定B、C兩點(diǎn)、此時(shí)農(nóng)夫站在離頂端D處的E處時(shí)可以高效且安全地采桑．求此時(shí)農(nóng)夫所在的E處到地面的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）

【答案】農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為米．【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)作于，先利用三角形內(nèi)角和等邊對(duì)等角求出，，解直角三角形，求解即可．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于H，

∵米，，米，米，∴，米，米，∴，在中，米；答：農(nóng)夫所在的E處到地面的高度為米．【變式訓(xùn)練2】（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）“工欲善其事，必先利其器”，如圖所示的是釣魚(yú)愛(ài)好者的神器“晴雨傘”，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹(shù)干上的點(diǎn)E處（），C，E在一條直線上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)E的高度可控制“晴雨傘”的開(kāi)合，“晴雨傘”,于點(diǎn)O，支桿與樹(shù)干的橫向距離．(1)天晴時(shí)打開(kāi)“晴雨傘”，若，求遮陽(yáng)寬度；(2)下雨時(shí)收攏“晴雨傘”，使由減少到，求點(diǎn)E下降的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)遮陽(yáng)寬度為；(2)點(diǎn)E下降的高度為．【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，得，再在中銳角三角函數(shù)的定義可得，最后求出和時(shí)的長(zhǎng)即可解答．【詳解】（1）解：由對(duì)稱性可知，，在中，，，，，答：遮陽(yáng)寬度為；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，，，，，，，在中，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)E下降的高度為，答：點(diǎn)E下降的高度為．類型二、解直角三角形應(yīng)用與平行四邊形的綜合例題：（23-24九年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖1，是一電動(dòng)門(mén)，當(dāng)它水平下落時(shí)，可以抽象成如圖2所示的矩形，其中，，此時(shí)它與出入口等寬，與地面的距離；當(dāng)它抬起時(shí)，變?yōu)槠叫兴倪呅危鐖D3所示，此時(shí)，與水平方向的夾角為60°．(1)求點(diǎn)到地面的距離；(2)一輛高，寬的汽車從該入口進(jìn)入時(shí)，汽車需要與保持的安全距離，此時(shí)，汽車能否安全通過(guò)，若能，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；若不能，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)汽車能安全通過(guò)【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)解直角三角形、銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，，；（2）在上取，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)汽車與保持安全距離時(shí)，∵汽車寬度為，，，，，，∴汽車能安全通過(guò).【變式訓(xùn)練1】（2024·寧夏銀川·二模）如圖1是某旅游景點(diǎn)的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得，，．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點(diǎn)到的距離）．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)雕塑的高為【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，可證明，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)四邊形為平行四邊形．得出．，在中，，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，．∴四邊形為平行四邊形．（2）過(guò)點(diǎn)作于，∵四邊形為平行四邊形，∴．∵，∴．在中，，即，∴．答：雕塑的高為．【變式訓(xùn)練2】（2024·江西吉安·二模）現(xiàn)如今，許多鄉(xiāng)村、社區(qū)都安裝了健身器材．如圖1，這是健身器材中的騎馬機(jī)，它是一種利用曲軸連桿機(jī)構(gòu)原理，模擬人體在騎馬狀態(tài)下前后“字”立體搖擺，從而達(dá)到全身有氧運(yùn)動(dòng)的新型健身器材，其側(cè)面的簡(jiǎn)圖如圖2所示，已知，，．(1)若．求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，，求點(diǎn)到的距離．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、證明四邊形是平行四邊形、三線合一、等邊對(duì)等角【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和得，，繼而得到，即可得證；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，在中，得到，在中，得到，繼而得到，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴點(diǎn)到的距離為的長(zhǎng)，∵，，∴在中，，∵，，，∴，∴在中，，∴，∴，∴點(diǎn)到的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的判定，等腰三角形性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．類型三、解直角三角形應(yīng)用與菱形的綜合例題：（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）圖1是某折疊資料架，圖2為其側(cè)面示意圖，已知，，M，N，P，Q四點(diǎn)分別是的中點(diǎn)（N，P兩點(diǎn)也分別在和上），底座，垂足為O，經(jīng)測(cè)量，，，．(1)求證：四邊形為菱形．(2)求折疊資料架的高（點(diǎn)A到底座HI的距離）．（參考數(shù)據(jù)：．結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)折疊資料架的高約為【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、證明四邊形是菱形【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形可得四邊形為菱形，即可解答；（2）先利用線段中點(diǎn)的定義可得，然后根據(jù)題意可得：，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴四邊形是平行四邊形，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴四邊形為菱形；（2）解：如圖：∵點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，∴，由題意得：，，，在中，，∴，∴，∴折疊資料架的高約為．