第2課時(shí)12.3角的平分線的性質(zhì)八年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.幾何表示：如圖，∵OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.∴PD=PE.OABCPDE┐┐知識(shí)回顧1.探究并證明角的平分線的判定.2.會(huì)用角的平分線的判定解決實(shí)際問(wèn)題.3.熟練掌握角的平分線的性質(zhì)和角的平分線的判定的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)思考：如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m.這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建于何處？課堂導(dǎo)入作出公路和鐵路相交的角的平分線，按照比例尺的比例在該平分線上選取離交叉口處500m的位置即可建集貿(mào)市場(chǎng).

到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上？

課堂導(dǎo)入┐角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

注意:使用該判定定理的前提是這個(gè)點(diǎn)必須在角的內(nèi)部.OABCPDE┐知識(shí)點(diǎn)1角的平分線的判定新知探究幾何表示：如圖，∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐┐證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.例如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐角的平分線的性質(zhì)定理與判定定理的關(guān)系.點(diǎn)在角的平分線上(角的內(nèi)部)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理是證明兩條線段相等的依據(jù)，判定定理是證明兩個(gè)角相等的依據(jù).知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的性質(zhì)定理與判定定理的關(guān)系新知探究分別畫(huà)出以下三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線，從位置的角度看你能得出什么結(jié)論？三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)位于三角形的內(nèi)部.ABC┐ABCABC知識(shí)點(diǎn)3三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的性質(zhì)

新知探究過(guò)交點(diǎn)分別作三角形三邊的垂線，測(cè)量一下每一組垂線段，從大小上你能觀察出什么結(jié)論？

過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等.┐┐┐┐┐┐┐┐┐ABCABBCAC例如圖，△ABC的角平分線AD，BE，CF相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到△ABC三邊AB，BC，CA的距離相等.BCPDEFMNO證明：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，垂足分別為點(diǎn)M，N，O.┐┐┐A可多次利用角平分線的性質(zhì)證得∵AD為△ABC的角平分線，∴PN=PO.∵BE為△ABC的角平分線，∴PM=PO.∵CF為△ABC的角平分線，∴PM=PN.∴PM=PN=PO，即點(diǎn)P到△ABC三邊AB，BC，CA的距離相等.BCPDEFMNO┐┐┐A三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì)三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線的交點(diǎn).ABCP判斷題:(1)如圖1，若QM=QN，則OQ平分∠AOB.()

(2)如圖2，若QM⊥OA于點(diǎn)M，QN⊥OB于點(diǎn)N，則OQ平分∠AOB.()┐┐QOBAM圖2NOBAQM圖1N跟蹤訓(xùn)練新知探究角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.1.如圖，P是△ABC外部一點(diǎn)，PD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，PE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，且PD=PE=PF.關(guān)于點(diǎn)P有下列三種說(shuō)法：①點(diǎn)P在∠DBC的平分線上；②點(diǎn)P在∠BCE的平分線上；③點(diǎn)P在∠BAC的平分線上.其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3DCAEBDFP┐┐隨堂練習(xí)2.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F且DB=DC.求證：AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐

BE=CF，DB=DC.

Rt△BDE≌Rt△CDF.

DE⊥AB，DF⊥AC

，DE=DF.AD是∠BAC的平分線.

分析：

（直角三角形全等（HL））（三角形全等的性質(zhì)）（角的平分線的判定）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°.

∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF，

DB=DC，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

∴DE=DF.∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即AD是∠BAC的平分線.┐CEAFDB┐3.如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，O到三邊AB，BC，CA的距離分別為OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，則∠BOC=（）.證明：由題意，得OD⊥BC，OE⊥AC,OF

⊥AB,且OF=OD=OE，∴OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB.∵∠BAC=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°.

4.如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F.求證：AC平分∠BAD.EABCDF┌┐熟練掌握角的平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵證明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，∴∠ABC=∠EDC.∵CE⊥AD，CF⊥AB，

∴∠CED=∠CFB=90°.∵在△BCF和△DCE中，∠CFB=∠CED，

∠FBC=∠EDC，

BC=DC，∴△BCF≌△DCE（AAS）.

∴CF=CE，即AC平分∠BAD.EABCDF┌┐角平分線的判定學(xué)會(huì)用添加輔助線的方法解題判定定理應(yīng)用角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上綜合利用角的平分線的性質(zhì)和判定來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題課堂小結(jié)1.如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC.求證：AE平分∠DAB.ABCED┌┌拓展提升證明：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，∵∠B=∠C=90°，

∴DC⊥EC，EB⊥AB.

∵DE平分∠ADC，

∴EC=EF.

證明角平分線的方法只需從要證的線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作（找）垂線段，再證明垂線段相等即可.∵E是BC的中點(diǎn)，

∴EC=EB=EF.又∵EF⊥AD，EB⊥AB，

∴點(diǎn)E在∠DAB的平分線上，即AE平分∠DAB.F┌ABCED┌┌2.如圖，∠MON=60°，點(diǎn)A，B為射線OM，ON上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A，B不與點(diǎn)O重合），在∠MON的內(nèi)部，△AOB的外部有一點(diǎn)P，且AP=BP，∠APB=120°，求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上.CDABPOMN┌┌證明：①若∠PAO≠90°，如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分別為C，D，則∠ACP=∠BDP=90°.在四邊形OCPD中，

∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°，∴∠APB=∠CPD.∴∠APB-∠APD=∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD.在△APC和△BPD中，∠APC=∠BPD，

∠ACP=∠BDP，

AP=BP，∴△APC≌△BPD（AAS）.∴PC=PD，∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上.CDABPOMN┌┌ABPOMN②若∠PAO=90°，則∠PBO=360°-∠APB-∠PAO-∠AOB=90°,∴PA=PB,∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上.綜上，點(diǎn)P在∠MON的平分線上.∠PAO的度數(shù)未知，因分情況討論，確保結(jié)果的完整性.學(xué)前溫故新課早知相等

角的平分線的性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離

.學(xué)前溫故新課早知1.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在

上.

2.三角形的三條角平分線

,這點(diǎn)到三角形三邊的距離

.

3.三角形中到三邊的距離相等的點(diǎn)是(

).A.三條邊上經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的任意三條線段的交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條角平分線的交點(diǎn)角的平分線

相交于一點(diǎn)

相等

D點(diǎn)在角的平分線的判定方法【例題】

如圖,BD=CD,BF⊥AC于點(diǎn)F,CE⊥AB于點(diǎn)E.求證:點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.分析:要證明點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,因?yàn)镈E⊥AB,DF⊥AC,所以只要證明點(diǎn)D到∠BAC的兩邊距離相等,即DE=DF,利用題目的已知條件證明△DBE和△DCF全等即可得到.證明在△DBE和△DCF中,所以△DBE≌△DCF(AAS).所以DE=DF.因?yàn)镈E⊥AB,DF⊥AC,所以點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.1