九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)題一、單選題（本小題共10小題，每小題3分，共30分，在每小給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（）A．6，2，9 B．2，-6，9 C．-2，6，9 D．2，-6，-93．在探究關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的值時(shí)、小明計(jì)算了如下四組值：x1.11.21.31.4-0.590.842.293.76則方程的其中一個(gè)解滿足的范圍是（）A． B．C． D．無法確定4．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．若，，則AC的長為（）A．6 B．9 C． D．125．下列一元二次方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（）A． B．C． D．6．某果園2021年水果產(chǎn)量為100噸，2023年水果產(chǎn)量為144噸，求該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率，設(shè)該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為（）A． B．C． D．7．如圖，在矩形ABCD中，，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，，垂足為E，若，則AD的長是（）A． B． C． D．8．國慶節(jié)老同學(xué)聚會(huì)，每?jī)蓚€(gè)人都握一次手，所有人共握手78次，則參加聚會(huì)的人數(shù)是（）A．10 B．11 C．12 D．139．如圖，在中，．點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn)，以AM為邊的正方形AMEF．若，則（）A． B． C．12 D．1610．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則MN的最大值為（）．A． B． C． D．2二、填空題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．等腰三角形的邊長都是方程的根，則此三角形的周長為．12．如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為BC的中點(diǎn)，若，則菱形的周長為．13．若是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則的值為．14．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，AB=6，BC=8，則四邊形EFGH的面積是．15．如圖，某學(xué)校的校門是伸縮門，伸縮門中的每一行有菱形20個(gè)，每個(gè)菱形的邊長為25cm．校門關(guān)閉時(shí)，每個(gè)菱形的鈍角度數(shù)為120°，校門部分打開時(shí)，每個(gè)菱形原來120°的角縮小為60°，則校門打開了cm．三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）16．解方程（用兩種不同方法解）：．17．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．（1）用尺規(guī)作AC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．（2）連接AE，CF，試判斷四邊形AECF的形狀．并說明理出．18．已知關(guān)于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)根的平方和等于5，求k的值．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）19．溫州某企業(yè)安排65名工人生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)2件甲或1件乙，甲產(chǎn)品每件可獲利15元。根據(jù)市場(chǎng)需求和生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，乙產(chǎn)品每天產(chǎn)量不少于5件，當(dāng)每天生產(chǎn)5件時(shí)，每件可獲利120元，每增加1件，當(dāng)天平均每件利潤減少2元。設(shè)每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品。（1）根據(jù)信息填表產(chǎn)品種類每天工人數(shù)（人）每天產(chǎn)量（件）每件產(chǎn)品可獲利潤（元）甲15乙xx（2）若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多550元，求每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤．20．如圖，中，，，，點(diǎn)P從A沿AC邊向C點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，在C點(diǎn)停止，點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，在B點(diǎn)停止．（1）如果點(diǎn)P，Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過2秒鐘后，；（2）如果點(diǎn)P從點(diǎn)A先出發(fā)2s，點(diǎn)Q再從點(diǎn)C出發(fā)，問點(diǎn)Q移動(dòng)幾秒鐘后?（3）如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后?21．用一根長為的鐵絲圍成一個(gè)矩形．（1）當(dāng)矩形面積為時(shí)，長、寬分別是多少？（2）能圍成面積為的矩形嗎？請(qǐng)說明理由．五、解答題（三）（本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）22．定義：我們把關(guān)于x的一元二次方程與稱為一對(duì)“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）寫出一元二次方程的“友好方程”．（2）已知一元二次方程的兩根為，，它的“友好方程”的兩根、．根據(jù)以上結(jié)論，猜想的兩根、與其“友好方程”的兩根、之間存在的一種特殊關(guān)系為，證明你的結(jié)論．（3）已知關(guān)于x的方程的兩根是，．請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論，求出關(guān)于x的方程的兩根23．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且，連接DE，過點(diǎn)E作，使，連接FG，F(xiàn)C．試判斷FG與CE的關(guān)系，并說明理由：（2）【拓展探究】如圖2，若點(diǎn)E、F分別是CB、BA延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立請(qǐng)說明理由：若不成立，請(qǐng)給出結(jié)論并證明；（3）【類比延伸】如圖3，若點(diǎn)E、F分別是BC、AB延長線上的點(diǎn)，其它條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的判斷

