2026屆天津市南開區(qū)翔宇學校數(shù)學九上期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．在同一時刻，身高1.5米的小紅在陽光下的影長2米，則影長為6米的大樹的高是（）A．4.5米 B．8米 C．5米 D．5.5米2．已知點A（1，a）、點B（b，2）關于原點對稱，則a+b的值為（）A．3 B．-3 C．-1 D．13．順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．如圖，正方形的邊長是3，，連接、交于點，并分別與邊、交于點、，連接，下列結論：①；②；③；④當時，．正確結論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m、n與a、b、c分別交于點A、C、E、B、D、F，若AC＝8，CE＝12，BD＝6，則BF的值是（）A．14 B．15 C．16 D．176．如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，則∠AOB＇的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°7．如圖，兩點在反比例函數(shù)的圖象上，兩點在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，軸于點，，則的值是（）A．2 B．3 C．4 D．68．如圖，一根電線桿垂直于地面，并用兩根拉線，固定，量得，，則拉線，的長度之比（）A． B． C． D．9．已知是一元二次方程的一個解，則m的值是A．1 B． C．2 D．10．一元二次方程的根是A． B． C．， D．，11．把拋物線向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到拋物線().A． B． C． D．12．下列事件為必然事件的是（）A．袋中有4個藍球，2個綠球，共6個球，隨機摸出一個球是紅球B．三角形的內角和為180°C．打開電視機，任選一個頻道，屏幕上正在播放廣告D．拋擲一枚硬幣兩次，第一次正面向上，第二次反面向上二、填空題（每題4分，共24分）13．漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶.如圖所示的弦圖中，四個直角三角形都是全等的，它們的兩直角邊之比均為，現(xiàn)隨機向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為__________.14．若點,是拋物線上的兩個點,則此拋物線的對稱軸是___．15．等邊三角形中，，將繞的中點逆時針旋轉，得到，其中點的運動路徑為，則圖中陰影部分的面積為__________．16．如圖，是的中線，點在延長線上，交的延長線于點，若，則___________.17．將一枚標有數(shù)字1、2、3、4、5、6的均勻正方體骰子拋擲一次，則向上一面數(shù)字為奇數(shù)的概率等于_____．18．如圖，二次函數(shù)y＝x（x﹣3）（0≤x≤3）的圖象，記為C1，它與x軸交于點O，A1；將C1點A1旋轉180°得C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉180°得C3，交x軸于點A3；……若P（2020，m）在這個圖象連續(xù)旋轉后的所得圖象上，則m＝_____．三、解答題（共78分）19．（8分）小明和小亮用三枚質地均勻的硬幣做游戲，游戲規(guī)則是：同時拋擲這三枚硬幣，出現(xiàn)兩枚正面向上，一枚正面向下，則小明贏；出現(xiàn)兩枚正面向下，一枚正面向上，則小亮贏．這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請你用樹狀圖或列表法說明理由．20．（8分）如圖，是的直徑，是的弦，延長到點，使，連結，過點作，垂足為.(1)求證：；(2)求證：為的切線.21．（8分）如圖1，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CD平分∠ACB交⊙O于點D，交AB于點E．（1）求證：△ABD為等腰直角三角形；（2）如圖2，ED繞點D順時針旋轉90°，得到DE′，連接BE′，證明：BE′為⊙O的切線；（3）如圖3，點F為弧BD的中點，連接AF，交BD于點G，若DF＝1，求AG的長．22．（10分）某種商品進價為每件60元，售價為每件80元時，每個月可賣出100件；如果每件商品售價每上漲5元，則每個月少賣10件設每件商品的售價為x元（x為正整數(shù)，且x＞80）．（1）若希望每月的利潤達到2400元，又讓利給消費者，求x的值；（2）當每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？23．（10分）如圖，拋物線經(jīng)過點，點，交軸于點，連接，.（1）求拋物線的解析式；（2）點為拋物線第二象限上一點，滿足，求點的坐標；（3）將直線繞點順時針旋轉，與拋物線交于另一點，求點的坐標.24．（10分）如圖，已知點是外一點，直線與相切于點，直線分別交于點、，，交于點．（1）求證：；（2）當?shù)陌霃綖椋瑫r，求的長．25．（12分）解方程：（1）x2－8x＋6＝0（2）x123x1026．在，，．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【解析】根據(jù)同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似即可得.