人教版9年級數(shù)學上冊《概率初步》難點解析考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題30分）一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）1、妙妙上學經過兩個路口，如果每個路口可直接通過和需等待的可能性相等，那么妙妙上學時在這兩個路口都直接通過的概率是（

）A． B． C． D．2、某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪制了如表的表格，則符合這一結果的實驗最有可能的是（

）實驗次數(shù)10020030050080010002000頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333A．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C．拋一個質地均勻的正六面體骰子（六個面上分別標1，2，3，4，5，6），向上的面點數(shù)是5D．從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球3、如圖，在2×2的正方形網格中有9個格點，已經取定點A和B，在余下的點中任取一點C，使△ABC為直角三角形的概率是（

）A． B． C． D．4、下列事件中，是必然事件的是（）A．曉麗乘12路公交車去上學，到達公共汽車站時，12路公交車正在駛來B．買一張電彩票，座位號是偶數(shù)號C．在同一年出生的13名學生中，至少有2人出生在同一個月D．在標準大氣壓下，溫度低于0℃時才融化5、如圖在三條橫線和三條豎線組成的圖形中，任選兩條橫線和兩條豎線都可以圖成一個矩形，從這些矩形中任選一個，則所選矩形含點A的概率是（

）A． B． C． D．6、從下列一組數(shù)﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中隨機抽取一個數(shù)，這個數(shù)是負數(shù)的概率為（）A． B． C． D．7、平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，給出的四個條件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，從所給的四個條件中任選兩個，能判定平行四邊形ABCD是正方形的概率是（

）A． B． C． D．8、一個不透明的袋中裝有8個黃球，個紅球，個白球，每個球除顏色外都相同．任意摸出一個球，是黃球的概率與不是黃球的概率相同，下列與的關系一定正確的是（

）A． B． C． D．9、下列事件中，屬于不可能事件的是()A．某投籃高手投籃一次就進球B．打開電視機，正在播放世界杯足球比賽C．擲一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不大于6D．在1個標準大氣壓下，90℃的水會沸騰10、在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題70分）二、填空題（10小題，每小題4分，共計40分）1、五張背面完全相同的卡片上分別寫有、、－31、、0.101001001…（相鄰兩個1間依次多1個0）五個實數(shù)，如果將卡片字面朝下隨意放在桌子上，任意取一張，抽到有理數(shù)的概率是______．2、一個小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機地停留在某塊方磚上，則小球停留在黑色區(qū)域的概率是_________________．3、如圖，一個小球從A點沿軌道下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種機會相等的結果，小球最終到達H點的概率是____．4、如果任意選擇一對有序整數(shù)(m，n)，其中|m|≤1，|n|≤3，每一對這樣的有序整數(shù)被選擇的可能性是相等的，那么關于x的方程x2＋nx＋m＝0有兩個相等實數(shù)根的概率是______．5、小明在2022北京冬奧會知識競賽中，獲得一次游戲抽獎機會，規(guī)則為：隨機擲兩枚骰子，骰子朝上的數(shù)字和是幾，就將棋子前進幾格，并獲得相應格子中的獎品．現(xiàn)在棋子在“起點”處，小明隨機擲兩枚骰子一次，他獲得吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”的概率是________________．6、貴陽市2021年中考物理實驗操作技能測試中，要求學生兩人一組合作進行，并隨機抽簽決定分組．有甲、乙、丙、丁四位同學參加測試，則甲、乙兩位同學分到同一組的概率是___________．7、漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶.如圖所示的弦圖中，四個直角三角形都是全等的，它們的兩直角邊之比均為，現(xiàn)隨機向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為__________.8、如圖，在3×3的正方形網格中，已有兩個小正方形被涂黑，在從圖中剩余的7個小正方形中任選一個涂黑，則圖案是軸對稱圖形的概率是_____．9、一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上．每塊地磚的大小、質地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是___________．10、七巧板是我國古代勞動人民的一項發(fā)明，被譽為“東方魔板”，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形組成．小虹同學利用七巧板拼成的正方形做“滾小球游戲”，小球可以在拼成的正方形上自由地滾動，并隨機地停留在某塊板上，如圖所示，那么小球最終停留在陰影區(qū)域上的概率是______．三、解答題（5小題，每小題6分，共計30分）1、“共和國勛章”獲得者鐘南山院士說：按照疫苗保護率達到70%計算，中國的新冠疫苗覆蓋率需要達到近80%，才有可能形成群體免疫，本著自愿的原則，18至60周歲符合身體條件的中國公民均可免費接種新冠疫苗．居民甲、乙準備接種疫苗，其居住地及工作單位附近有兩個大型醫(yī)院和兩個社區(qū)衛(wèi)生服務中心均可免費接種疫苗，提供疫苗種類如下表：接種地點疫苗種類醫(yī)院A新冠病毒滅活疫苗B重組新冠病毒疫苗（CHO細胞）社區(qū)衛(wèi)生服務中心C新冠病毒滅活疫苗D重組新冠病毒疫苗（CHO細胞）若居民甲、乙均在A、B、C、D中隨機獨立選取一個接種點接種疫苗，且選擇每個接種點的機會均等（提示：用A、B、C、D表示選取結果）（1）求居民甲接種的是新冠病毒滅活疫苗的概率；（2）請用列表或畫樹狀圖的方法求居民甲、乙接種的是相同種類疫苗的概率．2、生活在數(shù)字時代的我們，很多場合用二維碼（如圖）來表示不同的信息，類似地，可通過在矩形網格中，對每一個小方格涂加色或不涂色所得的圖形來表示不同的信息，例如：網格中只有一個小方格，如圖，通過涂器色或不涂色可表示兩個不同的信息．（1）用樹狀圖或列表格的方法，求圖可表示不同信息的總個數(shù)：（圖中標號表示兩個不同位置的小方格，下同）（2）圖為的網格圖．它可表示不同信息的總個數(shù)為；（3）某校需要給每位師生制作一張“校園出入證”，準備在證件的右下角采用的網格圖來表示各人身份信息，若該校師生共人，則的最小值為；3、2021年9月7日，湖南永州郡祁學校的一則視頻引發(fā)熱議，視頻顯示，為教育中學生不要浪費糧食，該校高中部校長王立新站在垃圾桶邊當眾吃光學生剩飯剩菜．這一舉動在全國掀起了校園“光盤行動”．某校為了讓該校學生理解這次活動的重要性，校政教處在某天午餐后，隨機調查部分同學就餐飯菜的剩余情況，并將結果統(tǒng)計后繪制成了如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖．(1)這次被調查的同學共有名；(2)把條形統(tǒng)計圖補充完整；(3)若政教處準備從九（2）班就餐光盤的2男1女三名學生中隨機抽取兩人進行菜品調研，問恰巧抽到1男1女的概率為多少？4、某醫(yī)院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，其中甲是共青團員，其余3人均是共產黨員．醫(yī)院決定用隨機抽取的方式確定人選．(1)“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；A．不可能

