幻燈片1：封面標(biāo)題：18.2.1分式的乘除副標(biāo)題：人教版初中數(shù)學(xué)（八年級上冊）制作人：[你的名字]日期：[具體日期]銜接提示：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了分式的基本性質(zhì)，掌握了分式的變形與約分方法。今天，我們將延續(xù)“從分?jǐn)?shù)到分式”的類比思路，探索分式的乘除運算——它是分式運算的基礎(chǔ)，需結(jié)合分式約分和整式乘法知識，逐步推導(dǎo)運算法則。幻燈片2：課程導(dǎo)入舊知回顧：分?jǐn)?shù)的乘除法則：乘法：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母（如\(\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{2\times4}{3\times5}=\frac{8}{15}\)）；除法：分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，等于乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)（如\(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\times\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)）；分式的基本性質(zhì)：分子分母同乘（除）非0整式，值不變；分式約分：約去分子分母的公因式，化為最簡分式。情境問題：類比分?jǐn)?shù)乘法，分式\(\frac{a}\)（b≠0）與\(\frac{c}z3jilz61osys\)（d≠0）相乘，結(jié)果應(yīng)該是什么形式？是否為\(\frac{a\timesc}{b\timesd}\)？分式\(\frac{a}\)除以\(\frac{c}z3jilz61osys\)（c≠0），能否轉(zhuǎn)化為乘法運算？今天我們將通過類比與推導(dǎo)，明確分式乘除的法則?；脽羝?：分式乘法法則的推導(dǎo)與表述1.法則推導(dǎo)（類比分?jǐn)?shù)乘法）：分?jǐn)?shù)乘法：\(\frac{m}{n}\times\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}\)（n、q≠0）；分式乘法：設(shè)兩個分式\(\frac{A}{B}\)（B≠0）和\(\frac{C}{D}\)（D≠0），其中A、B、C、D為整式。類比分?jǐn)?shù)乘法，分子相乘的積作為新分子，分母相乘的積作為新分母，即：\(\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{A\timesC}{B\timesD}\)合理性驗證：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式乘法本質(zhì)是“分子整式相乘、分母整式相乘”，再通過約分化為最簡分式，與分?jǐn)?shù)乘法邏輯一致。2.法則表述：文字語言：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母；符號語言：\(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\)（其中B≠0，D≠0，A、B、C、D為整式）；關(guān)鍵步驟：先計算分子分母的積，再約去公因式（或先約分再相乘，簡化運算）?；脽羝?：分式除法法則的推導(dǎo)與表述1.法則推導(dǎo)（類比分?jǐn)?shù)除法）：分?jǐn)?shù)除法：\(\frac{m}{n}\div\frac{p}{q}=\frac{m}{n}\times\frac{q}{p}=\frac{mq}{np}\)（n、p、q≠0）；分式除法：類比分?jǐn)?shù)除法“除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)”，分式除以分式，等于乘這個分式的倒數(shù)。設(shè)兩個分式\(\frac{A}{B}\)（B≠0）和\(\frac{C}{D}\)（C≠0，D≠0），則：\(\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}\)合理性驗證：倒數(shù)的本質(zhì)是“乘積為1的兩個數(shù)”，分式\(\frac{C}{D}\)與\(\frac{D}{C}\)（C、D≠0）的積為\(\frac{CD}{DC}=1\)，符合倒數(shù)定義，因此除法可轉(zhuǎn)化為乘法。2.法則表述：文字語言：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘；符號語言：\(\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}\)（其中B≠0，C≠0，D≠0，A、B、C、D為整式）；核心轉(zhuǎn)化：除法→乘法（顛倒除式分子分母），再按乘法法則計算?；脽羝?：例題講解（分式乘法）例題1（單項式型分式相乘，先乘后約）：計算：\(\frac{2x}{3y}\times\frac{9y^2}{4x^2}\)（x≠0，y≠0）。解題步驟：按乘法法則，分子乘分子，分母乘分母：\(\frac{2x\times9y^2}{3y\times4x^2}=\frac{18xy^2}{12x^2y}\)約分（系數(shù)找最大公約數(shù)，字母找公因式）：系數(shù)：18和12的最大公約數(shù)是6，約后得\(\frac{3}{2}\)；字母：x的公因式是x，約后得\(\frac{1}{x}\)；y的公因式是y，約后得\(\frac{y}{1}\)；合并結(jié)果：\(\frac{3y}{2x}\)。例題2（多項式型分式相乘，先分解再約分）：計算：\(\frac{x^2-4}{x^2+2x}\times\frac{x}{x-2}\)（x≠0，x≠±2）。解題步驟：因式分解分子分母（關(guān)鍵：分解后才能找公因式）：分子1：\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)（平方差公式）；分母1：\(x^2+2x=x(x+2)\)（提公因式）；分子2：x；分母2：x-2；代入原式，寫成因式形式：\(\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\times\frac{x}{x-2}\)先約分（交叉約分，簡化計算）：(x+2)與(x+2)約去；(x-2)與(x-2)約去；x與x約去；剩余部分相乘：\(\frac{1\times1}{1\times1}\times\frac{1}{1}=1\)。幻燈片6：例題講解（分式除法）例題3（單項式型分式相除）：計算：\(\frac{5a^2b}{3c}\div\frac{10ab^2}{9c^2}\)（a≠0，b≠0，c≠0）。解題步驟：轉(zhuǎn)化為乘法（顛倒除式分子分母）：\(\frac{5a^2b}{3c}\times\frac{9c^2}{10ab^2}\)按乘法法則計算，先約分再相乘：系數(shù)：5和10約得\(\frac{1}{2}\)，9和3約得\(\frac{3}{1}\)；字母：a2

