2025年全國成人高校招生考試[數(shù)學(xué)(理)]復(fù)習(xí)題及答案一、選擇題（本大題共17小題，每小題5分，共85分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合\(A=\{x|-2<x<3\}\)，\(B=\{x|x\geq1\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{x|1\leqx<3\}\)B.\(\{x|x>-2\}\)C.\(\{x|-2<x\leq1\}\)D.\(\{x|x\geq1\}\)答案：A詳細(xì)解答：集合\(A\)表示的是大于\(-2\)且小于\(3\)的所有實數(shù)，集合\(B\)表示的是大于等于\(1\)的所有實數(shù)。求\(A\capB\)，即求既屬于集合\(A\)又屬于集合\(B\)的元素組成的集合。所以\(A\capB=\{x|1\leqx<3\}\)。2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-2}\)的定義域是（）A.\(\{x|x\neq0\}\)B.\(\{x|x\neq2\}\)C.\(\{x|x>2\}\)D.\(\{x|x<2\}\)答案：B詳細(xì)解答：對于分式函數(shù)\(y=\frac{1}{x-2}\)，要使其有意義，則分母不能為\(0\)。即\(x-2\neq0\)，解得\(x\neq2\)。所以函數(shù)的定義域是\(\{x|x\neq2\}\)。3.已知\(\log_3x=2\)，則\(x\)的值為（）A.\(6\)B.\(9\)C.\(8\)D.\(27\)答案：B詳細(xì)解答：根據(jù)對數(shù)的定義，如果\(\log_ab=c\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），那么\(b=a^c\)。已知\(\log_3x=2\)，則\(x=3^2=9\)。4.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：C詳細(xì)解答：對于正弦函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\neq0,\omega>0\)），其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。在函數(shù)\(y=\sinx\)中，\(\omega=1\)，所以最小正周期\(T=\frac{2\pi}{1}=2\pi\)。5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-1)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)等于（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：A詳細(xì)解答：若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-1)\)，那么\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times2+2\times(-1)=2-2=0\)。6.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,2)\)B.\((2,0)\)C.\((0,-2)\)D.\((-2,0)\)答案：B詳細(xì)解答：對于拋物線\(y^2=2px\)（\(p>0\)），其焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)。在拋物線\(y^2=8x\)中，\(2p=8\)，則\(p=4\)，所以\(\frac{p}{2}=\frac{4}{2}=2\)。因此焦點(diǎn)坐標(biāo)是\((2,0)\)。7.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(a_2\)等于（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案：B詳細(xì)解答：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(m,n,p\inN^+\)，且\(m+p=2n\)，則\(a_m+a_p=2a_n\)。對于\(a_1\)，\(a_2\)，\(a_3\)，有\(zhòng)(a_1+a_3=2a_2\)。已知\(a_1=2\)，\(a_3=6\)，則\(2a_2=2+6=8\)，解得\(a_2=4\)。8.函數(shù)\(y=2x^2-4x+3\)的對稱軸方程是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=2\)D.\(x=-2\)答案：A詳細(xì)解答：對于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），其對稱軸方程為\(x=-\frac{2a}\)。在函數(shù)\(y=2x^2-4x+3\)中，\(a=2\)，\(b=-4\)，則對稱軸方程為\(x=-\frac{-4}{2\times2}=1\)。9.已知直線\(l_1:2x+y-1=0\)，直線\(l_2:x-2y+2=0\)，則\(l_1\)與\(l_2\)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合答案：B詳細(xì)解答：若直線\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，直線\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，則\(l_1\perpl_2\)的充要條件是\(A_1A_2+B_1B_2=0\)。對于直線\(l_1:2x+y-1=0\)，\(A_1=2\)，\(B_1=1\)；直線\(l_2:x-2y+2=0\)，\(A_2=1\)，\(B_2=-2\)。\(A_1A_2+B_1B_2=2\times1+1\times(-2)=2-2=0\)，所以\(l_1\)與\(l_2\)垂直。10.已知\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，則\(\sin\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{3}{5}\)C.\(\frac{2}{5}\)D.\(\frac{1}{5}\)答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)。已知\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，則\(\sin\alpha>0\)。\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)。11.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加某項活動，則至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）種。A.\(45\)B.\(50\)C.\(55\)D.\(60\)答案：C詳細(xì)解答：“至少有\(zhòng)(1\)名女生”的對立事件是“沒有女生”，即全是男生。從\(8\)人中選\(3\)人的選法總數(shù)為\(C_{8}^{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)種。從\(5\)名男生中選\(3\)人的選法有\(zhòng)(C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)種。所以至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有\(zhòng)(C_{8}^{3}-C_{5}^{3}=56-10=55\)種。12.函數(shù)\(y=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)B.