B．必然

C．隨機(2)若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護士都是共產黨員的概率．5、如圖，現(xiàn)有一個可以自由轉動的圓形轉盤，被分成6個面積相等的扇形區(qū)域，指針的位置固定．轉盤游戲規(guī)則如下：花費5元可以隨意轉動一次轉盤，當轉盤停止時，指針指向哪個區(qū)域，就按照這個區(qū)域所示的數(shù)字相應地順時針跳幾格，然后按照如表格所示的說明確定獎金數(shù)額．例如，當指針指向區(qū)域“2”時，就向前跳兩格到區(qū)域“4”．按獎金說明，區(qū)域“4”所示的獎金為5元，就可得獎金5元．區(qū)域123456獎金3元1元20元5元10元2元(1)在一次轉盤游戲中，求獲得2元獎金的概率；(2)請你用概率知識判斷這個轉盤游戲是否公平？若不公平，請改變轉盤每個區(qū)域對應的獎金數(shù)額，使其公平．-參考答案-一、單選題1、A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出樹形圖，求出在這兩個路口都直接通過的概率為即可求解．【詳解】解：由題意畫樹形圖得，由樹形圖得共有4種等可能性，其中在這兩個路口都直接通過的概率是P=．故選：A【考點】本題考查了列表或畫樹形圖求概率，理解題意，正確列表或畫樹形圖得到所有等可能的結果是解題關鍵．2、D【解析】【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到實驗的概率在0.33左右，再分別計算出四個選項中的概率，再進行判斷．【詳解】A、拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率是，不符合題意；B、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是，不符合題意；C、拋一個質地均勻的正六面體骰子（六個面上分別標1，2，3，4，5，6），向上的面點數(shù)是5的概率是，不符合題意；D、從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率是，符合題意，故選：D．【考點】此題考查頻率估計概率，計算簡單事件的概率，正確理解題意計算出各事件的概率是解題的關鍵．3、C【解析】【分析】找到可以組成直角三角形的點，根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：如圖，，，，均可與點和組成直角三角形．，故選：C．【考點】本題考查了概率公式，解題的關鍵是掌握如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結果，那么事件的概率（A）．4、C【解析】【分析】根據(jù)必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件進行分析即可．【詳解】A.曉麗乘12路公交車去上學，到達公共汽車站時，12路公交車正在駛來，屬于隨機事件，故A不符合題意；B.買一張電影票，座位號是偶數(shù)號，屬于隨機事件，故B不符合題意；C.在同一年出生的13名學生中，至少有2人出生在同一個月，屬于必然事件，故C符合題意；D.在標準大氣壓下，溫度低于0℃時冰熔化，屬于不可能事件，故D不符合題意．故選：C．【考點】本題主要考查的是對必然事件的概念的理解，必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件不可能事件是指一定不會發(fā)生的事件．5、D【解析】【分析】根據(jù)題意兩條橫線和兩條豎線都可以組成矩形個數(shù)，再得出含點A矩形個數(shù)，進而利用概率公式求出即可．【詳解】解：兩條橫線和兩條豎線都可以組成一個矩形，則如圖的三條橫線和三條豎線組成可以9個矩形，其中含點A矩形4個，∴所選矩形含點A的概率是故選：D【考點】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6、B【解析】【分析】找出題目給的數(shù)中的負數(shù)，用負數(shù)的個數(shù)除以總的個數(shù)，求出概率即可．【詳解】∵數(shù)﹣2，π，﹣，﹣0.12，0，﹣中，一共有6個數(shù)，其中﹣2，﹣，﹣0.12，﹣為負數(shù)，有4個，∴這個數(shù)是負數(shù)的概率為，故答案選：B．【考點】本題考查負數(shù)的認識，概率計算公式，正確找出負數(shù)的個數(shù)是解答本題的關鍵．7、D【解析】【分析】先確定組合的總數(shù)，再確定能判定是正方形的組合數(shù)，根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】一共有①②，①③，①④，②③，②④；③④6種組合數(shù)，其中能判定四邊形是正方形有①②，①③，②④，③④4種組合數(shù)，所以能判定平行四邊形ABCD是正方形的概率是，故選D．