【變式訓(xùn)練1】（2024·吉林·二模）如圖1是汽車內(nèi)常備的千斤頂，圖2是它的平面示意圖，四邊形是菱形，中間通過(guò)螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變線段的長(zhǎng)度，同時(shí)改變的大?。庑蔚倪呴L(zhǎng)不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋袋c(diǎn)與點(diǎn)之間的距離）．經(jīng)測(cè)量，．(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)）．(2)從增加到時(shí)，這個(gè)千斤頂高度升高了______cm（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)的長(zhǎng)約為(2)13【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【分析】（1）連接，交于點(diǎn)O，根據(jù)四邊形是菱形，得到，根據(jù)，解答即可．（2）連接，交于點(diǎn)O，根據(jù)四邊形是菱形，當(dāng)?shù)玫?，根?jù)，當(dāng)?shù)玫剑鶕?jù)，解答即可．本題考查了菱形的性質(zhì)，正弦函數(shù)的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握菱形的性質(zhì)，正弦函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)O，∵四邊形是菱形，，，∴，∴，∴．（2）連接，交于點(diǎn)O，∵四邊形是菱形，，，∴，∴，∴．∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴．故千斤頂升高了，故答案為：13．【變式訓(xùn)練2】（23-24九年級(jí)上·廣西柳州·階段練習(xí)）“新冠疫情”期間學(xué)校在校門(mén)口搭建如圖1所示的遮陽(yáng)棚，圖2、圖3是遮陽(yáng)棚支架的示意圖．遮陽(yáng)棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構(gòu)成，滑塊可分別沿等長(zhǎng)的立柱上下移動(dòng)，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)若移動(dòng)滑塊使，求棚寬的長(zhǎng)（精確到）．(2)在遮陽(yáng)棚內(nèi)安裝如圖4所示的紅外線測(cè)溫門(mén)（門(mén)高），門(mén)的頂端應(yīng)與點(diǎn)持平或低于點(diǎn)，試問(wèn)此時(shí)最大為多少度？【答案】(1)(2)的最大值為【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】（1）根據(jù)題意可知是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可求出的值，根據(jù)，由此即可求解；（2）如圖所示，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴在中，，，∵，，∴，且，∴，∴．（2）解：如圖所示，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，∴，∴，∴，即的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)的計(jì)算的綜合，掌握直角三角形與勾股定理，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．類型四、解直角三角形應(yīng)用與矩形的綜合例題：（2023春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某景區(qū)草地上豎立著一個(gè)如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個(gè)近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點(diǎn)在水平地面上，與水平地面平行，，求點(diǎn)到水平地面的距離．（結(jié)果精確到．）參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)平行四邊形，見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)推出，利用證明，得到，據(jù)此可證明四邊形是平行四邊形；（2）延長(zhǎng)交水平地面于點(diǎn)，連接．利用正切函數(shù)求得的長(zhǎng)，得到，推出，再根據(jù)余弦函數(shù)求得的長(zhǎng)，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形．證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵四邊形是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交水平地面于點(diǎn)，連接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行線的性質(zhì)知，∴，∴，即點(diǎn)到水平地面的距離約為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)和判定，利用三角函數(shù)解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是：（1）掌握等腰三角形中等邊對(duì)等角；（2）通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形．【變式訓(xùn)練1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一輛自卸式貨車的示意圖，矩形貨廂的長(zhǎng)．卸貨時(shí)，貨廂繞點(diǎn)處的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．點(diǎn)處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸（點(diǎn)處）的水平距離叫做安全軸距，測(cè)得該車的安全軸距為．貨廂對(duì)角線，的交點(diǎn)可視為貨廂的重心，測(cè)得．假設(shè)該車在水平地面上進(jìn)行卸貨作業(yè)．(1)若，求點(diǎn)B到的距離；(2)卸貨時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A，G兩點(diǎn)的水平距離小于安全軸距時(shí)，會(huì)發(fā)生車輛傾覆事故．若，該貨車會(huì)發(fā)生上述事故嗎？試說(shuō)明你的理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)該貨車不會(huì)發(fā)生事故，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線．（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，，求出，進(jìn)而求出；（2）分別過(guò)點(diǎn)，作，，垂足分別為，，四邊形是矩形，，在中，，在中，推出，，在中，，比較即可作答．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖，則，在中，，，，，兩點(diǎn)在垂直方向上的距離為；（2）該貨車不會(huì)發(fā)生事故，理由如下：分別過(guò)點(diǎn)，作，，垂足分別為，，則，四邊形是矩形，，在中，，，在中，，，，在中，，，貨車不會(huì)發(fā)生事故．【變式訓(xùn)練2】（2024·四川瀘州·一模）某小區(qū)門(mén)口安裝了汽車出入道閘．道閘關(guān)閉時(shí)，如圖1，四邊形為矩形，長(zhǎng)3米，長(zhǎng)1米，與水平地面垂直．道閘打開(kāi)的過(guò)程中，邊固定，連桿，分別繞點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)，且邊始終與邊平行．