\([k\pi+\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{2\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)C.\([2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)D.\([2k\pi+\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{2\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)答案：A詳細(xì)解答：對于函數(shù)\(y=\cost\)，其單調(diào)遞減區(qū)間是\([2k\pi,2k\pi+\pi]\)，\(k\inZ\)。令\(t=2x+\frac{\pi}{3}\)，則\(2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\pi\)，\(k\inZ\)。先解\(2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{3}\)，得\(2k\pi-\frac{\pi}{3}\leq2x\)，即\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\)；再解\(2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\pi\)，得\(2x\leq2k\pi+\pi-\frac{\pi}{3}=2k\pi+\frac{2\pi}{3}\)，即\(x\leqk\pi+\frac{\pi}{3}\)。所以函數(shù)\(y=\cos(2x+\frac{\pi}{3})\)的單調(diào)遞減區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。13.已知\(a,b\inR\)，且\(a>b\)，則下列不等式中一定成立的是（）A.\(a^2>b^2\)B.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)C.\(a+c>b+c\)D.\(ac>bc\)答案：C詳細(xì)解答：A選項：當(dāng)\(a=1\)，\(b=-2\)時，\(a^2=1\)，\(b^2=4\)，此時\(a^2<b^2\)，所以A選項錯誤。B選項：當(dāng)\(a=1\)，\(b=-1\)時，\(\frac{1}{a}=1\)，\(\frac{1}=-1\)，此時\(\frac{1}{a}>\frac{1}\)，所以B選項錯誤。C選項：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，不等式兩邊同時加同一個數(shù)，不等號方向不變。因為\(a>b\)，所以\(a+c>b+c\)，C選項正確。D選項：當(dāng)\(c=0\)時，\(ac=bc=0\)，所以D選項錯誤。14.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f(x)\)的極大值點(diǎn)是（）A.\(-1\)B.\(1\)C.\(-\sqrt{3}\)D.\(\sqrt{3}\)答案：A詳細(xì)解答：首先對函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)求導(dǎo)，\(f^\prime(x)=3x^2-3\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x^2-3=0\)，化簡得\(x^2-1=0\)，因式分解為\((x+1)(x-1)=0\)，解得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x<-1\)時，\(f^\prime(x)=3x^2-3>0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(-1<x<1\)時，\(f^\prime(x)=3x^2-3<0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>1\)時，\(f^\prime(x)=3x^2-3>0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以\(x=-1\)是函數(shù)\(f(x)\)的極大值點(diǎn)。15.已知圓\(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)，則圓心坐標(biāo)為（）A.\((1,2)\)B.\((-1,-2)\)C.\((2,1)\)D.\((-2,-1)\)答案：A詳細(xì)解答：將圓的方程\(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的形式，其中\(zhòng)((a,b)\)為圓心坐標(biāo)，\(r\)為半徑。\(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)可變形為\((x-1)^2-1+(y-2)^2-4+1=0\)，即\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)。所以圓心坐標(biāo)為\((1,2)\)。16.已知\(\overrightarrow{OA}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{AB}\)等于（）A.\((2,2)\)B.\((4,6)\)C.\((-2,-2)\)D.\((-4,-6)\)答案：A詳細(xì)解答：根據(jù)向量減法的三角形法則，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)。已知\(\overrightarrow{OA}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{OB}=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)\)。17.已知函數(shù)\(y=f(x)\)是奇函數(shù)，且\(f(3)=5\)，則\(f(-3)\)等于（）A.\(5\)B.\(-5\)C.\(0\)D.無法確定答案：B詳細(xì)解答：對于奇函數(shù)\(y=f(x)\)，有\(zhòng)(f(-x)=-f(x)\)。已知\(f(3)=5\)，則\(f(-3)=-f(3)=-5\)。二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）1.函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的定義域是______。答案：\((1,+\infty)\)詳細(xì)解答：對于對數(shù)函數(shù)\(y=\log_au\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），要使其有意義，則\(u>0\)。在函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)中，\(u=x-1\)，所以\(x-1>0\)，解得\(x>1\)。故函數(shù)的定義域是\((1,+\infty)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值為______。答案：\(3\)詳細(xì)解答：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時除以\(\cos\alpha\)（因為\(\cos\alpha\neq0\)，若\(\cos\alpha=0\)，則\(\tan\alpha\)不存在）。\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)。已知\(\tan\alpha=2\)，代入上式得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，則雙曲線的離心率\(e\)等于______。答案：\(\frac{5}{4}\)詳細(xì)解答：對于雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)），其漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)。