2025線性代數(shù)期末考試及答案詳解一、選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert\)等于（）A.\(-2^n\)B.\((-2)^n\)C.\(-2^{n+1}\)D.\((-2)^{n+1}\)2.設(shè)\(\alpha_1=(1,1,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,1)^T\)，\(\alpha_3=(1,0,1)^T\)，則向量\(\beta=(2,0,0)^T\)可表示為（）A.\(\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)B.\(\beta=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\beta=\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3\)D.\(\beta=\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3\)3.已知\(n\)階方陣\(A\)滿足\(A^2-A-2E=O\)，則\((A-2E)^{-1}\)等于（）A.\(A+E\)B.\(A-E\)C.\(-(A+E)\)D.\(-(A-E)\)4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，則線性方程組\((AB)X=0\)（）A.當(dāng)\(n\gtm\)時僅有零解B.當(dāng)\(n\gtm\)時必有非零解C.當(dāng)\(m\gtn\)時僅有零解D.當(dāng)\(m\gtn\)時必有非零解5.設(shè)\(A\)是\(3\)階實(shí)對稱矩陣，\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=2\)，\(\lambda_3=-2\)是\(A\)的三個特征值，\(\alpha_1=(1,-1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,1,0)^T\)分別是\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)對應(yīng)的特征向量，則\(\lambda_3\)對應(yīng)的特征向量可以是（）A.\((1,-1,-2)^T\)B.\((1,1,2)^T\)C.\((1,-1,2)^T\)D.\((1,1,-2)^T\)二、填空題（每小題3分，共15分）1.已知行列式\(\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=0\)，則\(a\)的值為______。2.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，則\(AB-BA=\)______。3.設(shè)向量組\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)，\(\alpha_3=(3,6,9)^T\)，則該向量組的秩為______。4.已知\(3\)階方陣\(A\)的特征值為\(1\)，\(2\)，\(3\)，則\(\vertA^2-2A+E\vert=\)______。5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_2x_3\)的矩陣為______。三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）1.計(jì)算行列式\(D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}\)。2.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}\)，求\(A^{-1}\)。3.求向量組\(\alpha_1=(1,-1,2,4)^T\)，\(\alpha_2=(0,3,1,2)^T\)，\(\alpha_3=(3,0,7,14)^T\)，\(\alpha_4=(1,-1,2,0)^T\)的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。4.求解線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2-3x_3-x_4=1\\3x_1-x_2-3x_3+4x_4=4\\x_1+5x_2-9x_3-8x_4=0\end{cases}\)。5.已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3\)，通過正交變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換矩陣。四、證明題（每小題10分，共20分）1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，證明：\(r(A)+r(A-E)=n\)。2.設(shè)\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)是\(n\)階方陣\(A\)的兩個不同的特征值，\(\xi_1\)，\(\xi_2\)分別是\(\lambda_1\)，\(\lambda_2\)對應(yīng)的特征向量，證明：\(\xi_1+\xi_2\)不是\(A\)的特征向量。答案詳解一、選擇題1.根據(jù)行列式的性質(zhì)：若\(A\)為\(n\)階方陣，\(k\)為常數(shù)，則\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)。已知\(\vertA\vert=2\)，那么\(\vert-2A\vert=(-2)^n\vertA\vert=(-2)^n\times2=(-2)^{n+1}\)，所以答案是D。2.設(shè)\(\beta=x\alpha_1+y\alpha_2+z\alpha_3\)，即\(\begin{cases}x+z=2\\x+y=0\\y+z=0\end{cases}\)，解這個方程組：由\(x+y=0\)得\(x=-y\)，代入\(x+z=2\)得\(-y+z=2\)，與\(y+z=0\)聯(lián)立，兩式相加得\(2z=2\)，解得\(z=1\)，則\(y=-1\)，\(x=1\)。所以\(\beta=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3\)，答案是B。3.已知\(A^2-A-2E=O\)，變形為\((A-2E)(A+E)=0\)，進(jìn)一步可得\((A-2E)\left[-\frac{1}{1}(A+E)\right]=E\)，根據(jù)逆矩陣的定義，\((A-2E)^{-1}=-(A+E)\)，答案是C。4.因?yàn)閈(AB\)是\(m\timesm\)矩陣，\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\leq\min\{m,n\}\)。當(dāng)\(m\gtn\)時，\(r(AB)\leqn\ltm\)，根據(jù)齊次線性方程組\(AX=0\)有非零解的充要條件是\(r(A)\ltn\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），所以\((AB)X=0\)必有非零解，答案是D。5.實(shí)對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交。設(shè)\(\lambda_3\)對應(yīng)的特征向量為\(\alpha=(x,y,z)^T\)，則\(\begin{cases}\alpha^T\alpha_1=x-y+z=0\\\alpha^T\alpha_2=x+y=0\end{cases}\)，令\(x=1\)，由\(x+y=0\)得\(y=-1\)，代入\(x-y+z=0\)得\(1+1+z=0\)，解得\(z=-2\)，所以\(\lambda_3\)對應(yīng)的特征向量可以是\((1,-1,-2)^T\)，答案是A。二、填空題1.計(jì)算行列式\(\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=(a+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=(a+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{vmatrix}=(a+2)(a-1)^2\)。令\((a+2)(a-1)^2=0\)，解得\(a=-2\)或\(a=1\)。2.\(AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)\(BA=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\times1+6\times3&5\times2+6\times4\\7\times1+8\times3&7\times2+8\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}23&34\\31&46\end{pmatrix}\)則\(AB-BA=\begin{pmatrix}19-23&22-34\\43-31&50-46\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&-12\\12&4\end{pmatrix}\)。3.因?yàn)閈(\alpha_2=2\alpha_1\)，\(\alpha_3=3\alpha_1\)，所以向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的秩為\(1\)。4.