和a約得\(\frac{a}{1}\)，b和b2

約得\(\frac{1}\)，c2

和c約得\(\frac{c}{1}\)；合并結(jié)果：\(\frac{1\times3\timesa\timesc}{2\times1\timesb\times1}=\frac{3ac}{2b}\)。例題4（多項式型分式相除）：計算：\(\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}\div\frac{x-3}{x+3}\)（x≠±3）。解題步驟：因式分解分子分母：分子1：\(x^2-6x+9=(x-3)^2\)（完全平方公式）；分母1：\(x^2-9=(x+3)(x-3)\)（平方差公式）；除式：\(\frac{x-3}{x+3}\)，顛倒后為\(\frac{x+3}{x-3}\)；轉(zhuǎn)化為乘法并代入因式形式：\(\frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}\times\frac{x+3}{x-3}\)約分：(x-3)2

與(x-3)約去一個，得(x-3)；(x+3)與(x+3)約去；剩余部分相乘：\(\frac{(x-3)\times1}{1\times1}=x-3\)。幻燈片7：分式乘除與分?jǐn)?shù)乘除的對比運算類型分式乘除分?jǐn)?shù)乘除聯(lián)系與區(qū)別乘法法則分子積作分子，分母積作分母，可先約分再相乘分子積作分子，分母積作分母，可先約分再相乘法則完全一致，分式需先分解多項式除法法則除以分式=乘其倒數(shù)，再按乘法計算除以分?jǐn)?shù)=乘其倒數(shù)，再按乘法計算法則完全一致，分式需注意分母不為0的條件更多關(guān)鍵步驟多項式需先因式分解，再約分直接約分（僅整數(shù)）分式因含多項式，多“因式分解”步驟示例（乘法）\(\frac{x}{y}\times\frac{y^2}{x^2}=\frac{y}{x}\)\(\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\)示例1需約去字母公因式，示例2約去整數(shù)示例（除法）\(\frac{x}{y}\div\frac{x^2}{y}=\frac{1}{x}\)\(\frac{1}{2}\div\frac{3}{4}=\frac{2}{3}\)示例1需顛倒分式，約去字母，示例2顛倒分?jǐn)?shù)約整數(shù)幻燈片8：課堂練習(xí)（分層鞏固）基礎(chǔ)題：計算下列分式乘法：①\(\frac{3a}{4b}\times\frac{8b^2}{9a^2}\)（a≠0，b≠0）；②\(\frac{x^2}{x-1}\times\frac{x-1}{x}\)（x≠0，x≠1）；計算下列分式除法：①\(\frac{2x^2}{y}\div\frac{4x}{y^2}\)（x≠0，y≠0）；②\(\frac{a-b}{a+b}\div\frac{(a-b)^2}{a+b}\)（a≠±b）。提升題：3.計算：\(\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\times\frac{x+1}{x-1}\div\frac{1}{x+1}\)（x≠±1）；4.已知\(\frac{a}=\frac{2}{3}\)，求\(\frac{a^2}{b^2}\div\frac{2a}{3b}\)的值（提示：先化簡式子，再代入比值）。解題提示：第1題①：\(\frac{3a\times8b^2}{4b\times9a^2}=\frac{24ab^2}{36a^2b}=\frac{2b}{3a}\)；②：\(\frac{x^2(x-1)}{(x-1)x}=x\)；第2題①：\(\frac{2x^2}{y}\times\frac{y^2}{4x}=\frac{2x^2y^2}{4xy}=\frac{xy}{2}\)；②：\(\frac{a-b}{a+b}\times\frac{a+b}{(a-b)^2}=\frac{1}{a-b}\)；第3題：轉(zhuǎn)化為乘法\(\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}\times\frac{x+1}{x-1}\times(x+1)=x+1\)；第4題：化簡式子為\(\frac{a^2}{b^2}\times\frac{3b}{2a}=\frac{3a}{2b}\)，代入\(\frac{a}=\frac{2}{3}\)，得\(\frac{3}{2}\times\frac{2}{3}=1\)?；脽羝?：易錯點與注意事項忽略分母不為0的條件：如計算\(\frac{x}{x-2}\times\frac{x-2}{x+3}\)時，未注明x≠0、±2、-3，或代入使分母為0的值（如x=2）；多項式未分解直接相乘：如計算\(\frac{x^2-4}{x}\times\frac{1}{x+2}\)時，未將\(x^2-4\)分解為(x+2)(x-2)，直接相乘得\(\frac{x^2-4}{x(x+2)}\)，導(dǎo)致無法約分，結(jié)果不最簡；除法未顛倒除式：如計算\(\frac{x}{y}\div\frac{a}\)時，誤寫成\(\frac{x}{y}\times\frac{a}\)（未顛倒除式分子分母），正確應(yīng)為\(\frac{x}{y}\times\frac{a}\)；約分不徹底：如將\(\frac{2x^2y}{4xy^2}\)約分為\(\frac{x}{2y}\)是正確的，但誤約分為\(\frac{x^2y}{2xy^2}\)（系數(shù)未約盡）或\(\frac{2x}{4y}\)（字母未約盡）；符號處理錯誤：如計算\(\frac{-x}{y}\times\frac{-y}{x}\)時，誤得-1（忽略負負得正），正確結(jié)果應(yīng)為1?；脽羝?0：課堂小結(jié)核心知識梳理：類別具體內(nèi)容分式乘法法則分子積作分子，分母積作分母，符號語言：\(\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}\)（B、D≠0）；步驟：因式分解→約分→相乘分式除法法則除以分式=乘其倒數(shù)，符號語言：\(\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{AD}{BC}\)（B、C、D≠0）；步驟：轉(zhuǎn)化為乘法（顛倒除式）→因式分解→約分→相乘關(guān)鍵技巧1.多項式先因式分解（平方差、完全平方、提公因式）；2.先約分再相乘（簡化計算，避免大數(shù)運算）；3.注意符號（負號相乘得正，奇數(shù)個負號得負）思想方法【2024新教材】2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)