已知漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，所以\(\frac{a}=\frac{3}{4}\)。雙曲線的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)。則\(e=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+(\frac{3}{4})^2}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}\)。4.已知\((x+1)^n\)的展開式中第\(3\)項的二項式系數(shù)為\(10\)，則\(n\)的值為______。答案：\(5\)詳細(xì)解答：根據(jù)二項式定理，\((a+b)^n\)展開式的第\(r+1\)項的二項式系數(shù)為\(C_{n}^{r}\)。那么\((x+1)^n\)展開式中第\(3\)項的二項式系數(shù)為\(C_{n}^{2}\)。已知\(C_{n}^{2}=10\)，即\(\frac{n!}{2!(n-2)!}=10\)，\(\frac{n(n-1)}{2\times1}=10\)，\(n(n-1)=20\)，\(n^2-n-20=0\)。因式分解得\((n-5)(n+4)=0\)，解得\(n=5\)或\(n=-4\)。因為\(n\inN^+\)，所以\(n=5\)。三、解答題（本大題共4小題，共49分.解答應(yīng)寫出推理、演算步驟）1.（本題滿分12分）已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；（2）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)。詳細(xì)解答：（1）設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公比為\(q\)。根據(jù)等比數(shù)列通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，則\(a_3=a_1q^2\)。已知\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，所以\(2q^2=8\)，\(q^2=4\)，解得\(q=\pm2\)。當(dāng)\(q=2\)時，\(a_n=2\times2^{n-1}=2^n\)；當(dāng)\(q=-2\)時，\(a_n=2\times(-2)^{n-1}\)。（2）當(dāng)\(q=2\)時，根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）。\(S_n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2(2^n-1)=2^{n+1}-2\)。當(dāng)\(q=-2\)時，\(S_n=\frac{2[1-(-2)^n]}{1-(-2)}=\frac{2[1-(-2)^n]}{3}\)。2.（本題滿分12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,2]\)上的最大值和最小值。詳細(xì)解答：（1）首先對函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)求導(dǎo)，\(f^\prime(x)=2x-2\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(2x-2=0\)，解得\(x=1\)。當(dāng)\(x<1\)時，\(f^\prime(x)<0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>1\)時，\(f^\prime(x)>0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增。所以函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,1)\)，單調(diào)遞增區(qū)間是\((1,+\infty)\)。（2）由（1）可知函數(shù)\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極小值，也是最小值。\(f(1)=1^2-2\times1+3=2\)。然后計算區(qū)間端點(diǎn)的值：\(f(-1)=(-1)^2-2\times(-1)+3=1+2+3=6\)；\(f(2)=2^2-2\times2+3=3\)。比較\(f(-1)=6\)，\(f(1)=2\)，\(f(2)=3\)的大小，可得函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,2]\)上的最大值為\(6\)，最小值為\(2\)。3.（本題滿分12分）在\(\triangleABC\)中，已知\(A=\frac{\pi}{3}\)，\(b=2\)，\(c=3\)。（1）求\(a\)的值；（2）求\(\sinB\)的值。詳細(xì)解答：（1）根據(jù)余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)。已知\(A=\frac{\pi}{3}\)，\(b=2\)，\(c=3\)，\(\cosA=\frac{1}{2}\)。則\(a^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\frac{1}{2}=4+9-6=7\)，所以\(a=\sqrt{7}\)。（2）由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)。已知\(a=\sqrt{7}\)，\(A=\frac{\pi}{3}\)，\(b=2\)，\(\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。則\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\)。4.（本題滿分13分）已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的離心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點(diǎn)\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)。（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線\(l:y=kx+m\)與橢圓交于\(A\)，\(B\)兩點(diǎn)，且以\(AB\)為直徑的圓過原點(diǎn)\(O\)，求\(m\)與\(k\)的關(guān)系。詳細(xì)解答：（1）因為橢圓的離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，又\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{4}\)，即\(\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}\)，\(1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}\)，\(\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}\)，\(a^2=4b^2\)。橢圓方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)過點(diǎn)\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)，則\(\frac{(\sqrt{3})^2}{a^2}+\frac{(\frac{1}{2})^2}{b^2}=1\)。將\(a^2=4b^2\)代入\(\frac{3}{a^2}+\frac{1}{4b^2}=1\)中，得\(\frac{3}{4b^2}+\frac{1}{4b^2}=1\)，\(\frac{4}{4b^2}=