第10章概率10.1隨機(jī)事件與概率數(shù)學(xué)必修第二冊（人教A版）10.1.3古典概型導(dǎo)入新課試驗(yàn)要求:(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數(shù),要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成20次.(2)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,分別記錄“1點(diǎn)”“2點(diǎn)”“3點(diǎn)”“4點(diǎn)”“5點(diǎn)”和“6點(diǎn)”的次數(shù),要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成60次.問題：1.這兩個(gè)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果分別有幾個(gè)?2.結(jié)果之間都有什么關(guān)系?出現(xiàn)的頻率分別是多少?估算出現(xiàn)的概率分別是多少?精彩課堂1.古典概型的定義試驗(yàn)結(jié)果:問題1拋擲兩枚硬幣,“至少一枚正面朝上”是樣本點(diǎn)嗎?不是.拋擲兩枚硬幣,“至少一枚正面朝上”包括一枚正面朝上、兩枚正面朝上,所以不是樣本點(diǎn).精彩課堂問題2在10.1.1節(jié)中,討論過彩票搖號試驗(yàn)、拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)及擲一枚質(zhì)地均勻骰子的試驗(yàn).它們的共同特征有哪些?(1)有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);(2)等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.精彩課堂概率的定義:對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率,事件A

的概率用P(A)表示.古典概型的特征及定義:①有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);②等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.精彩課堂思考1若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè),則該試驗(yàn)是古典概型嗎?為什么?不一定是.還要看每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是否相等,若相等,則是古典概型,否則不是.思考2擲一枚不均勻的骰子,求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率,這個(gè)概率模型是古典概型嗎?不是.因?yàn)轺蛔硬痪鶆?所以每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性不相等.精彩課堂思考3從所有整數(shù)中任取一個(gè)數(shù)的試驗(yàn)中“抽取一個(gè)整數(shù)”,則該試驗(yàn)是古典概型嗎?不是古典概型.因?yàn)檫@個(gè)試驗(yàn)有無數(shù)個(gè)樣本點(diǎn),不滿足樣本點(diǎn)的有限性.精彩課堂2.古典概型的計(jì)算問題3考慮下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),如何度量事件A和事件B發(fā)生的可能性大小?(1)一個(gè)班級中有18名男生、22名女生.采用抽簽的方式,從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生,事件A=“抽到男生”;(2)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次,事件B=“恰好一次正面朝上”.精彩課堂

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精彩課堂【誤區(qū)警示】在使用古典概型的概率公式時(shí),應(yīng)該注意:(1)要先判斷該概率模型是不是古典概型;(2)要找出隨機(jī)事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)和試驗(yàn)樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).精彩課堂3.典型例題例1單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生有一題不會做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，答對的概率是多少?解：試驗(yàn)有選A、選B、選C、選D共4種可能結(jié)果，試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={A,B,C,D}.考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，表明每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，所以這是一個(gè)古典概型.設(shè)M=“選中正確答案”,因?yàn)檎_答案是唯一的，所以n(M)=1.所以，考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，答對的概率P(M)=1/4精彩課堂例2拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為I號和Ⅱ號),觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；(2)求下列事件的概率：A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”;B=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”;C=“I號骰子的點(diǎn)數(shù)大于Ⅱ號骰子的點(diǎn)數(shù)”.解：(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，I號骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與Ⅱ號骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對，組成擲兩枚骰子試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果.用數(shù)字m表示I號骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是m,數(shù)字n表示Ⅱ號骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是n,則數(shù)組(m,n)表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn).因此該試驗(yàn)的樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36個(gè)樣本點(diǎn).由于骰子的質(zhì)地均勻，所以各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，因此這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.精彩課堂思考1在上述例題中,為什么要把兩枚骰子標(biāo)上記號?你能解釋其中原因嗎?如果不給兩枚骰子標(biāo)記號,則不能區(qū)分所拋擲出的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)分別屬于哪枚骰子,如拋擲出的結(jié)果是1點(diǎn)和2點(diǎn),有可能第一枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn),也有可能第二枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn).這樣,(1,2)和(2,1)的結(jié)果將無法區(qū)別.精彩課堂思考2如果不給兩枚骰子標(biāo)記號,那么會出現(xiàn)什么情況?你能解釋其中的原因嗎?

精彩課堂思考3同一個(gè)事件的概率,為什么會出現(xiàn)兩個(gè)不同的結(jié)果呢?

