2026屆湖南省邵陽(yáng)市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模擬檢測(cè)試卷第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)第PAGE"pagenumber"pagenumber頁(yè)，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁(yè)2026屆湖南省邵陽(yáng)市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模擬檢測(cè)試卷（九）一、單選題（本大題共8小題，共40分）1．[5分]在復(fù)平面內(nèi)，i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．[5分]學(xué)習(xí)小組對(duì)某水域捕魚活動(dòng)的活動(dòng)量、成本和收益進(jìn)行建模研究.研究發(fā)現(xiàn)，若捕魚活動(dòng)量為個(gè)單位，則捕魚活動(dòng)的收益，捕魚活動(dòng)的成本，其中為單位捕魚活動(dòng)的成本.捕魚活動(dòng)的利潤(rùn)為收益與成本之差.已知初始狀態(tài)下，且當(dāng)時(shí)捕魚活動(dòng)的利潤(rùn)最大.為改善初始狀態(tài)下該水域存在的過(guò)度捕撈問(wèn)題，現(xiàn)通過(guò)人為干預(yù)將單位捕魚活動(dòng)的成本增加到，使得時(shí)捕魚活動(dòng)的利潤(rùn)減少到0，則約為（

）A．4.6 B．5.4 C．6.2 D．7.03．[5分]已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M在平面B1BCC1上(不含三棱柱的頂點(diǎn)),若MA1⊥MB,則CM的最小值為 ()A．3-2 B．23-2 C．2 D．10-24．[5分]已知集合則（

）A． B． C． D．5．[5分]已知集合有且僅有2個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．或6．[5分]已知l，，是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列命題一定正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，，則C．若，，，則D．若，，，且，，則7．[5分]已知函數(shù)，若，則a、b、c之間的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．[5分]已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)不是常函數(shù)，且滿足，，則（

）A． B．2 C． D．2026二、多選題（本大題共3小題，共15分）9．[5分]已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，且，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．直線MN與所成角的大小為B．C．PN與平面ABC所成最大角的正切值為2D．點(diǎn)N到平面AMP距離的最大值為10．[5分]在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為AD，CD的中點(diǎn)，過(guò)，M，N三點(diǎn)的截面將正方體分成兩部分，其中體積小的幾何體的體積記為，體積大的幾何體的體積記為，則（

）A．平面 B．C．截面的周長(zhǎng)為 D．11．[5分]已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，有極值點(diǎn)，且.C．對(duì)任意，函數(shù)都存在最小值D．若恒成立，則三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．[5分]在中，若，則的取值范圍為.13．[5分]已知，且，則．14．[5分]若直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，若在以為直徑的圓上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．四、解答題（本大題共5小題，共80分）15．[12分]如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，底面為等邊三角形，平面平面，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；（2）若，點(diǎn)在直線上，且平面與平面的夾角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).16．[14分]已知滿足，且時(shí)，（1）判斷的單調(diào)性并證明；（2）證明：；（3）若，解不等式．17．[18分]設(shè)函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值是4，求a的值.18．[18分]甲、乙兩人各有一個(gè)乒乓球袋，袋內(nèi)均裝有10個(gè)規(guī)格相同的乒乓球，其中4個(gè)黃球、6個(gè)白球，兩人從各自袋中摸球．（1）甲無(wú)放回摸出兩個(gè)球，用表示摸出黃球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：甲無(wú)放回摸球，乙有放回摸球，若兩人各自都摸兩次，每次摸出一個(gè)球，誰(shuí)摸出的黃球個(gè)數(shù)多誰(shuí)就獲勝，判斷誰(shuí)獲勝的概率較大，并說(shuō)明理由．19．[18分]如圖1，在中，，，的垂直平分線與，分別交于點(diǎn)，，且，沿將折起至的位置，得到四棱錐，如圖2.（1）設(shè).①證明：.②已知，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面？若存在，請(qǐng)求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

