四年級(jí)奧數(shù)等差數(shù)列練習(xí)與解析小朋友們，我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一些有規(guī)律的數(shù)列，比如1，3，5，7……或者2，4，6，8……這些數(shù)列看起來是不是很整齊，每次增加的數(shù)都一樣？這種數(shù)列就叫做“等差數(shù)列”。今天，我們就一起來深入學(xué)習(xí)一下等差數(shù)列的奧秘，看看如何巧妙地解決這類問題。一、認(rèn)識(shí)等差數(shù)列首先，我們得明確什么是等差數(shù)列。等差數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的一種數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母“d”來表示。在等差數(shù)列中，我們把數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做項(xiàng)。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)（通常用`a?`表示），排在第二位的數(shù)稱為第二項(xiàng)（`a?`），以此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng)（`a?`）。如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的，那么最后一項(xiàng)叫做末項(xiàng)（通常也用`a?`表示，這里的n就是項(xiàng)數(shù)）。比如數(shù)列：3，6，9，12，15，18……*首項(xiàng)`a?`是3。*這個(gè)數(shù)列中，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差都是3（6-3=3，9-6=3……），所以公差d是3。*如果這個(gè)數(shù)列一直排下去，就有無數(shù)項(xiàng)；如果只給到18，那么18就是末項(xiàng)。二、等差數(shù)列的基本公式掌握了基本概念，接下來就是等差數(shù)列中非常重要的幾個(gè)公式，它們能幫助我們快速解決很多問題。1.求第n項(xiàng)公式如果我們知道一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是`a?`，公差是`d`，那么它的第n項(xiàng)`a?`是多少呢？我們來想想：*第1項(xiàng)：`a?`*第2項(xiàng)：`a?+d`（比第1項(xiàng)多1個(gè)d）*第3項(xiàng)：`a?+d+d=a?+2d`（比第1項(xiàng)多2個(gè)d）*第4項(xiàng)：`a?+3d`（比第1項(xiàng)多3個(gè)d）*……*第n項(xiàng)：`a?+(n-1)d`（比第1項(xiàng)多(n-1)個(gè)d）所以，第n項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差用字母表示就是：`a?=a?+(n-1)×d`2.求項(xiàng)數(shù)公式如果我們知道一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)`a?`、末項(xiàng)`a?`和公差`d`，想知道這個(gè)數(shù)列一共有多少項(xiàng)（n），該怎么求呢？我們可以從第n項(xiàng)公式反過來思考：`a?=a?+(n-1)×d`那么，`(n-1)×d=a?-a?`所以，`n-1=(a?-a?)÷d`因此，`n=(a?-a?)÷d+1`也就是：項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+13.求和公式求一個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和（`S?`），就是把這n個(gè)數(shù)加起來。如果一個(gè)一個(gè)加，項(xiàng)數(shù)多了就會(huì)很麻煩。這里有個(gè)非常巧妙的方法，是著名數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候發(fā)現(xiàn)的。比如求1+2+3+...+100的和。高斯的方法是：(1+100)+(2+99)+...+(50+51)，這樣共有50組，每組的和都是101，所以總和就是101×50=5050。這個(gè)方法可以推廣到一般的等差數(shù)列求和。等差數(shù)列的和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2用字母表示就是：`S?=(a?+a?)×n÷2`這個(gè)公式的關(guān)鍵在于，我們把數(shù)列正著寫一遍，再倒著寫一遍，然后對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加，每一對(duì)的和都等于（首項(xiàng)+末項(xiàng)），一共有n對(duì)，所以總和的兩倍就是(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)，再除以2就是我們要求的和了。