專題24.1測(cè)量與直角三角形的性質(zhì)1.長(zhǎng)度與角度的準(zhǔn)確測(cè)量及基礎(chǔ)計(jì)算;（重點(diǎn)）2.直角三角形的核心性質(zhì)內(nèi)容及直接應(yīng)用；（重點(diǎn)）3.含30°角的直角三角形的特殊性質(zhì)（30°角對(duì)邊等于斜邊一半）；（重點(diǎn)）4.間接測(cè)量的原理轉(zhuǎn)化（如利用幾何知識(shí)測(cè)不可直接到達(dá)的距離）；（難點(diǎn)）5.斜邊中線性質(zhì)的推導(dǎo)過程及復(fù)雜圖形中的應(yīng)用；（難點(diǎn)）6.勾股定理的靈活應(yīng)用（含折疊、動(dòng)態(tài)問題）（難點(diǎn)）利用相似三角形可以解決一些不易直接測(cè)量的物體(如旗桿、樓房等)的高度問題，常用的測(cè)量方法如下:（1）影子測(cè)量法:利用太陽(yáng)光是平行光線，構(gòu)造相似三角形進(jìn)行測(cè)量.如圖測(cè)量同一時(shí)刻人的高度、人的影長(zhǎng)和旗桿的影長(zhǎng)（2）鏡子反射法:利用鏡子的反射原理--反射角等于入射角，構(gòu)造相似三角形進(jìn)行測(cè)量.如圖，測(cè)量人眼到地面的高度、人和旗桿分別到鏡子的距離（3）標(biāo)桿測(cè)量法:利用視線與標(biāo)桿,通過從人的眼睛處向物體作垂線,構(gòu)造相似三角形進(jìn)行測(cè)量.如圖，人的底端、標(biāo)桿的底端與旗桿的底端成一條直線,且旗桿的頂端、標(biāo)桿的頂端與人的眼睛恰好在同一條直線上.1.用影子測(cè)量法求物高的兩種方法一是直接根據(jù)線段的比例關(guān)系計(jì)算；二是利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算.2.在利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算物體的高度時(shí)，要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算出物體的高度3.在具體的測(cè)量中，要注意測(cè)量方法的選擇，測(cè)量方法要切實(shí)可行，測(cè)量結(jié)果要準(zhǔn)確，盡量減少誤差1.數(shù)學(xué)中的測(cè)量與物理中的測(cè)量屬于同一概念，但數(shù)學(xué)中的測(cè)量需要伴隨著數(shù)學(xué)運(yùn)算，勾股定理就是在實(shí)際測(cè)量中經(jīng)常用到的知識(shí)。2.數(shù)學(xué)中的測(cè)量工具一般有:刻度尺、測(cè)角儀等應(yīng)用此種方法的前提是在直角三角形中直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半數(shù)學(xué)表達(dá)式1.直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個(gè)面積相等的等腰三角形,2.此性質(zhì)適用于所有直角三角形，具有一般性，是解決線段倍分問題的重要依據(jù)1.性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，在Rt中，2．作用應(yīng)用于證明線段的倍分關(guān)系和計(jì)算角度．應(yīng)用此性質(zhì)，必須滿足兩個(gè)條件:(1)在直角三角形中;(2)有一個(gè)銳角為30°，二者缺一不可.題型一、測(cè)量例1如圖，某人拿著一把分度值為厘米的刻度尺，站在距電線桿的地方，手臂向前伸直，將刻度尺豎直，看到刻度尺上的長(zhǎng)度恰好遮住電線桿．已知臂長(zhǎng)為，則電線桿的高是（

）．

A． B． C． D．2．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AB＝4，AC＝3，則BD為（）A．1.8 B．3.2 C．2.4 D．53．《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其有題譯文如下：“有一根竹竿在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)尺.同時(shí)立一根尺的小標(biāo)桿，它的影長(zhǎng)是尺。如圖所示，則可求得這根竹竿的長(zhǎng)度為（