(1)如圖2，當(dāng)?shù)篱l打開(kāi)至?xí)r，邊上一點(diǎn)到的距離為米，到地面的距離為1.2米，求點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)．(2)一輛轎車過(guò)道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米．當(dāng)?shù)篱l打開(kāi)至?xí)r，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)為0.2米(2)轎車能駛?cè)胄^(qū)，見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，構(gòu)建直角三角形解題是關(guān)鍵；（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，證明，在中，米，，再進(jìn)一步可得答案；（2）當(dāng)，米時(shí)，可得，求解米，在中，求解米，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

結(jié)合題意得：，，，在中，米，（米），米，（米），點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)為0.2米；（2）轎車能駛?cè)胄^(qū)理由：當(dāng)，米時(shí)∵，米（米），在中，（米），（米），轎車能駛?cè)胄^(qū)．類型五、解直角三角形應(yīng)用與正方形的綜合例題：（2024·山東煙臺(tái)·一模）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹(shù)高，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M.如圖是測(cè)量樹(shù)高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹(shù)頂E在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)H.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面，到樹(shù)的距離，.求樹(shù)的高度.【答案】樹(shù)的高度約為【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，由題意可知，，，易知，可得，進(jìn)而求得，利用即可求解，得到是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知，，，則，，，，則，，，則，，．答：樹(shù)的高度約為．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）在測(cè)量旗桿高度的活動(dòng)課上，某興趣小組自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量旗桿高度，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測(cè)量旗桿高度的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)B、A與旗桿頂點(diǎn)P在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)N．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面，到旗桿的距離．(1)若點(diǎn)N于點(diǎn)C重合，則旗桿的高度為_(kāi)_______；(2)若．求旗桿的高度(結(jié)果精確到)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用；（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠，得到，求得，于是得到結(jié)論；（2）由題意可知，，，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，，，，，答：旗桿的高度為；故答案為：；（2）由題意可知，，，則，，，，則，，，則，，．答：旗桿的高度．【變式訓(xùn)練2】（2023春·江西九江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長(zhǎng)廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2，并測(cè)得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．(2)求的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)四邊形是菱形，詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再證明，從而得，即可得出結(jié)論；（2）作于點(diǎn)M，解，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形

