專題07函數(shù)與方程一、單選題1．（2024屆廣東省茂名市化州市林塵中學(xué)高三上學(xué)期第一次統(tǒng)測）函數(shù)的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，故選B.2．（2023屆新疆烏魯木齊市高三三模）定義符號函數(shù)，則方程的解是（

）A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或【答案】D【解析】依題意，當(dāng)時，方程為：，解得或，因此或，當(dāng)時，方程為：，解得，于是無解，當(dāng)時，方程為：，解得或，因此，所以方程的解是或或.故選D3．（2024屆河南省鄭州高三上學(xué)期8月月考）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則可轉(zhuǎn)化為與只有1個交點(diǎn)，當(dāng)時，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，畫出的圖象如下：

要想與只有1個交點(diǎn)，只需，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選A4．（2024屆北京市第三十五中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，且，給出下列4個結(jié)論：①當(dāng)時，；②；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，.其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對于①，時，方程為，解得，，∴①正確；對于②，方程整理可得，則，可得，∴②正確；作出函數(shù)的圖象，

當(dāng)時，，∴③不正確，④正確．故正確的有①②④，共3個.故選C5．（2024屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三第一次質(zhì)量監(jiān)測）若函數(shù)存在1個零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函數(shù)存在1個零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選A.6．（2023屆陜西省丹鳳中學(xué)高三模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上有三個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，得，所以，所以，所以，則或．由題意得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)兩根分別為，則，，所以，，所以．因?yàn)?，所以，所以．又，所以，即的取值范圍是．故選B7．（2024屆四川省成都市石室中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考）已知函數(shù)，若方程有三個不同的根，則（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】B【解析】由題意，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，由函數(shù)向右平移一個單位長度，再向上平移4個單位長度而得到的，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.而所表示的直線也關(guān)于點(diǎn)對稱，所以方程的三個實(shí)根中必有一個為1，另外兩個關(guān)于對稱，所以.故選D.8．（2024屆寧夏石嘴山市平羅中學(xué)高三上學(xué)期月考）定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若關(guān)于x的方程恰有5個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，可得函?shù)的圖象關(guān)于對稱，且，又因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，可得，則，即，所以是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由關(guān)于x的方程恰有5個實(shí)數(shù)解，即函數(shù)與直線的圖象有5個交點(diǎn)，結(jié)合圖象，及其圖象的對稱性，則滿足或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選A.

9．（2024屆遼寧省沈陽市第二中學(xué)高三上學(xué)期階段驗(yàn)收）已知函數(shù)，且滿足對任意的，總有，的圖象上關(guān)于軸對稱的點(diǎn)恰好有3對，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楫?dāng)時，，故在上的圖象具有局部周期性，則在上的圖象如圖所示：設(shè)，若要使函數(shù)的圖象上關(guān)于軸對稱的點(diǎn)恰好有3對，則函數(shù)與的圖象恰有3個交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象，如圖，由圖象可得，若使兩函數(shù)的圖象恰有3個交點(diǎn)，則且滿足，，即，，所以，解得，故選C10．（2023屆山西省呂梁市高三二模）已知，分別是方程，的根，則的值為（

）A． B． C．10 D．5【答案】D【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系繪制函數(shù)，，的圖象，由題意可知，的值分別為圖中點(diǎn)，的橫坐標(biāo)，則，的值分別為圖中點(diǎn)，的縱坐標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)和互為反函數(shù)，互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，易知，結(jié)合對稱性可知．故選D

11．（2024屆天津市第二南開學(xué)校高三開學(xué)考試）函數(shù)，關(guān)于x的方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，，即關(guān)于x的方程始終有一個根為，當(dāng)時，由，得，由題意可知當(dāng)時，直線與函數(shù)僅有一個交點(diǎn)，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，取到最大值，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示，

由圖象可知，要使直線與函數(shù)僅有一個交點(diǎn)，則，或，或故選A12．（2024屆江西省宜春市宜豐中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有四個不同的實(shí)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于，可知其對稱軸為，令，解得或；令，解得或；作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

若方程有四個不同的實(shí)根，即與有四個不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，對于，則，可得，所以；對于，則，可得；所以，由對勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，可得，所以的取值范圍是.故選B.二、多選題13．（2024屆遼寧省沈陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù)，其中，為某確定常數(shù)，運(yùn)用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時，若第一次經(jīng)計(jì)算且，則（