【詳解】如圖，由題意可得：由相似三角形的性質得：，即解得：（米）故選：A.本題考查了相似三角形的性質，理解題意，將問題轉化為利用相似三角形的性質求解是解題關鍵.2、B【分析】由關于原點對稱的兩個點的坐標之間的關系直接得出a、b的值即可.【詳解】∵點A（1，a）、點B（b，2）關于原點對稱，∴a=﹣2，b=﹣1，∴a+b=﹣3.故選B.關于原點對稱的兩個點，它們的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標也互為相反數(shù).3、C【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，得新四邊形各邊都等于原四邊形的對角線的一半，進而可得連接對角線相等的四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形．【詳解】解：如圖，矩形中，分別為四邊的中點，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形．故選C．本題主要考查了矩形的性質、菱形的判定，以及三角形中位線定理，關鍵是掌握三角形的中位線定理及菱形的判定．4、D【分析】由四邊形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可證明△DAP≌△ABQ，根據(jù)全等三角形的性質得到∠P=∠Q，根據(jù)余角的性質得到AQ⊥DP；故①正確；根據(jù)相似三角形的性質得到AO2=OD?OP，故②正確；根據(jù)△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根據(jù)△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；根據(jù)相似三角形的性質得到BE的長，進而求得QE的長，證明△QOE∽△POA，根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可判斷④正確，即可得到結論．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°．∵BP=CQ，∴AP=BQ．在△DAP與△ABQ中，∵，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P=∠Q．∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；故①正確；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴，∴AO2=OD?OP．故②正確；在△CQF與△BPE中，∵，∴△CQF≌△BPE，∴S△CQF=S△BPE．∵△DAP≌△ABQ，∴S△DAP=S△ABQ，∴S△AOD=S四邊形OECF；故③正確；∵BP=1，AB=3，∴AP=1．∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°，∴△PBE∽△PAD，∴，∴BE，∴QE，∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°，∴△QOE∽△POA，∴，∴，故④正確．故選：D．本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解答本題的關鍵．5、B【分析】三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結論．【詳解】解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，

∴,即，解得：，故選：B.本題考查的是平行線分線段成比例定理，熟知三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例是解答此題的關鍵．6、B【詳解】∵將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，故選B．7、D【分析】連接OA、OB、OC、OD，由反比例函數(shù)的性質得到，，結合兩式即可得到答案.【詳解】連接OA、OB、OC、OD，由題意得，，∵，∴，∵，∴，∴，∵AC=3，BD=2，EF=5，∴解得OE=2，∴，故選：D.此題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，比例系數(shù)與三角形面積的關系，掌握反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義是解題的關鍵.8、D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得：和，從而求出.【詳解】解：在Rt△AOP中，，在Rt△BOP中，，∴故選D.此題考查的是銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決此題的關鍵.9、A【解析】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得到關于m的一元一次方程，解之即可．【詳解】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得：1+m﹣2=0，解得：m=1．故選A．本題考查了一元二次方程的解，正確掌握一元二次方程的解的概念是解題的關鍵．10、B【分析】方程兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．【詳解】（x﹣2）2＝0，則x1＝x2＝2，故選B．本題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，關鍵是掌握要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”來求解．11、D【分析】直接根據(jù)平移規(guī)律（左加右減，上加下減）作答即可．【詳解】將拋物線y=x2+1向右平移1個單位，再向上平移2個單位后所得拋物線解析式為y=（x-1）2+1．