精彩課堂【總結(jié)】求解古典概型問題的一般思路:(1)明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果,用適當(dāng)?shù)姆?字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗(yàn)的可能結(jié)果(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果);(2)根據(jù)實(shí)際問題情境判斷樣本點(diǎn)的等可能性;(3)計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),求出事件A的概率.精彩課堂例3袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到紅球”;(2)B=“第二次摸到紅球”;(3)AB=“兩次都摸到紅球”.解：將兩個(gè)紅球編號為1,2,三個(gè)黃球編號為3,4,5.第一次摸球時(shí)有5種等可能的結(jié)果，對應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，第二次摸球時(shí)都有4種等可能的結(jié)果.將兩次摸球的結(jié)果配對，組成20種等可能的結(jié)果，如下表.精彩課堂(1)第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種(表中第1,2行),即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以P(A)=20=5(2)第二次摸到紅球的可能結(jié)果也有8種(表中第1,2列),即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)),所以P(B)=20=5(3)事件AB包含2個(gè)可能結(jié)果，即AB={(1,2),(2,1)},所以P(AB)=2010精彩課堂【總結(jié)】樣本點(diǎn)的探求方法:(1)枚舉法:把試驗(yàn)的全部結(jié)果一一列舉出來.此方法適合于較為簡單的試驗(yàn)問題.(2)列表法:用表格的形式將試驗(yàn)結(jié)果列出來,通常用來解決試驗(yàn)中包含兩個(gè)元素,且所有可能結(jié)果的數(shù)量不是很多的問題.這種方法準(zhǔn)確、全面、不易遺漏.(3)樹狀圖法:是使用樹狀結(jié)構(gòu)圖把樣本點(diǎn)列舉出來的一種方法,便于分析樣本點(diǎn)間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,對于較復(fù)雜的問題,它可以作為一種分析問題的主要手段.樹狀圖法適用于較復(fù)雜的試驗(yàn)問題.精彩課堂例4從兩名男生(記為B?和B?)、兩名女生(記為G?和G?)中任意抽取兩人，(1)分別寫出有放回簡單隨機(jī)抽樣、不放回簡單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層隨機(jī)抽樣的樣本空間；(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.解：設(shè)第一次抽取的人記為x?,第二次抽取的人記為x?,則可用數(shù)組(x?,x2)表示樣本點(diǎn).(1)根據(jù)相應(yīng)的抽樣方法可知：有放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間Ω?={(B?,B?),(B?,B?),(B?,G?),(B?,G?),(B?,B?),(B?,B?),(B?,G?),(B2,G?),(G?,B?),(G?,B?),(G?,G?),(G?,G2),(G?,B?),(G?,B?),(G?,G?),(G?,G?)}.不放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本空間為Ω2={(B?,B?),(B?,G?),(B?,G?),(B?,B?),(B?,G?),(B?,G?),(G?,B?),(G?,B?),(G?,G?),(G?,B?),(G?,B?),(G?,G?)}.按性別等比例分層隨機(jī)抽樣，先從男生中抽一人，再從女生中抽一人，其樣本空間Ω?={(B?,G?),(B?,G?),(B?,G?),(B?,G?)}.精彩課堂(2)設(shè)事件A=“抽到兩名男生”,則對于有放回簡單隨機(jī)抽樣A={(B?,B?),(B?,B?),(B2,B?),(B?,B?)}.因?yàn)槌橹袠颖究臻gΩ1中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.因此P(A)=4=4對于不放回簡單隨機(jī)抽樣，A={(B?,B?),(B?,B?)}.因?yàn)槌橹袠颖究臻gΩ2中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一個(gè)古典概型.因此P(A)==6因?yàn)榘葱詣e等比例分層隨機(jī)抽樣，不可能抽到兩名男生，所以A=,因此P(A)=0.精彩課堂通過上面例題,你覺得對于不同的抽樣方法,某個(gè)事件發(fā)生的概率有什么區(qū)別?同一個(gè)事件A=“抽到兩名男生”發(fā)生的概率,在按性別等比例分層隨機(jī)抽樣時(shí)最小,在不放回簡單隨機(jī)抽樣時(shí)次之,在有放回簡單隨機(jī)抽樣時(shí)最大.因此,抽樣方法不同,則樣本空間不同,某個(gè)事件發(fā)生的概率也可能不同.課堂總結(jié)回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容,并回答下列問題:(1)古典概型