【考點】本題考查了概率公式計算，熟練掌握正方形的判定是解題的關鍵．8、C【解析】【分析】先根據(jù)概率公式得出：任意摸出一個球，是黃球的概率與不是黃球的概率（用含m、n的代數(shù)式表示），然后由這兩個概率相同可得m與n的關系．【詳解】解：∵一個不透明的袋中裝有8個黃球，m個紅球，n個白球，∴任意摸出一個球，是黃球的概率為：，不是黃球的概率為：，∵是黃球的概率與不是黃球的概率相同，∴＝，∴m+n＝8．故選：C．【考點】此題考查了概率公式的應用，屬于基礎題型，解題時注意掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9、D【解析】【分析】不可能事件就是一定不會發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷．【詳解】A、是隨機事件，故A選項錯誤；B、是隨機事件，故B選項錯誤；C、是必然事件，故C選項錯誤；D、是不可能事件，故D選項正確．故選D．【考點】本題考查了不可能事件的定義，解題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．10、A【解析】【分析】根據(jù)概率公式計算，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是．故選：A【考點】本題考查了概率公式：熟練掌握隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解題的關鍵．二、填空題1、##0.4【解析】【分析】根據(jù)題意可知有理數(shù)有－31、，共2個，根據(jù)概率公式即可求解【詳解】解：在、、－31、、0.101001001…（相鄰兩個1間依次多1個0）五個實數(shù)中，－31、是有理數(shù)，∴任意取一張，抽到有理數(shù)的概率是故答案為：【考點】本題考查了實數(shù)的分類，根據(jù)概率公式求概率，理解題意是解題的關鍵．2、【解析】【分析】求出黑色方磚在整個地板中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結論．【詳解】解：由圖可知：黑色方磚有8個小三角形，每4個三角形是大正方形面積的∴黑色方磚在整個地板中所占的比值，∴小球最終停留在黑色區(qū)域的概率，故答案為：．【考點】本題主要考查了簡單的概率計算，解題的關鍵在于能夠準確找出黑色方磚面積與整個區(qū)域面積的關系.3、【解析】【分析】根據(jù)“在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等”可知在點B、C、D處都是等可能情況，從而得到在四個出口E、F、G、H也都是等可能情況，然后根據(jù)概率的意義列式即可得解．【詳解】由圖可知，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等，小球最終落出的點共有E、F、G、H四個，所以，最終從點H落出的概率為．故答案為：．【考點】本題考查了概率公式，讀懂題目信息，得出所給的圖形的對稱性以及可能性相等是解答本題的關鍵，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4、【解析】【分析】首先確定m、n的值，推出有序整數(shù)（m，n）共有：3×7=21（種），由方程x2+nx+m=0有兩個相等實數(shù)根，則需：△=n2-4m=0，有（0，0），（1，2），（1，-2）三種可能，由此即可解決問題.【詳解】解：m=0，±1，n=0，±1，±2，±3∴有序整數(shù)（m，n）共有：3×7=21（種），∵方程x2+nx+m=0有兩個相等實數(shù)根，則需：△=n2-4m=0，有（0，0），（1，2），（1，-2）三種可能，∴關于x的方程x2+nx+m=0有兩個相等實數(shù)根的概率是，故答案為．【考點】此題考查了概率、根的判別式以及根與系數(shù)的關系、絕對值不等式等知識，此題難度適中，注意掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5、【解析】【分析】通過列表法求出所有的結果數(shù)與滿足條件的結果數(shù)，再利用概率公式求解即可．【詳解】解：隨機擲兩枚骰子的結果如下表所示：1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）隨機擲兩枚骰子得到的數(shù)字之和的結果如下表所示：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由游戲規(guī)則可知，前進4步，可以得到“冰墩墩”；前進6步可以得到“雪容融”；由表格可知一共有36種結果，其中滿足條件的結果數(shù)為8；所以他獲得吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”的概率是；故答案為：．