士官學校數(shù)學真題及答案

一、單項選擇題1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\gt0\)答案：B2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)答案：B3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(-2\)D.\(\frac{1}{2}\)答案：B4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5\)的值為（）A.\(9\)B.\(11\)C.\(13\)D.\(15\)答案：A5.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第一象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：A6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}+\vec\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((-2,-2)\)C.\((2,2)\)D.\((3,6)\)答案：A7.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,-1)\)D.\((-1,0)\)答案：B8.函數(shù)\(f(x)=x^3\)的導數(shù)\(f^\prime(x)\)是（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(1\)答案：A9.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(2\)人參加活動，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）A.\(18\)種B.\(28\)種C.\(20\)種D.\(30\)種答案：B10.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案：C二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：ABD2.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_n^2=a_{n-1}\cdota_{n+1}(n\gt1)\)B.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)C.\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q(m+n=p+q)\)D.\(a_n=a_1+(n-1)d\)答案：ABC3.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時為\(0\)）的斜率\(k\)和在\(y\)軸上的截距\(b\)可能是（）A.\(k=-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）B.\(b=-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）C.當\(B=0\)時，斜率不存在D.當\(A=0\)時，\(b=-\frac{C}{B}\)答案：ABC4.對于橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說法正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)答案：ABCD5.下列關(guān)于導數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處的導數(shù)\(f^\prime(x_0)\)就是函數(shù)在該點的切線斜率B.若\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增C.若\(f^\prime(x)\lt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞減D.函數(shù)的極值點處導數(shù)一定為\(0\)答案：ABC6.已知\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則下列向量運算正確的是（）A.\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)\)（\(\lambda\)為實數(shù)）D.\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)答案：ABCD7.下列三角函數(shù)值正確的是（）A.\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)B.\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)C.\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)D.\(\sin\frac{\pi}{2}=1\)答案：ABCD8.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個數(shù)字中任取\(3\)個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)（）A.共有\(zhòng)(A_{5}^3=60\)個B.其中偶數(shù)有\(zhòng)(A_{2}^1\cdotA_{4}^2=24\)個C.其中奇數(shù)有\(zhòng)(A_{3}^1\cdotA_{4}^2=36\)個D.比\(300\)大的有\(zhòng)(A_{3}^1\cdotA_{4}^2=36\)個答案：ABCD9.已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)），以下說法正確的是（）A.\(A\)決定函數(shù)的振幅B.\(\omega\)決定函數(shù)的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.\(\varphi\)決定函數(shù)的初相D.函數(shù)的對稱軸方程為\(\omegax+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)答案：ABCD10.下列關(guān)于立體幾何中直線與平面的位置關(guān)系說法正確的是（）A.直線\(l\)與平面\(\alpha\)平行，記為\(l\parallel\alpha\)B.直線\(l\)與平面\(\alpha\)相交，記為\(l\cap\alpha=A\)C.直線\(l\)在平面\(\alpha\)內(nèi)，記為\(l\subset\alpha\)D.若直線\(a\parallel\)平面\(\alpha\)，直線\(b\subset\alpha\)，則\(a\parallelb\)答案：ABC三、判斷題1.空集是任何集合的子集。（）答案：對2.函數(shù)\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增。（）答案：錯3.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）答案：錯4.平面內(nèi)到兩個定點\(F_1,F_2\)的距離之和等于常數(shù)（大于\(|F_1F_2|\)）的點的軌跡是橢圓。（）答案：對5.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)。（）答案：錯6.等比數(shù)列的公比\(q\)可以為\(0\)。（）答案：錯7.函數(shù)\(y=\cosx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）答案：對8.直線\(y=kx+b\)與\(y\)軸的交點坐標是\((0,b)\)。（）答案：對9.從\(n\)個不同元素中取出\(m\)（\(m\leqn\)）個元素的組合數(shù)\(C_{n}^m\)與排列數(shù)\(A_{n}^m\)的關(guān)系是\(A_{n}^m=C_{n}^m\cdotA_{m}^m\)。（）答案：對10.若函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且\(f(a)\cdotf(b)\lt0\)，則函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)至少有一個零點。（）答案：對四、簡答題1.求函數(shù)\(y=\log_2(x^2-3x+2)\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x^2-3x+2\gt0\)，即\((x-1)(x-2)\gt0\)?？傻肻(x\lt1\)或\(x\gt2\)。所以函數(shù)的定義域為\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求該數(shù)列的通項公式\(a_n\)。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。則\(a_5-a_3=2d\)，由\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，可得\(2d=9-5=4\)，即\(d=2\)。又\(a_3=a_1+2d=5\)，把\(d=2\)代入得\(a_1+2\times2=5\)，解得\(a_1=1\)。所以通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：已知直線\(2x-y+1=0\)的斜率為\(2\)，因為所求直線與之平行，所以斜率也為\(2\)。由點斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)=(1,2)\)，\(k=2\)），可得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)，即所求直線方程為\(2x-y=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)與\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-(\frac{3}{5})^2=\frac{16}{25}\)。又\(\alpha\)是第二象限角，\(\cos\alpha\lt0\)，所以\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。五、討論題1.在學習函數(shù)的單調(diào)性時，我們通過導數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。請舉例說明導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用，并討論導數(shù)為\(0\)的點與函數(shù)單調(diào)性及極值點的關(guān)系。答案：例如函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，其導數(shù)\(f^\prime(x)=3x^2-3\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x^2-3=0\)，解得\(x=\pm1\)。當\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增；當\(-1\ltx\lt1\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減。導數(shù)為\(0\)的點不一定是極值點，如\(f(x)=x^3\)，\(f^\prime(x)=3x^2\)，\(x=0\)時\(f^\prime(x)=0\)，但該點不是極值點；而在\(f(x)=x^3-3x\)中，\(x=\pm1\)是極值點。導數(shù)為\(0\)是函數(shù)取得極值的必要不充分條件，函數(shù)在某點導數(shù)為\(0\)且在該點兩側(cè)導數(shù)符號改變時，該點才是極值點。2.在立體幾何中，我們學習了直線與平面的多種位置關(guān)系。請討論如何