）尺

A． B． C． D．4．據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”譯文如下：如圖，今有山位于樹的西面.山高為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺.人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢恰好與山峰處在同一條直線上，人眼離地7尺.則山高的長(zhǎng)為（結(jié)果保留到整數(shù)，1丈=10尺）(

)A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈5．如圖，A，B兩地之間有一池塘，要測(cè)量A，B兩地之間的距離，選擇一點(diǎn)O連接AO并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使OC＝AO．連接BO并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使OD＝BO，測(cè)得C、D間距離為30米，則A，B兩地之間的距離為．題型二、斜邊的中線等于斜邊的一半例2（24-25九年級(jí)上·貴州六盤水·期末）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．7 D．7．（2025·陜西·中考真題）如圖，在中，，，為邊上的中線，，則圖中與互余的角共有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)8．如圖，菱形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，則對(duì)角線的長(zhǎng)為．9．如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，以為邊向外作等邊，連接，交于點(diǎn)F，若，則的長(zhǎng)為．10．如圖，在中，是邊上的高，，分別是邊，的中點(diǎn)，，，．求的周長(zhǎng)．11．（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·期中）如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)．若，，求邊的長(zhǎng)．題型三、含30度角的直角三角形例3（24-25九年級(jí)上·安徽宣城·階段練習(xí)）在中，，，，則的長(zhǎng)是（

）A．2 B． C．3 D．13．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，，，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2024次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．14．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，一棵大樹的一段被風(fēng)吹斷，頂端著地與地面成，頂端著地處與大樹底端相距米，則原來大樹（

）米．A． B． C． D．15．（24-25九年級(jí)上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，，，，則．16．（24-25九年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在中，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，則陰影部分的面積為．17．（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，．點(diǎn)P在邊上，過點(diǎn)P作，垂足為D，過點(diǎn)D作，垂足為F．連接，取的中點(diǎn)E．在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．18．（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，已知在中，，，，求線段的長(zhǎng)．例1如圖，已知，，，小紅進(jìn)行了如下作圖：（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心、大于為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；（2）作直線與相交于點(diǎn)D．解決如下兩個(gè)問題：

(1)以上作圖是如下___________的基本作圖；（在橫線上填序號(hào)）①作一個(gè)角的平分線；②作已知線段的垂直平分線；③作已知直線的垂線．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)②(2)【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．（1）由作圖痕跡即可得解；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)求得，推出，利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：由作圖痕跡知，直線是線段的垂直平分線，故答案為：②；（2）解：∵，，∴，由上題可知為線段的垂直平分線，∴，∴，∴．∵，，∴，由勾股定理得，即，解得，∴．例2如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)B作，垂足為E，連接，F(xiàn)為上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）由平行的性質(zhì)結(jié)合條件可得到和，可證得結(jié)論；（2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，由勾股定理得：．1．據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”譯文如下：如圖，今有山位于樹的西面.山高為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺.人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢恰好與山峰處在同一條直線上，人眼離地7尺.則山高的長(zhǎng)為（結(jié)果保留到整數(shù)，1丈=10尺）(

)A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈2．如圖，在中，，D是斜邊的中點(diǎn)，以為邊作正方形，若，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．3．如圖，在正方形和正方形中，，，三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)在邊上．若，，連接，是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．4．直角三角形中有兩條邊分別為，，則此直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于（

）A． B． C．或 D．或5．如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME﹣7）的會(huì)徽，由其主體圖案中相鄰兩個(gè)直角三角形組合而成．作菱形，使點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，若，，則（）A． B． C． D．6．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A．8 B．4 C．2 D．17．如圖，在菱形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，H為邊中點(diǎn)，，菱形的面積為240，則的長(zhǎng)等于．8．如圖，菱形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，則對(duì)角線的長(zhǎng)為．9．如圖，菱形中，，，交于O，點(diǎn)M在線段上，且，點(diǎn)P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．10．如圖，在正方形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．若，則四邊形的面積為．11．如圖，四邊形，，平分交于點(diǎn)C，平分，交于點(diǎn)O，連接，．(1)求證：