正弦定理和余弦定理同步練習(xí)題在解三角形的學(xué)習(xí)中，正弦定理和余弦定理是兩把至關(guān)重要的鑰匙。它們不僅能夠幫助我們解決三角形中邊與角的計(jì)算問(wèn)題，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)、立體幾何等內(nèi)容的基礎(chǔ)。為了更好地理解和運(yùn)用這兩個(gè)定理，同步練習(xí)是必不可少的環(huán)節(jié)。以下練習(xí)題將從基礎(chǔ)應(yīng)用到綜合提升，幫助你逐步掌握其精髓。一、復(fù)習(xí)回顧在開(kāi)始練習(xí)之前，讓我們簡(jiǎn)要回顧一下正弦定理和余弦定理的核心內(nèi)容：*正弦定理：在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等，且等于該三角形外接圓的直徑。即：\[\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\]其中，\(a,b,c\)分別為三角形的三邊，\(A,B,C\)分別為其所對(duì)的內(nèi)角，\(R\)為三角形外接圓的半徑。正弦定理主要用于解決以下兩類問(wèn)題：1.已知三角形的兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角（注意此類問(wèn)題可能有一解、兩解或無(wú)解的情況）。*余弦定理：對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：\[a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\]\[b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\]\[c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\]余弦定理也可以變形為求角的形式：\[\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\]\[\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\]\[\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\]余弦定理主要用于解決以下兩類問(wèn)題：1.已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。2.已知三角形的三邊，求三個(gè)內(nèi)角。二、同步練習(xí)（一）基礎(chǔ)鞏固1.在\(\triangleABC\)中，已知\(A=30^\circ\)，\(B=45^\circ\)，\(a=2\)，求\(b\)的值。2.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(C=60^\circ\)，求\(c\)的值。3.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=5\)，\(b=5\sqrt{3}\)，\(A=30^\circ\)，求\(B\)的值。（注意多解情況）4.在\(\triangleABC\)中，三邊之長(zhǎng)分別為\(a=7\)，\(b=8\)，\(c=9\)，求角\(A\)的余弦值。（二）能力提升5.在\(\triangleABC\)中，已知\(\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5\)，且周長(zhǎng)為\(12\)，求該三角形的三邊長(zhǎng)。6.在\(\triangleABC\)中，已知\(a=2\sqrt{3}\)，\(b=6\)，\(A=30^\circ\)，解此三角形（即求出其他邊和角）。7.在\(\triangleABC\)中，已知\(b=3\)，\(c=3\sqrt{3}\)，\(B=30^\circ\)，求\(a\)的長(zhǎng)。8.已知\(\triangleABC\)的面積為\(\frac{15\sqrt{3}}{4}\)，\(b=5\)，\(c=3\)，求角\(A\)的大小。9.在\(\triangleABC\)中，若\(a^2=b^2+bc+c^2\)，求角\(A\)的度數(shù)。10.在\(\triangleABC\)中，已知\(A=60^\circ\)，\(b=1\)，其面積為\(\sqrt{3}\)，求\(\frac{a+b+c}{\sinA+\sinB+\sinC}\)的值。三、參考答案與提示（一）基礎(chǔ)鞏固1.提示：直接應(yīng)用正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)。答案：\(b=2\sqrt{2}\)2.提示：直接應(yīng)用余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)。答案：\(c=\sqrt{13}\)3.提示：應(yīng)用正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，注意\(b>a\)，\(B\)可能為銳角或鈍角。答案：\(B=60^\circ\)或\(B=120^\circ\)4.提示：應(yīng)用余弦定理的變形公式\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)。答案：\(\cosA=\frac{2}{3}\)（二）能力提升5.提示：由正弦定理可知\(a:b:c=\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5\)，設(shè)三邊分別為\(3k\)，\(4k\)，\(5k\)，再由周長(zhǎng)求解。答案：三邊長(zhǎng)分別為\(3\)，\(4\)，\(5\)6.提示：已知兩邊及一邊對(duì)角，先用正弦定理求\(B\)，注意\(b>a\)，\(B\)可能有兩解，需檢驗(yàn)。答案：\(B=60^\circ\)，\(C=90^\circ\)，\(c=4\sqrt{3}\)或\(B=120^\circ\)，\(C=30^\circ\)，\(c=2\sqrt{3}\)7.提示：已知兩邊及一邊對(duì)角，先用正弦定理求\(C\)，再求\(A\)，最后求\(a\)；或用余弦定理列方程求解。注意多解情況。答案：\(a=3\)或\(a=6\)8.提示：利用三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}bc\sinA\)反求\(\sinA\)，進(jìn)而確定角\(A\)。答案：\(A=60^\circ\)或\(A=120^\circ\)9.提示：將已知條件與余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)對(duì)比，找出\(\cosA\)的值。答案：\(A=120^\circ\)10.提示：先由面積公式求出邊\(c\)，再用余弦定理求出邊\(a\)，最后利用正弦定理的比值性質(zhì)\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)求解。答案：\(4\)四、總結(jié)與反思通過(guò)以上練習(xí)，希望你能對(duì)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用有更深刻的理解。在解三角形的過(guò)程中，關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件選擇合適的