第1頁（共1頁）2025年重慶市九龍坡區(qū)高考數(shù)學(xué)三調(diào)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1．已知復(fù)數(shù)，，則A． B． C． D．2．若直線與圓相切，則實數(shù)的值為A． B． C． D．3．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是A．， B． C．， D．4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且（2）（1），則A． B． C． D．5．如圖，矩形中，，，將△沿翻折，得到三棱錐是在翻折后的對應(yīng)點），則三棱錐體積的最大值為A． B． C．8 D．166．已知拋物線的焦點為，準線為，為上位于第一象限的點，垂直于點，△為等邊三角形，過的中點作直線，交軸于點，則直線的方程為A． B． C． D．7．“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個數(shù)字相乘時，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字中任選4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700的偶數(shù)個數(shù)是A．66 B．75 C．78 D．908．在△中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，，，，則線段長度的最小值為A．2 B． C．3 D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）某班在一次模擬測試后，隨機抽取9名學(xué)生的成績作為樣本，這9名學(xué)生的成績分別為66，70，75，78，80，82，85，90，94，則下列說法正確的是A．估計這次該班的測試成績的平均分為80 B．樣本的平均數(shù)和中位數(shù)相同 C．從樣本中任取兩人的成績，這兩人的成績均大于平均分的概率為 D．當(dāng)樣本中加入80形成新樣本時，新樣本的方差比原樣本的方差小（多選）10．（6分）已知函數(shù)，則A．為的一個周期 B．的圖象關(guān)于點對稱 C．在上單調(diào)遞增 D．的值域為（多選）11．（6分）在平面直角坐標系中，點是橢圓的左焦點，，分別是的左、右頂點，直線與橢圓相交于，兩點，則A．若直線經(jīng)過點，則的最小值為1 B．若線段的中點坐標為，則直線的斜率為 C．若直線經(jīng)過坐標原點，則 D．若點在橢圓上（點與，不重合），且，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，，則．13．設(shè)，已知，，則．14．甲同學(xué)有3本故事書和1本科普書，乙同學(xué)有1本故事書和3本科普書，若甲、乙兩位同學(xué)各取出，2，本書進行交換，記交換后甲同學(xué)有故事書的本數(shù)為，的均值為，則．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)有兩個不同的零點，，求的取值范圍．16．（15分）在科技飛速發(fā)展的今天，人工智能領(lǐng)域迎來革命性的突破，各種的人工智能大模型擁有強大的解決問題的能力．某機構(gòu)分別用，兩種人工智能大模型進行對比研究，檢驗這兩種大模型在答題時哪種更可靠，從某知識領(lǐng)域隨機選取180個問題進行分組回答，其中人工智能大模型回答100個問題，有91個正確；人工智能大模型回答剩下的80個問題，有65個正確．（1）完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為人工智能大模型的選擇與回答正確有關(guān)？回答正確回答錯誤合計人工智能大模型人工智能大模型合計（Ⅱ）將頻率視為概率，用人工智能大模型隨機回答該知識領(lǐng)域的道題目，且各題回答正確與否，相互之間沒有影響．記其中恰有2個問題回答錯誤的概率為，求取得最大值時的值．參考公式及參考數(shù)據(jù)：，．0.150.100.050.0102.0722.7063.8416.63517．（15分）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點，分別在棱，上．（Ⅰ）若是的中點，證明：；（Ⅱ）若，平面，求二面角的余弦值．18．（17分）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，關(guān)于雙曲線的一條漸近線的對稱點在上．（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）若，雙曲線的左、右頂點分別為，，過左頂點作實軸的垂線交漸近線于點，過作直線分別交雙曲線的左、右兩支于，兩點，直線，分別交于，兩點．證明：四邊形為平行四邊形．19．（17分）已知數(shù)列的前項和為，，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若無窮的非常數(shù)數(shù)列同時滿足兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，，在中都存在一項，使得；②對于中任意一項，在中都存在兩項，，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列．（1）判斷數(shù)列是否為數(shù)列，并說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列且為單調(diào)遞增數(shù)列，證明：數(shù)列是等差數(shù)列．