，理由：正方形與正方形的面積相等，，，∴四邊形是平行四邊形，，，，∴四邊形是菱形．（2）解：作于點(diǎn)M，

在中，，，得

，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟練掌握正方形的性質(zhì)、菱形的判定、正確求解直角三角形是解題的關(guān)鍵．類型六、解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合例題：（2023秋·山東威?！ぞ拍昙?jí)山東省文登第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開(kāi)后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）

(1)求打開(kāi)后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)到地面l的距離；(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開(kāi)的車后蓋處經(jīng)過(guò)，有沒(méi)有碰頭的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離為(2)沒(méi)有危險(xiǎn)【分析】（1）作，垂足為點(diǎn)，先求出的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)即可；（2）過(guò)作，垂足為點(diǎn)，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．【詳解】（1）如圖，作，垂足為點(diǎn)，

在中，，，，，平行線間的距離處處相等，，答：車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離為．（2）沒(méi)有危險(xiǎn)，理由如下：如圖，過(guò)作，垂足為點(diǎn)，

，，，，，在中，，．平行線間的距離處處相等，到地面的距離為．，沒(méi)有危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】在日常生活中我們經(jīng)常使用訂書(shū)機(jī)，如圖，是訂書(shū)機(jī)的托板，壓柄繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，連接桿的一端點(diǎn)D固定，點(diǎn)E從A向B滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中，的長(zhǎng)保持不變，已知．

(1)如圖1，當(dāng)，B、E之間的距離為，求連接桿的長(zhǎng)度．(2)現(xiàn)將壓柄從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到與底座垂直，如圖2所示，求在此過(guò)程中點(diǎn)E滑動(dòng)的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)P，在中，通過(guò)解直角三角形可求出的長(zhǎng)度，在中，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)度；（2）在中，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)度，結(jié)合（1）中的長(zhǎng)度即可求出答案．【詳解】（1）解：在圖1中，過(guò)點(diǎn)D作交與點(diǎn)P，

在中，，在中，，∴，即連接桿的長(zhǎng)度為；（2）解：在中，，∴，∴在此過(guò)程中點(diǎn)E滑動(dòng)的距離為，【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂，連桿，懸臂和安裝在處的攝像頭組成．如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂，，固定，可通過(guò)調(diào)試懸臂與連桿的夾角提高拍攝效果．

(1)當(dāng)懸臂與桌面平行時(shí)，=___________°(2)問(wèn)懸臂端點(diǎn)到桌面的距離約為多少？(3)已知攝像頭點(diǎn)到桌面的距離為30cm時(shí)拍攝效果較好，那么此時(shí)懸臂與連桿的夾角的度數(shù)約為多少？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）作出對(duì)應(yīng)的圖，關(guān)鍵平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過(guò)作與交于，過(guò)作與交于，可推出四邊形為矩形，；在中解出，即可求解；（3）過(guò)作，，在中解出即可求解．【詳解】（1）解：如圖：當(dāng)懸臂與桌面平行時(shí)，作

，懸臂也與桌面平行∴故答案為：（2）解：過(guò)作與交于，過(guò)作與交于

∴四邊形為矩形∴，∵∴在中∵∴∴（3）解：過(guò)作，，

∴在中∴∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．壓軸能力測(cè)評(píng)（15題）一、單選題1．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖是一把遮陽(yáng)傘的示意圖，遮陽(yáng)傘立柱垂直于，垂足為點(diǎn)D，米．當(dāng)遮陽(yáng)傘撐開(kāi)至如圖所示的位置時(shí)，，則此時(shí)傘內(nèi)半徑的長(zhǎng)度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，∴米故選：B．2．（2024·浙江·二模）圖1是某款籃球架，圖2是其部分示意圖，立柱垂直地面，支架與相交于點(diǎn)A，支架交于點(diǎn)G，米，米，，則立柱的高為（