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18.2.1分式的乘除第18章

分式aiTujmiaNg在計算的過程中，運用了分?jǐn)?shù)的什么法則？你能敘述這個法則嗎？如果將分?jǐn)?shù)換成分式，那么你能類比分?jǐn)?shù)的乘除法法則，說出分式的乘除法法則嗎？怎樣用字母來表示分式的乘除法法則呢？1.計算：探究新知知識點1分式的乘除法法則乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.探究新知分式的乘除法法則例1計算：22素養(yǎng)考點1利用分式的乘除法法則進行單項式的計算探究新知2解法一:解法二:2

分式運算的結(jié)果通常要化成最簡分式或整式.探究新知①若分子、分母都是單項式，把分子、分母分別相乘，約去公因式，最后化為最簡分式或整式；②分式與分式相除時，按照法則先轉(zhuǎn)化為乘法，再運算.探究新知歸納總結(jié)解析：.C鞏固練習(xí)

2例2計算：

當(dāng)分子、分母是多項式時，先分解因式便于約分的進行.素養(yǎng)考點2利用分式的乘除法法則進行多項式的計算探究新知

一定要注意符號變化呦！探究新知①若分子、分母有多項式，先把多項式分解因式，看能約分的先約分，然后相乘；②分式與分式相除時，一定要先轉(zhuǎn)化為乘法，再按照乘法法則運算.探究新知歸納總結(jié)11111解：原式計算:(1)鞏固練習(xí)1111(2)鞏固練習(xí)解：原式例3如圖，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am（a＞1）的正方形去掉一個邊長為1

m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為(a–1)

m的正方形，兩塊試驗田都收獲了500kg的小麥.素養(yǎng)考點3分式的乘除法法則的實際應(yīng)用探究新知(1)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？由圖可知0＜(a–1)2＜a2–1，∴“豐收2號”小麥的單位面積產(chǎn)量高.

∴

解：(1)“豐收1號”小麥的試驗田面積是(a2–1)m2，單位面積產(chǎn)量是kg/m2；“豐收2號”小麥的試驗田面積是(a–1)2m2，單位面積產(chǎn)量是kg/m2.探究新知∵a＞1，∴(a–