故選：D．此題考查函數(shù)圖象的平移，解題關鍵在于熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．12、B【解析】確定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件，不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；【詳解】A．袋中有4個藍球，2個綠球，共6個球，隨機摸出一個球是紅球是不可能事件；B．三角形的內角和為180°是必然事件；C．打開電視機，任選一個頻道，屏幕上正在播放廣告是隨機事件；D．拋擲一枚硬幣兩次，第一次正面向上，第二次反面向上是隨機事件；故選：B．此題考查隨機事件，解題關鍵在于掌握其定義二、填空題（每題4分，共24分）13、【解析】分析：設勾為2k，則股為3k，弦為k，由此求出大正方形面積和陰影區(qū)域面積，由此能求出針尖落在陰影區(qū)域的概率．詳解：設勾為2k，則股為3k，弦為k，∴大正方形面積S=k×k=13k2，中間小正方形的面積S′=（3?2）k?（3?2）k=k2，故陰影部分的面積為：13k2-k2=12k2∴針尖落在陰影區(qū)域的概率為:．故答案為．點睛：此題主要考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．14、x=3【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可確定拋物線對稱軸．【詳解】解：點,是拋物線上的兩個點,且縱坐標相等．根據(jù)拋物線的對稱性知道拋物線對稱軸是直線．故答案為：．本題考察了二次函數(shù)的圖像和性質，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），拋物線上兩個不同點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，則P1，P2兩點是關于拋物線對稱軸對稱的點，且這時拋物線的對稱軸是直線：.15、【分析】先利用勾股定理求出OB，再根據(jù)，計算即可．【詳解】解：在等邊三角形中，O為的中點，∴OB⊥OC，,∴∠BOC=90°∴∵將繞的中點逆時針旋轉，得到∴∴三點共線∴故答案為：本題考查旋轉變換、扇形面積公式，三角形的面積公式，以及勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．16、5【分析】過D點作DH∥AE交EF于H點，證△BDH∽△BCE，△FDH∽△FAE，根據(jù)對應邊成比例即可求解.【詳解】過D點作DH∥AE交EF于H點，∴∠BDH=∠BCE，∠BHD=∠BEC,∴△BDH∽△BCE同理可證：△FDH∽△FAE∵AD是△ABC的中線∴BD=DC∴又∴∴∴故答案為：5本題考查的是相似三角形，找到兩隊相似三角形之間的聯(lián)系是關鍵.17、．【分析】根據(jù)概率公式計算概率即可．【詳解】∵在正方體骰子中，朝上的數(shù)字共有6種，為奇數(shù)的情況有3種，分別是：1，3，5，∴朝上的數(shù)字為奇數(shù)的概率是＝；故答案為：．此題考查的是求概率問題,掌握概率公式是解決此題的關鍵．18、1．【分析】x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根據(jù)旋轉的性質得OA1＝A1A1＝A1A3＝…＝A673A674＝3，所以拋物線C764的解析式為y＝﹣（x﹣1019）（x﹣1011），然后計算自變量為1010對應的函數(shù)值即可．【詳解】當y＝0時，x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x1＝3，則A1（3，0），∵將C1點A1旋轉180°得C1，交x軸于點A1；將C1繞點A1旋轉180°得C3，交x軸于點A3；……∴OA1＝A1A1＝A1A3＝…＝A673A674＝3，∴拋物線C764的解析式為y＝﹣（x﹣1019）（x﹣1011），把P（1010，m）代入得m＝﹣（1010﹣1019）（1010﹣1011）＝1．故答案為1．本題考查圖形類規(guī)律，解題的關鍵是掌握圖形類規(guī)律的基本解題方法.三、解答題（共78分）19、此游戲對雙方公平，理由見詳解．【分析】用列表法或樹狀圖將所有可能出現(xiàn)的情況表示出來，然后計算“兩枚正面向上，一枚正面向下”和“出現(xiàn)兩枚正面向下，一枚正面向上”的概率是否相等，如果相等，則說明游戲公平，反之則不公平．【詳解】答：此游戲對雙方公平．根據(jù)樹狀圖或列表分析拋擲三枚硬幣可出現(xiàn)8種情況，其中“兩正一反”和“兩反一正”的情況各有3種，所以“出現(xiàn)兩枚正面向上，一枚正面向下”的概率和“出現(xiàn)兩枚正面向下，一枚正面向上”的概率都是．本題主要考查用樹狀圖或列表法求隨機事件的概率，能夠用樹狀圖或列表法將所有可能出現(xiàn)的情況表示出來是解題的關鍵．