）米A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．先在中利用直角三角形的邊角間關(guān)系表示出，再利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論．【詳解】解：，．在中，，．．故選：A．二、填空題3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）長(zhǎng)尾夾一般用來(lái)夾書(shū)或夾文件，因此也稱書(shū)夾．長(zhǎng)尾夾的側(cè)面可近似的看作等腰三角形，如圖1是一個(gè)長(zhǎng)尾夾的側(cè)平面示意圖，已知．按壓該長(zhǎng)尾夾的手柄，撐開(kāi)后可得如圖2所示的側(cè)平面示意圖．測(cè)量得．求這時(shí)這個(gè)長(zhǎng)尾夾可夾紙厚度為（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)、其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】如圖1，在，求得．如答圖2，在中，利用余弦函數(shù)求得，據(jù)此即可求解．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為解直角三角形的問(wèn)題是解答此類題的關(guān)鍵．【詳解】解：圖1，作于點(diǎn)．∵，∴，．在，，∵，，∴．由題意可知：，．如答圖2，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．在中，．∵，∴．同理可證：，∴．∵四邊形為矩形，∴．答案：這時(shí)這個(gè)長(zhǎng)尾夾可夾紙厚度為．故答案為：4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）我們?cè)谖锢韺W(xué)科中學(xué)過(guò)：光線從空氣射入并水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）．為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了如圖2所示的實(shí)驗(yàn)，利用激光筆發(fā)射一束紅光，容器中不裝水時(shí)，光斑恰好落在處，加水至處，光斑左移至處．圖3是實(shí)驗(yàn)的示意圖，四邊形為矩形，測(cè)得入射角，折射角，，則光斑移動(dòng)的距離的長(zhǎng)為．（用含，，的代數(shù)式表示）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】延長(zhǎng)交于，利用三角函數(shù)解答即可．本題考查了列代數(shù)式的知識(shí)，掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：延長(zhǎng)交于．，，，，．故答案為：三、解答題5．（23-24九年級(jí)下·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）某小區(qū)外面的一段長(zhǎng)120米的街道上要開(kāi)辟停車位，計(jì)劃每個(gè)停車位都是同樣的長(zhǎng)方形且每個(gè)長(zhǎng)方形的寬均為2.2米，如果長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)的邊與路段的邊平行，如圖1所示，那么恰好能夠停放24輛車．（備注：，，）(1)如果長(zhǎng)方形的邊與街道的邊緣成角，那么按圖1，圖2中的方法停放，一個(gè)停車位占用街道的長(zhǎng)度各是多少？(2)如果按照?qǐng)D2中的方法停放車輛，這段路上最多可以停放多少車輛？【答案】(1)2.2米，5.09米；(2)37輛【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的的定義，是解題的關(guān)鍵．（1）按圖1方法停放，可直接得出占用街道的長(zhǎng)度；按圖2的方法停放，需要算出點(diǎn)A到路邊的距離；（2）在(1)的基礎(chǔ)上，只停1輛車時(shí)，需要的寬度，再求出每增加1輛車，增加的寬度，進(jìn)而即可解答．【詳解】（1）解：按圖1方法停放，可直接得出占用街道的長(zhǎng)度即為長(zhǎng)方形的寬，即2.2米；按圖2方法停放，如圖過(guò)點(diǎn)A作路沿于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)C，由題意可得，車長(zhǎng)（米），，，米，，∴，∴，∴（米），∵（米），∴（米），∴（米）答：按圖1停放，一個(gè)停車位占街道長(zhǎng)2.2米，按圖2停放，一個(gè)停車位占街道長(zhǎng)5.09米；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)P，∴（米），（米），∴只停1輛車時(shí)，需要寬度（米），每增加1輛車，寬度增加（米），車位數(shù)為（輛），答：最多可停放37輛車．6．（2023·江蘇鹽城·一模）圖1是一種折疊門(mén)，由上下軌道和兩扇長(zhǎng)寬相等的活頁(yè)門(mén)組成，整個(gè)活頁(yè)門(mén)的右軸固定在門(mén)框上，通過(guò)推動(dòng)左側(cè)活頁(yè)門(mén)開(kāi)關(guān)；圖2是其俯視圖簡(jiǎn)化示意圖，已知軌道，兩扇活頁(yè)門(mén)的寬，點(diǎn)B固定，當(dāng)點(diǎn)C在上左右運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的長(zhǎng)度不變．(1)若，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；(2)當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)O在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：，取）【答案】(1)的長(zhǎng)約為；(2)點(diǎn)O在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)約為．【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，求弧長(zhǎng)：（1）作于H，解直角三角形，求出的長(zhǎng)，再利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為半徑為，圓心角為60度的弧長(zhǎng)，利用等邊三角形的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：如圖，作于H，，，在中，，，，的長(zhǎng)約為；（2），，，是等邊三角形，半徑為，圓心角為60度的弧長(zhǎng)，點(diǎn)O在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)約為．7．（2024·貴州畢節(jié)·三模）為建設(shè)美好公園休息區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，如圖1，某公園服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝遮陽(yáng)篷，便于民眾休憩．在如圖2的側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷靠墻端離地高度記為，遮陽(yáng)篷AB長(zhǎng)為6米，與水平面的夾角為．