2025年重慶市九龍坡區(qū)高考數(shù)學(xué)三調(diào)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CBADCCBD二．多選題（共3小題）題號91011答案ABDABCACD一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1．已知復(fù)數(shù)，，則A． B． C． D．解：由復(fù)數(shù)，，得，則．故選：．2．若直線與圓相切，則實數(shù)的值為A． B． C． D．解：根據(jù)題意，圓可化為，圓心為，半徑．若直線與圓相切，則點到直線的距離，即，化簡得，解得．故選：．3．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是A．， B． C．， D．解：由題意可知，，又因為，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是，．故選：．4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且（2）（1），則A． B． C． D．解：根據(jù)題意，當(dāng)時，，令，有（2）（1），又由（2）（1），解可得（1），則有（1），解可得，又由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．故選：．5．如圖，矩形中，，，將△沿翻折，得到三棱錐是在翻折后的對應(yīng)點），則三棱錐體積的最大值為A． B． C．8 D．16解：由題意知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，此時三棱錐的高為，所以三棱錐體積的最大值為．故選：．6．已知拋物線的焦點為，準線為，為上位于第一象限的點，垂直于點，△為等邊三角形，過的中點作直線，交軸于點，則直線的方程為A． B． C． D．解：設(shè)拋物線的準線與軸的焦點為，此時，因為拋物線的焦點，△為等邊三角形，所以軸，所以，因為，所以，，所以，此時，，，，所以，，因為，所以，的傾斜角為，所以，可得直線的方程為，即．故選：．7．“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個數(shù)字相乘時，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字中任選4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700的偶數(shù)個數(shù)是A．66 B．75 C．78 D．90解：根據(jù)題意，當(dāng)千位數(shù)字是5，則百位若是7，個位有3種選擇，十位有3種選擇，共有9種情況；若百位是8，則個位有2種選擇，十位有3種選擇，共有6種情況；當(dāng)千位是7，則個位有3種選擇，百位有4種，十位有3種選擇，共有36種情況；當(dāng)千位是8，則個位有2種選擇，百位有4種，十位有3種選擇，共有24種情況；則共有種選擇．故選：．8．在△中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，，，，則線段長度的最小值為A．2 B． C．3 D．解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，，．由，，兩邊平方，得即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即，線段長度的最小值為．故選：．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）某班在一次模擬測試后，隨機抽取9名學(xué)生的成績作為樣本，這9名學(xué)生的成績分別為66，70，75，78，80，82，85，90，94，則下列說法正確的是A．估計這次該班的測試成績的平均分為80 B．樣本的平均數(shù)和中位數(shù)相同 C．從樣本中任取兩人的成績，這兩人的成績均大于平均分的概率為 D．當(dāng)樣本中加入80形成新樣本時，新樣本的方差比原樣本的方差小解：對于，這9名學(xué)生的成績的平均數(shù)為，用樣本估計總體，估計這次該班的測試成績的平均分為80分，故正確；對于，這9名學(xué)生的成績的中位數(shù)為80，所以樣本的平均數(shù)和中位數(shù)相同，故正確；對于，9名學(xué)生中成績均大于平均分的有4名，所以從樣本中任取兩人的成績，這兩人的成績均大于平均分的概率為，故錯誤；對于，設(shè)原樣本的方差為，樣本中加入80形成新樣本時，平均數(shù)不變，還是80，則新樣本的方差為，所以新樣本的方差比原樣本的方差小，故正確．故選：．（多選）10．（6分）已知函數(shù)，則A．為的一個周期 B．的圖象關(guān)于點對稱 C．在上單調(diào)遞增 D．