20、（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接AD，則AD⊥BC,再由已知，可推出是的垂直平分線，再根據(jù)垂直平分線的性質即可得出結論．（2）連接OD，證明OD⊥DE即可．根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質可以證明．【詳解】解：(1)證明：連接∵是的直徑∴又∴是的垂直平分線(2)連接∵點、分別是的中點∴又∴∴為的切線；本題考查了直徑所對的圓周角是直角，垂直平分線的性質，切線的判定等，準確作出輔助線是解題的關鍵.21、（1）見解析；（1）見解析；（3）1．【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可得∠ADB=90°，又由CD平分∠ACB，根據(jù)圓周角定理，可得AD=BD，繼而可得△ABD是等腰直角三角形；

（1）證明△ADE≌△BDE'，可得∠DAE=∠DBE'，則∠OBE'=∠ABD+∠DBE'=90°，結論得證；

（3）取AG的中點H，連結DH，則DH=AH=GH，求出DH=DF=1，則答案可求出．【詳解】（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，∴，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形．（1）由旋轉的性質得，∠EDE'＝90°，DE＝DE'，∵∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠BDE'，∵AD＝BD，∴△ADE≌△BDE'（SAS），∴∠DAE＝∠DBE'，∵∠EAD＝∠DCB＝45°，∠ABD＝∠DCA＝45°，∴∠OBE'＝∠ABD+∠DBE'＝90°，∴BE′為⊙O的切線；（3）解：∵點F為的中點，∴∠FAD＝∠DAB＝11．5°，取AG的中點H，連結DH，∵∠ADB＝90°，∴DH＝AH＝GH，∴∠ADH＝∠FAD＝11．5°，∴∠DHF＝∠ADH+∠FAD＝45°，∵∠AFD＝∠ACD＝45°，∴∠DHF＝∠AFD，∴DH＝DF＝1，∴AG＝1DH＝1．此題考查了和圓有關的綜合性題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質、旋轉的性質、切線的判定、全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質，熟練掌握切線的判定方法是解題的關鍵．22、（1）x的值為90；（2）每件商品的售價定為95元時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2450元．【解析】（1）直接利用每件利潤×銷量＝2400，進而得出一元二次方程解出答案即可；（2）利用每件利潤×銷量＝利潤，先用x表示出每件的利潤和銷量，進而得出利潤關于x的二次函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質求最值即可．【詳解】解：（1）由題意可得：（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]＝2400，整理得：x2﹣190x+9000＝0，解得：x1＝90，x2＝100（不合題意舍去），答：x的值為90；（2）設利潤為w元，根據(jù)題意可得：w＝（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]＝﹣2x2+380x﹣15600＝﹣2（x﹣95）2+2450，故每件商品的售價定為95元時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2450元．本題考查的是二次函數(shù)的實際應用，這是二次函數(shù)應用問題中的常見題型，解決問題的關鍵是根據(jù)題意中的數(shù)量關系求出函數(shù)解析式.23、（1）；（2）或；（3）．【分析】（1）將A，C坐標代入中解出即可；（2）由可得，設，利用三角形的面積求法建立方程求解即可得出結論；（3）延長AC與BE交于點F，易證△ABC是直角三角形可知△ACF是等腰直角三角形，由，，可得A是CF的中點，所以F（2，-2），進而確定直線BF的解析式為，即可求出E點坐標.【詳解】（1）將點，代入得：∴，，∴；（2）由（1）可得，令y=0，解得，則，∴，，∴，∵，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴，如圖，過點作軸交于，設，∴∴，∴或，∴或；（3）延長與交于點，是直角三角形，∵直線繞點順時針旋轉，∴，∴是等腰直角三角形，∵，，∴是的中點，∴，∴直線的解析式為，則，∴或，∵與重合舍去，∴．本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，直角三角形的性質，本題是綜合題，掌握待定系數(shù)法求解析式，熟練的將函數(shù)與三角形相結合是解題的關鍵．24、（1）證明見解析；（2）1．【分析】（1）連接OB，由切線的性質可得OB⊥PA，然后根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠CBD=90°，再根據(jù)等角的余角相等推出∠BCD=∠BOA，由等量代換得到∠CBO=∠BOA，即可證平行；（2）先由勾股定理求出BD，然后由垂徑定理得到DE，求出OE，再利用△ABE∽△DOE的對應邊成比例，即可求出AE．【詳解】（1）如圖，連接OB，∵直線PA與相切于點B，∴OB⊥PA，∴∠PAO+∠BOA=90°∵CD是的直徑∴∠CBD=90°，∠PDB+∠BCD