(1)求點(diǎn)A到墻面的距離；(2)當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角為時(shí)，量得影長(zhǎng)為米，求遮陽(yáng)篷靠墻端離地的高度．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)點(diǎn)A到墻面的距離約為米(2)遮陽(yáng)篷靠墻端的離地高度約為米【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：連接輔助線構(gòu)造直角三角形．（1）作，在中，根據(jù)三角函數(shù)，求出的長(zhǎng)，即可求解，（2）作，依次求出，,的長(zhǎng)，在中，根據(jù)三角函數(shù)，求出的長(zhǎng)，即可求解，【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為F，

在中，米，，，∴（米），∴點(diǎn)A到墻面的距離約為米．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為G．∵，，∴四邊形是矩形，∴，米，∵米，∴（米），在中，，，∴（米），∴米，在中，米，，，∴（米），

∴（米）．故遮陽(yáng)篷靠墻端的離地高度約為米．8．（22-23九年級(jí)·浙江寧波·自主招生）如圖1是可調(diào)節(jié)高度和桌面角度的電腦桌，它的左視圖可以抽象成如圖2所示的圖形，底座長(zhǎng)為，支架垂直平分，桌面的中點(diǎn)固定在支架處，寬為．身高為的使用者站立處點(diǎn)與點(diǎn)，在同一條直線上，．點(diǎn)到點(diǎn)的距離是視線距離．(1)如圖，當(dāng)，時(shí)，求視線距離的長(zhǎng)；(2)如圖，使用者坐下時(shí)，高度下降，當(dāng)桌面與的夾角為時(shí)，恰有視線，問(wèn)需要將支架調(diào)整到多少？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)視線距離的長(zhǎng)為；(2)需要將支架調(diào)整到．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)、其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、用勾股定理解三角形【分析】（）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，，再由勾股定理即可求解；（）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意可得：，，，，再由余弦即可求解；本題考查了平行線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用及正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，，，∴，，∴，在中，由勾股定理得：，∴視線距離的長(zhǎng)為；（2）如圖，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意可得：，，，，在中，，即，∴，∴，∴需要將支架調(diào)整到．9．（2023·浙江寧波·一模）如圖所示為汽車內(nèi)常備的一種菱形千斤頂?shù)脑韴D，其基本形狀是一個(gè)菱形，中間通過(guò)螺桿連接，轉(zhuǎn)動(dòng)手柄可改變的大?。庑蔚倪呴L(zhǎng)不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋?、之間的距離）．經(jīng)測(cè)量，可在和之間發(fā)生變化（包含和），．(1)當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的長(zhǎng)；(2)當(dāng)從變?yōu)闀r(shí)，這個(gè)千斤頂升高了多少？（精確到，，，）【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定：（1）連接交于點(diǎn)E，由四邊形是菱形得到，當(dāng)時(shí)，，由得到是等邊三角形，則；（2）當(dāng)時(shí)，在中，，則，則，當(dāng)時(shí)，中，則可得到，得到，即可得到答案【詳解】（1）解：如圖所示，連接交于點(diǎn)E，∵四邊形是菱形，∴，當(dāng)時(shí)，，∴是等邊三角形，∴；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，當(dāng)時(shí)，在中，，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，在中，，∴，∴∴這個(gè)千斤頂升高了，答：這個(gè)千斤頂升高了．10．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體建筑，其造型靈感來(lái)自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬(wàn)瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體和矩形碗底組成，已知，，是太陽(yáng)光線，，，點(diǎn)M，E，F(xiàn)，N在同一條直線上，經(jīng)測(cè)量，，，．