【考點】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率，解題的關鍵是能正確列出所有的結果，并求出符合條件的結果數(shù)，同時牢記概率公式．6、【解析】【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，甲、乙兩位同學分到同一組的結果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結果，甲、乙兩位同學分到同一組的結果有4種，∴甲、乙兩位同學分到同一組的概率為，故答案為：．【考點】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7、【解析】【詳解】分析：設勾為2k，則股為3k，弦為k，由此求出大正方形面積和陰影區(qū)域面積，由此能求出針尖落在陰影區(qū)域的概率．詳解：設勾為2k，則股為3k，弦為k，∴大正方形面積S=k×k=13k2，中間小正方形的面積S′=（3?2）k?（3?2）k=k2，故陰影部分的面積為：13k2-k2=12k2∴針尖落在陰影區(qū)域的概率為:．故答案為．點睛：此題主要考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．8、【解析】【分析】將空白部分小正方形分別涂黑，任意一個涂黑共7種情況，其中涂黑1，3，5，6，7有5種情況可使所得圖案是一個軸對稱圖形，利用概率公式求解即可．【詳解】解：如圖，將圖中剩余的編號為1至7的小正方形中任意一個涂黑共7種情況，其中涂黑1，3，5，6，7有5種情況可使所得圖案是一個軸對稱圖形，所以所得圖案是軸對稱圖形的概率是．故答案為：．【考點】本題考查了概率公式求簡單概率，設計軸對稱圖形，理解題意是解題的關鍵．9、【解析】【分析】先求出黑色方磚在整個地面中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結論．【詳解】解：∵由圖可知，黑色方磚6塊，共有16塊方磚，∴黑色方磚在整個區(qū)域中所占的比值=，∴小球停在黑色區(qū)域的概率是；故答案為：【考點】本題考查的是幾何概率，用到的知識點為：幾何概率=相應的面積與總面積之比．10、【解析】【分析】設大正方形的邊長為2，先求出陰影區(qū)域的面積，然后根據(jù)概率公式即可解題．【詳解】解：設大正方形的邊長為2，則GE=1，E到DC的距離d=陰影區(qū)域的面積為：大正方形的面積是：小球最終停留在陰影區(qū)域上的概率是：．【考點】本題考查幾何概率，掌握相關知識是解題關鍵．三、解答題1、（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用概率公式直接計算即可；（2）先列表求解所有的等可能的結果數(shù)，再得到符合條件的結果數(shù)，從而利用概率公式進行計算即可.【詳解】解：（1）由概率的含義可得：居民甲接種的是新冠病毒滅活疫苗的概率是（2）列表如下：由表中信息可得一共有種等可能的結果數(shù)，屬于同種疫苗的結果數(shù)有：，，，，，，，共種，所以居民甲、乙接種的是相同種類疫苗的概率為：【考點】本題考查的是隨機事件的概率，利用列表法或畫樹狀圖求解概率，掌握列表的方法與畫樹狀圖的方法是解題的關鍵.2、（1）見解析；（2）16；（3）3【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖即可求解；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖即可求解；（3）根據(jù)（1）（2）得到規(guī)律即可求出n的值．【詳解】解：畫樹狀圖如圖所示：圖的網格可以表示不同信息的總數(shù)個數(shù)有個．（2）畫樹狀圖如圖所示：圖④2×2的網格圖可以表示不同信息的總數(shù)個數(shù)有16=24個，故答案為：16．（3）依題意可得3×3網格圖表示不同信息的總數(shù)個數(shù)有29=512＞，故則的最小值為3，故答案為：3．【考點】此題主要考查畫樹狀圖與找規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出樹狀圖．3、(1)100(2)見解析(3)【解析】【分析】（1）利用光盤的人數(shù)除以光盤的人數(shù)所占的百分比，即可求解；（2）求出剩少量的人數(shù)，即可求解；（3）根據(jù)題意，畫出樹狀圖，得到共有6種等可能結果，其中抽到的兩名學生恰為1男1女的情況有4種，再利用概率公式即可求解．(1)解：