三、例題解析光說不練假把式，我們通過幾個(gè)例題來看看這些公式怎么用。例題1：一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是5，公差是4，請(qǐng)問它的第8項(xiàng)是多少？解析：這道題是求第n項(xiàng)。已知首項(xiàng)`a?=5`，公差`d=4`，項(xiàng)數(shù)`n=8`。根據(jù)第n項(xiàng)公式：`a?=a?+(n-1)×d`所以，第8項(xiàng)`a?=5+(8-1)×4`先算括號(hào)里的：`8-1=7`再算乘法：`7×4=28`最后算加法：`5+28=33`答：它的第8項(xiàng)是33。例題2：一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是3，公差是2，末項(xiàng)是21，這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？解析：這道題是求項(xiàng)數(shù)。已知首項(xiàng)`a?=3`，末項(xiàng)`a?=21`，公差`d=2`。根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式：`n=(a?-a?)÷d+1`先算末項(xiàng)減首項(xiàng)：`21-3=18`再算除以公差：`18÷2=9`最后加1：`9+1=10`答：這個(gè)數(shù)列共有10項(xiàng)。例題3：計(jì)算下面數(shù)列的和：7，11，15，19，23，27，31。解析：首先，我們要確認(rèn)這是一個(gè)等差數(shù)列。11-7=4，15-11=4，...，公差d=4。要求和，我們需要知道首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)。首項(xiàng)`a?=7`，末項(xiàng)`a?=31`。項(xiàng)數(shù)n是多少呢？我們可以數(shù)一數(shù)，這里有7個(gè)數(shù)?；蛘哂庙?xiàng)數(shù)公式驗(yàn)證一下：`(31-7)÷4+1=24÷4+1=6+1=7`，沒錯(cuò)，項(xiàng)數(shù)n=7。根據(jù)求和公式：`S?=(a?+a?)×n÷2`所以，和`S?=(7+31)×7÷2`先算括號(hào)里的：`7+31=38`再算乘法：`38×7=266`最后算除法：`266÷2=133`答：這個(gè)數(shù)列的和是133。四、鞏固練習(xí)現(xiàn)在，請(qǐng)小朋友們自己動(dòng)手試一試，看看能不能運(yùn)用上面學(xué)到的知識(shí)解決下面的問題。練習(xí)1：已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是2，公差是3，請(qǐng)問它的第10項(xiàng)是多少？練習(xí)2：一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是10，末項(xiàng)是95，公差是5，這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？練習(xí)3：計(jì)算數(shù)列：1，3，5，7，...，99的和。（提示：先確定項(xiàng)數(shù)哦！）練習(xí)4：有一堆鋼管，最下面一層有12根，每往上一層就少1根，最上面一層有3根。這堆鋼管一共有多少根？（提示：這也是一個(gè)等差數(shù)列問題，想想首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差分別是什么。）五、練習(xí)答案與解析練習(xí)1答案：29解析：已知`a?=2`，`d=3`，`n=10`。第10項(xiàng)`a??=2+(10-1)×3=2+9×3=2+27=29`。練習(xí)2答案：18解析：已知`a?=10`，`a?=95`，`d=5`。項(xiàng)數(shù)`n=(95-10)÷5+1=85÷5+1=17+1=18`。練習(xí)3答案：2500解析：這是一個(gè)首項(xiàng)`a?=1`，公差`d=2`，末項(xiàng)`a?=99`的等差數(shù)列。首先求項(xiàng)數(shù)`n=(99-1)÷2+1=98÷2+1=49+1=50`。再求和`S??=(1+99)×50÷2=100×50÷2=5000÷2=2500`。練習(xí)4答案：75根解析：最上面一層有3根，即首項(xiàng)`a?=3`；最下面一層有12根，即末項(xiàng)`a?=12`；每往上一層少1根，反過來，從上層到下層是每一層多1根，所以公差`d=1`。先求項(xiàng)數(shù)（也就是層數(shù)）`n=(12-3)÷1+1=9+1=10`（層）。鋼管總數(shù)`S??=(3+12)×10÷2=15×10÷2=150÷2=75`（根）。六、總結(jié)等差數(shù)列是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的一種數(shù)列，它的規(guī)律清晰，計(jì)算方法也有章可循。只要我們牢牢掌握“首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)”這幾個(gè)基本量，以及“求第n項(xiàng)”、“求項(xiàng)