）A．可以確定的一個零點(diǎn)，滿足B．第二次應(yīng)計(jì)算，若，第三次應(yīng)計(jì)算C．第二次應(yīng)計(jì)算，若，第三次應(yīng)計(jì)算D．第二次應(yīng)計(jì)算，若，第三次應(yīng)計(jì)算【答案】AB【解析】對于A選項(xiàng)：由題意第一次經(jīng)計(jì)算且，因此由零點(diǎn)存在定理可知存在滿足，故A選項(xiàng)符合題意.對于B選項(xiàng)：第二次應(yīng)計(jì)算，若，又，所以有，滿足零點(diǎn)存在定理，所以第三次應(yīng)計(jì)算，故B選項(xiàng)符合題意.對于C選項(xiàng)：第二次應(yīng)計(jì)算，若，又，所以有，滿足零點(diǎn)存在定理，所以第三次應(yīng)計(jì)算，故C選項(xiàng)不符題意.對于D選項(xiàng)：第二次應(yīng)計(jì)算，而不是計(jì)算，故D選項(xiàng)不符題意.故選AB.14．（2024屆江蘇省南通市海安市高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測）下列區(qū)間上，函數(shù)有零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】時，，，,∴在有零點(diǎn)，C正確.，所以，在連續(xù)則在有零點(diǎn)，D正確.時，時，由于當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，故，而當(dāng)時，，所以無實(shí)數(shù)根，故在無零點(diǎn).B錯誤，，，∴，∴在有零點(diǎn)，A正確，故選ACD.15．（2024屆遼寧省朝陽市高三上學(xué)期9月聯(lián)考）設(shè)符號函數(shù)，已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．在上的值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上有5個零點(diǎn)【答案】CD【解析】當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，即，作出的部分圖象，如圖所示：

由圖可知，不是周期函數(shù)，故A錯誤；由圖可知，在上的值域?yàn)?，故B錯誤；由圖可知，在上單調(diào)遞減，故C正確；令，得，由圖可知，在上，的圖象與直線只有5個交點(diǎn)，所以在上有5個零點(diǎn)，故D正確.故選CD.16．（2024屆湖南省益陽市高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個零點(diǎn)B．直線與的圖象有兩個交點(diǎn)C．直線與的圖象有四個交點(diǎn)D．存在兩點(diǎn)，同時在的圖象上【答案】ABD【解析】畫出的圖象，如下：A選項(xiàng)，有兩個零點(diǎn)，即和0，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時，，則，令，解得，又，故在的切線方程為，令，，則，故在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立，故在上與只有一個交點(diǎn)，當(dāng)時，，聯(lián)立，可得，解得或0（舍去），結(jié)合函數(shù)圖象，可知直線與的圖象有兩個交點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出與直線的圖象，可知直線與的圖象有2個交點(diǎn)，C錯誤；D選項(xiàng)，點(diǎn)，是關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，因?yàn)?，故是位于第一象限的點(diǎn)，位于第二象限，在上，要想滿足同時在的圖象上，只需與在第一象限內(nèi)有交點(diǎn)，因?yàn)椋?，又，故，兩函?shù)均在單調(diào)遞增，故一定存在，使得，D正確.故選ABD17．（2024屆重慶市第八中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)測試）已知函數(shù)，則（

）A．，使得有2個零點(diǎn) B．，使得有3個零點(diǎn)C．若有3個零點(diǎn)，則 D．若有4個零點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】令，則，則的圖像如下所示，

當(dāng)時，有兩個交點(diǎn)，當(dāng)時，有3個交點(diǎn)，當(dāng)時，有1個交點(diǎn)，當(dāng)時，有0個交點(diǎn).由于直線的斜率為1，故當(dāng)，設(shè)斜率為1的切線的切點(diǎn)為，則，故切點(diǎn)為，切線方程為，當(dāng)，設(shè)斜率為1的切線的切點(diǎn)為，則，故切點(diǎn)為，切線方程為，在圖中做出在和的切線方程，如下圖，的零點(diǎn)即為函數(shù)與的交點(diǎn)，

由圖可知：當(dāng)時，與有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，當(dāng)時，與有2個交點(diǎn)，目交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，和，當(dāng)時，與有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，當(dāng)時，與有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，當(dāng)時，與有一個交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，綜上可知：當(dāng)或時，有3個交點(diǎn)，當(dāng)時，有4個交點(diǎn)當(dāng)時，有2個交點(diǎn).故選ABD三、填空題18．（2024屆廣東省惠州市惠東縣高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測）已知是定義在，且滿足，當(dāng)時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由得，所以函數(shù)的周期為4，先作出在區(qū)間上圖像：

又，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．（2024屆】河南省TOP二十名校高三上學(xué)期9月調(diào)研）已知函數(shù)若，函數(shù)恰有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】依題意，，可得，函數(shù)恰有三個不同的零點(diǎn)，即恰有三個解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象有三個交點(diǎn)，函數(shù)的圖象如圖所示．結(jié)合圖象，，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．

20．（2023屆河北省石家莊市部分學(xué)校高三下學(xué)期期中）已知為整數(shù)，若關(guān)于的方程有正數(shù)解，則．【答案】【解析】由得，所以．設(shè)，則，，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，即，解得，即，解得．21．已知函數(shù)且有且僅有2個零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】當(dāng)時，當(dāng)時，，此時沒有零點(diǎn)，因此在上有且僅有2個零點(diǎn)，由，得，于是，解得，當(dāng)時，當(dāng)時