的值域為解：對于，，可知是的一個周期，項正確；對于，，可知的圖象關(guān)于點對稱，項正確；對于，由，化簡得，求導(dǎo)數(shù)得，當(dāng)，時，，，可得，，所以在，上成立，可知在上單調(diào)遞增，項正確；對于，由，可知的值域不可能是，，故項不正確．故選：．（多選）11．（6分）在平面直角坐標系中，點是橢圓的左焦點，，分別是的左、右頂點，直線與橢圓相交于，兩點，則A．若直線經(jīng)過點，則的最小值為1 B．若線段的中點坐標為，則直線的斜率為 C．若直線經(jīng)過坐標原點，則 D．若點在橢圓上（點與，不重合），且，則解：對于，若直線經(jīng)過點，則當(dāng)軸時，最小，最小值為，故正確；對于，設(shè)，，，，則由，得，因為線段的中點坐標為，所以，所以直線的斜率，故錯誤；對于，若直線經(jīng)過坐標原點，則四邊形為平行四邊形，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故正確；對于，不妨設(shè)點在第一象限，坐標為，，則，所以，，由二倍角的正切公式得，，整理得①，將①與橢圓方程聯(lián)立，解得，則，，所以，故正確．故選：．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，，則．解：因為，，所以，，所以．故答案為：．13．設(shè)，已知，，則．解：設(shè)，已知，則，由，所以，故，由，所以，故．故答案為：．14．甲同學(xué)有3本故事書和1本科普書，乙同學(xué)有1本故事書和3本科普書，若甲、乙兩位同學(xué)各取出，2，本書進行交換，記交換后甲同學(xué)有故事書的本數(shù)為，的均值為，則4．解：當(dāng)時，的取值可能是2，3，4，且，，，則，當(dāng)時，的取值可能是0，1，2，且，，，則．故．故答案為：4．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)有兩個不同的零點，，求的取值范圍．解：（Ⅰ）由已知得，，定義域為，，由得，或2，，或，所以的極小值為（1），極大值為（2）；（Ⅱ）由已知得，該函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)顯然為增函數(shù)，①當(dāng)時，，顯然（1），有唯一零點；②當(dāng)，即時，，為減函數(shù)，此時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時有唯一零點；③當(dāng)，即時，由得，，在上遞減，，在，上遞增，所以，易知，當(dāng)或時，都有，所以，當(dāng)，即時，有兩個零點；當(dāng)，即，只有一個零點；當(dāng)時，即，沒有零點；綜上可知：當(dāng)時，有兩個零點．16．（15分）在科技飛速發(fā)展的今天，人工智能領(lǐng)域迎來革命性的突破，各種的人工智能大模型擁有強大的解決問題的能力．某機構(gòu)分別用，兩種人工智能大模型進行對比研究，檢驗這兩種大模型在答題時哪種更可靠，從某知識領(lǐng)域隨機選取180個問題進行分組回答，其中人工智能大模型回答100個問題，有91個正確；人工智能大模型回答剩下的80個問題，有65個正確．（1）完成下列列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為人工智能大模型的選擇與回答正確有關(guān)？回答正確回答錯誤合計人工智能大模型人工智能大模型合計（Ⅱ）將頻率視為概率，用人工智能大模型隨機回答該知識領(lǐng)域的道題目，且各題回答正確與否，相互之間沒有影響．記其中恰有2個問題回答錯誤的概率為，求取得最大值時的值．參考公式及參考數(shù)據(jù)：，．0.150.100.050.0102.0722.7063.8416.635解：（Ⅰ）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表如下：回答正確回答錯誤合計人工智能大模型919100人工智能大模型651580合計15624180零假設(shè)：人工智能大模型的選擇與回答正確無關(guān)，則，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為人工智能大模型的選擇與回答正確有關(guān)；（Ⅱ）將頻率視為概率，用人工智能大模型隨機回答該知識領(lǐng)域的1道題目，答對的概率為，答錯的概率為，則，假設(shè)時，取得最大值，則，解得，又因為，所以，即取得最大值時的值為22．17．（15分）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點，分別在棱，上．（Ⅰ）若是的中點，證明：；（Ⅱ）若，平面，求二面角的余弦值．解：（Ⅰ）證明：以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，4，，，2，，設(shè)，，，其中，，若是的中點，則，3，，，，，，于是，，即．（Ⅱ）因為，而，所以，即，，，由（Ⅰ）知，設(shè)，，，則，又因為平面，且平面的法向量為，所以，即，解得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，，所以，易知平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖知為銳角，所以．18．（17分）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，關(guān)于雙曲線的一條漸近線的