（結(jié)果精確到）(1)求“大碗”的口徑的長(zhǎng)；(2)求“大碗”的高度的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)“大碗”的口徑的長(zhǎng)為；(2)“大碗”的高度的長(zhǎng)為．【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．（1）證明四邊形是矩形，利用，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求得，利用正切函數(shù)的定義得到，求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴四邊形是矩形，∴，答：“大碗”的口徑的長(zhǎng)為；（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，∵矩形碗底，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，，∴，∴，∴，答：“大碗”的高度的長(zhǎng)為．11．（2024·遼寧葫蘆島·二模）如圖1是一款訂書(shū)機(jī)，其平面示意圖如圖2所示，其主體部分矩形由支撐桿垂直固定于底座上，其中，，壓桿，，使用過(guò)程中矩形可以繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)．(1)訂書(shū)機(jī)不使用時(shí)，如圖2，，求壓桿端點(diǎn)到底座的距離；(2)使用過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)落在底座上時(shí)，如圖3，測(cè)得，求壓桿端點(diǎn)到底座的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果精確到）【答案】(1)壓桿端點(diǎn)到底座的距離為(2)即壓桿端點(diǎn)到底座的高度為【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)【分析】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得，由，四邊形是矩形，，可得，進(jìn)而得到，然后根據(jù)，求出，最后根據(jù)，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，可推出，然后求出，結(jié)合進(jìn)而得到，，可得，推出，，根據(jù)周角求出，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)求出，最后根據(jù)線段的和差即可求解．【詳解】（1）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，四邊形是矩形，，，，，，，又，，，，即壓桿端點(diǎn)到底座的距離為；（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，，，，又，，，，，，，，，，，即壓桿端點(diǎn)到底座的高度為．12．（23-24九年級(jí)上·重慶沙坪壩·開(kāi)學(xué)考試）拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1，水平操作臺(tái)為l，底座固定，，且，連桿長(zhǎng)度為，機(jī)械臂長(zhǎng)度為．點(diǎn)B，C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，且與始終在同一平面內(nèi)．(1)轉(zhuǎn)動(dòng)連桿，機(jī)械臂，使，，如圖2，求機(jī)械臂端點(diǎn)D離操作臺(tái)l的高度的長(zhǎng)（精確到，參考數(shù)據(jù)：）．(2)物品在操作臺(tái)l上，距離底座A端的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿，機(jī)械臂，機(jī)械臂端點(diǎn)D能否碰到點(diǎn)M？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)手臂端點(diǎn)離操作臺(tái)的高度的長(zhǎng)約為(2)手臂端點(diǎn)不能碰到點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】其他問(wèn)題（解直角三角形的應(yīng)用）、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得，，，再解直角三角形可得的長(zhǎng)，由此即可得；（2）當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，∴，在中，，則，答：手臂端點(diǎn)離操作臺(tái)的高度的長(zhǎng)約為．（2）解：手臂端點(diǎn)不能碰到點(diǎn)，理由如下：由題意可知，如圖，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，手臂端點(diǎn)能碰到的距離最遠(yuǎn)，

∴此時(shí)，∵，，∴，即手臂端點(diǎn)不能碰到點(diǎn)．13．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長(zhǎng)度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且于點(diǎn)N（點(diǎn)C，D，