已知\(A\)的特征值為\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=2\)，\(\lambda_3=3\)，設(shè)\(f(A)=A^2-2A+E\)，則\(f(A)\)的特征值為\(f(\lambda_i)\)。\(f(\lambda_1)=1^2-2\times1+1=0\)，\(f(\lambda_2)=2^2-2\times2+1=1\)，\(f(\lambda_3)=3^2-2\times3+1=4\)。根據(jù)方陣的行列式等于其所有特征值的乘積，\(\vertA^2-2A+E\vert=0\times1\times4=0\)。5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_2x_3\)的矩陣為\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&2\\0&2&3\end{pmatrix}\)。三、計(jì)算題1.計(jì)算行列式\(D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{vmatrix}\)，將各列都加到第一列得：\(D=\begin{vmatrix}10&2&3&4\\10&3&4&1\\10&4&1&2\\10&1&2&3\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&2&3&4\\1&3&4&1\\1&4&1&2\\1&1&2&3\end{vmatrix}\)再將第一行乘以\(-1\)加到其余各行得：\(D=10\begin{vmatrix}1&2&3&4\\0&1&1&-3\\0&2&-2&-2\\0&-1&-1&-1\end{vmatrix}=10\begin{vmatrix}1&2&3&4\\0&1&1&-3\\0&0&-4&4\\0&0&0&-4\end{vmatrix}=10\times1\times1\times(-4)\times(-4)=160\)。2.求\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}\)的逆矩陣，先求\(\vertA\vert\)：\(\vertA\vert=1\times\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&1\\3&3\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}2&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times(6-4)-2\times(6-3)+3\times(8-6)=2-6+6=2\)。求伴隨矩陣\(A^\)：\(A_{11}=\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}=2\)，\(A_{12}=-\begin{vmatrix}2&1\\3&3\end{vmatrix}=-3\)，\(A_{13}=\begin{vmatrix}2&2\\3&4\end{vmatrix}=2\)；\(A_{21}=-\begin{vmatrix}2&3\\4&3\end{vmatrix}=6\)，\(A_{22}=\begin{vmatrix}1&3\\3&3\end{vmatrix}=-6\)，\(A_{23}=-\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=2\)；\(A_{31}=\begin{vmatrix}2&3\\2&1\end{vmatrix}=-4\)，\(A_{32}=-\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}=5\)，\(A_{33}=\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}=-2\)。\(A^=\begin{pmatrix}2&6&-4\\-3&-6&5\\2&2&-2\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\begin{pmatrix}1&3&-2\\-\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\1&1&-1\end{pmatrix}\)。3.對矩陣\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&0&3&1\\-1&3&0&-1\\2&1&7&2\\4&2&14&0\end{pmatrix}\)進(jìn)行初等行變換：\(A\sim\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&3&3&0\\0&1&1&0\\0&2&2&-4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-4\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&3&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)。所以\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)是一個極大線性無關(guān)組，\(\alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2+0\alpha_4\)。4.對增廣矩陣\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&-3&-1&1\\3&-1&-3&4&4\\1&5&-9&-8&0\end{pmatrix}\)進(jìn)行初等行變換：\(\overline{A}\sim\begin{pmatrix}1&1&-3&-1&1\\0&-4&6&7&1\\0&4&-6&-7&-1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&-3&-1&1\\0&-4&6&7&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&-\frac{3}{2}&\frac{3}{4}&\frac{5}{4}\\0&1&-\frac{3}{2}&-\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\)。令\(x_3=c_1\)，\(x_4=c_2\)，則\(x_1=\frac{3}{2}c_1-\frac{3}{4}c_2+\frac{5}{4}\)，\(x_2=\frac{3}{2}c_1+\frac{7}{4}c_2-\frac{1}{4}\)，通解為\(X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\\1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}-\frac{3}{4}\\\frac{7}{4}\\0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{5}{4}\\-\frac{1}{4}\\0\\0\end{pmatrix}\)，\(c_1,c_2\inR\)。5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3\)的矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&2\\0&2&3\end{pmatrix}\)。求\(A\)的特征值：\(\vert\lambdaE-A\vert=\begin{vmatrix}\lambda-2&0&0\\0&\lambda-3&-2\\0&-2&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-2)[(\lambda-3)^2-4]=(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-5)=0\)，特征值為\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=2\)，\(\lambda_3=5\)。當(dāng)\(\lambda_1=1\)時，解\((E-A)X=0\)，\(E-A=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-2&-2\\0&-2&-2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\)，特征向量\(\xi_1=(0,1,-1)^T\)，單位化得\(p_1=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})^T\)。當(dāng)\(\lambda_2=2\)時，解\((2E-A)X=0\)，\(2E-A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&-2\\0&-2&-1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，特征向量\(\xi_2=(1,0,0)^T\)，單位化得\(p_2=(1,0,0)^T\)。當(dāng)\(\lambda_3=5\)時，解\((5E-A)X=0\)，\(5E-A=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&-2\\0&-2&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\)，特征向量\(\xi_3=(0,1,1)^T\)，單位化得\(