參考答案1．【答案】C【詳解】依題意，.故選C.2．【答案】C【詳解】設(shè)捕魚活動(dòng)的利潤(rùn)為，則，所以，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取最大值，為，所以；由題意可得當(dāng)單位捕魚活動(dòng)的成本增加到，時(shí)，，所以，解得.故選C.3．【答案】D【詳解】由題意知,點(diǎn)M是在以線段A1B為直徑的球與平面B1BCC1形成的交線上．如圖,取A1B的中點(diǎn)D,B1C1的中點(diǎn)P,連接A1P,BP,設(shè)BP的中點(diǎn)為E,連接DE,則DE∥A1P,DE=12A1P,過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC,垂足為N,由于A1P⊥B1C1,又根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知BB1⊥A1P,B1C1∩BB1=B1,B1C1,BB1?平面B1BCC1,所以A1P⊥平面B1BCC1,則DE⊥平面B1BCC1,DE=12A1P=12×32×4=3,而A1B=42+22=25,EN=12BB1=1,BN=1,CN=3,CE=32+12=10,故點(diǎn)M在以E為圓心,r=A1B224．【答案】B【詳解】因?yàn)榍遥?，當(dāng)時(shí)，代入集合可得到：，即；當(dāng)時(shí)，代入集合可得到：，即；當(dāng)時(shí)，代入集合可得到：，即；當(dāng)時(shí)，代入集合可得到：，即.因?yàn)?，所?故選B.5．【答案】B【詳解】由集合有且僅有2個(gè)子集，可得集合中有且只有一個(gè)元素，所以方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值集合為，故選B.6．【答案】C【詳解】對(duì)于A，由，，，得或與相交或與是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，，，得或與相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，，得，C正確；對(duì)于D，由，，，且，，得或與相交，D錯(cuò)誤.故選C7．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑒t，即函數(shù)為偶函數(shù)，設(shè)，有，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)且，而在為增函數(shù)，則在，上為減函數(shù)，又由，則在區(qū)間，上，，又由，則在區(qū)間，上為增函數(shù)，又由，則有，故選．8．【答案】A【詳解】由題意，令，得，又不是常函數(shù)，所以，再令，得，即，則，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為4，由，令，得，所以，所以.故選A.9．【答案】BCD【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，，則，顯然直線MN與所成角不為，A錯(cuò)；又，故，B對(duì)；由面的一個(gè)法向量為，則，所以時(shí)，PN與平面ABC所成最大角的正弦值為，則正切值為，C對(duì)；由，，若為面AMP的一個(gè)法向量，則，令，則，又，則點(diǎn)N到平面AMP距離為，令，則，故，D對(duì).故選BCD10．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，連接AC，則，，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，連接，在正方體中，，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故B正確；對(duì)于C，過(guò)的截面為梯形，，，，所以其周長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，截面將正方體分成三棱臺(tái)和剩余的部分，三棱臺(tái)的體積為，剩余部分的體積為，所以，故D正確．故選ABD．

11．【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，從而，所以在處的切線方程為即，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，定義域，且，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即，B正確；C選項(xiàng)，定義域，，設(shè)，則，所以即在上單調(diào)遞增，當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以必存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最小值，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，一定存在最小值，得，則滿足，，要使得恒成立，則即恒成立，當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)可得恒成立，則，設(shè)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，D正確；故選BCD.12．【答案】【詳解】由，得，由正弦定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又，且余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，所以的取值范圍為.13．【答案】【詳解】由，則，由，得，則，即，，所以，則.14．【答案】【詳解】方法一：設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線與曲線交于，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，所以，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)點(diǎn)，所以，即．因?yàn)?，所以．由韋達(dá)定理，得，即，此時(shí)，且，所以的中點(diǎn)即圓心為．所以圓心與點(diǎn)的距離為（此時(shí)恰為該圓與拋物線準(zhǔn)線的切點(diǎn)），即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．方法二：如圖，過(guò)分別向直線引垂線，．因?yàn)?，且在?zhǔn)線上，取的中點(diǎn)并作垂直于準(zhǔn)線，則，所以以為直徑的與準(zhǔn)線切于點(diǎn)，即與重合．因?yàn)?，而，所以．又，．所以，所以，即．所以直線的斜率為，方程為，此時(shí)中點(diǎn)．所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．15．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）2【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，，

所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）連接，因?yàn)闉榈冗吶切危瑒t.

所以兩兩垂直.則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)锳B=2，所以.故，.設(shè)，則，即.，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則則，取，則，.故平面的一個(gè)法向量為.又由（1）可知平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，即.解得.又，所以，線段CF的長(zhǎng)為2.16．【答案】（1）減函數(shù)，見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解（3）或．【詳解】（1）是上的減函數(shù)，證明如下：對(duì)任意且，則，所以；又即，所以.所以是上的減函數(shù).（2）由，令，得；再令可得；即.（3），，，即，又是上的減函數(shù)，所以，解得：或，所以不等式的解集為或.17．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值.（2）【詳解】解：（1）.當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；無(wú)極值當(dāng)時(shí)，，解得，由，解得.函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上的最小值為，即，矛盾.當(dāng)時(shí)，由（1）得是函數(shù)在R上的極小值點(diǎn).①當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為，即，符合條件.②當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的最小值為即，矛盾.③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最小值為，即.令（），則，∴在上單調(diào)遞減，而，∴在上沒(méi)有零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解.綜上，實(shí)數(shù)a的值為.18．【答案】（1）分布列見(jiàn)詳解，數(shù)學(xué)期望為（2）甲獲勝的概率較大，理由見(jiàn)詳解【詳解】（1）的可能取值為0，1，2.因此，的分布列為012的數(shù)學(xué)期望.（2）用表示乙摸出黃球的個(gè)數(shù)，因乙有放回摸球，且每次摸出黃球的概率為，則，.設(shè)事件：甲獲勝，則．則設(shè)事件乙獲勝，則．則因?yàn)椋约撰@勝的概率較大.19．【答案】（1）①見(jiàn)詳解；②存在，（2）.【詳解】（1）①證明：如圖，在中，記的中點(diǎn)為，連接.由題意，是的中位線，因?yàn)?，，所以，，在中，由正弦定理得，即，解?因?yàn)?，且，所?因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以是等腰直角三角形，所以.在翻折后，，.因，有，所以是等腰直角三角形.故，，與相交于，且平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫矫?，所?②解：由①知在四棱錐中，，，兩兩垂直，延長(zhǎng)至點(diǎn)Q