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：A不是一元二次方程，不符合題意；

B不是一元二次方程，不符合題意；

C不是一元二次方程，不符合題意；

D是一元二次方程，符合題意；

故答案為：D

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：，即

∴二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為-6，常數(shù)項(xiàng)為-9

故答案為：D

【分析】根據(jù)一元二次方程相關(guān)量的定義即可求出答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：∵x=1.1時(shí)，

x=1.2時(shí)，

∴當(dāng)x在1.1與1.2之間取某一個(gè)數(shù)時(shí)，可使=0

故答案為：A

【分析】根據(jù)估算一元二次方程的解即可求出答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO，∠AOB=60°

∴△ABO為等邊三角形

∴AO=AB=6

∴AC=2AO=12

故答案為：D

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)可得AO=BO=CO，根據(jù)補(bǔ)角可得∠AOB=60°，再根據(jù)等邊三角形判定定理可得△ABO為等邊三角形，則AO=AB=6，即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：A：，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；

B：，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；

C：整理得：4x2+8x-7=0，，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；

D：，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意.

故答案為：D

【分析】根據(jù)二次方程判別式，可得方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x

由題意可得：

故答案為：B

【分析】設(shè)該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x，根據(jù)題意建立方程即可求出答案.7．【答案】D【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形

∴OB=OD，OA=OC，AC=BD

∴OA=OB

∵BE=EO，AE⊥BD

∴AB=AO

∴OA=AB=OB

∴△OAB是等邊三角形

∴∠ABD=60°

∴∠ADE=90°-∠ABD=30°

∴

故答案為：D

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)可得OB=OD，OA=OC，AC=BD，再根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得OA=AB=OB，根據(jù)等邊三角形判定定理可得△OAB是等邊三角形，則∠ABD=60°，再根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)即可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)有x個(gè)人參加聚會(huì)

由題意可得：

解得：x=13或x=-12(舍去)

故答案為：D

【分析】設(shè)有x個(gè)人參加聚會(huì)，根據(jù)題意建立方程，解方程即可求出答案.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵正方形AMEF是正方形，

∴AM2=16，即AM=4

∵在Rt△ABC中，點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn)

∴，即BC=2AM=8

∵

∴

故答案為：B

【分析】根據(jù)正方形面積可得AM=4，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得BC=2AM=8，根據(jù)勾股定理可得AC，再根據(jù)三角形面積即可求出答案.10．【答案】A【解析】【解答】解：連接AE

∵M(jìn)，N分別是EF，AF的中點(diǎn)

∴MN是△AEF的中位線

∴

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠B=90°

∴

當(dāng)BE最大時(shí)，AE最大，此時(shí)MN最大

∵點(diǎn)E是BC上的動(dòng)點(diǎn)

∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，BE最大，最大為BC的長度

此時(shí)

∴

∴MN的最大值為

故答案為：A

【分析】連接AE，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得，根據(jù)正方形性質(zhì)可得∠B=90°，根據(jù)勾股定理可得，當(dāng)BE最大時(shí)，AE最大，此時(shí)MN最大，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，BE最大，最大為BC的長度，再根據(jù)勾股定理即可求出答案.11．【答案】10，6或12【解析】【解答】解：，∴，解得，①當(dāng)這個(gè)三角形的三邊長分別為時(shí)，，不滿足三角形的三邊關(guān)系定理，舍去，②當(dāng)這個(gè)三角形的三邊長分別為時(shí)，，滿足三角形的三邊關(guān)系定理，∴三角形的周長為；

③當(dāng)這個(gè)三角形的三邊長分別為時(shí)，

三角形的周長為

④當(dāng)這個(gè)三角形的三邊長分別為時(shí)，

三角形的周長為.

綜上所述：三角形的周長為10，6或12故答案為：10，6或12.【分析】先利用因式分解法求出方程的根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定三角形的三邊長，代入三角形的周長公式，計(jì)算求解即可．12．【答案】24【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD，BO=DO

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

∴OE是△BCD的中位線

∴CD=2OE=6

∴菱形的周長為4×6=24

故答案為：24

【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)可得AB=BC=CD=AD，BO=DO，再根據(jù)三角形中位線定理可得CD=2OE=6，再根據(jù)菱形周長即可求出答案.13．【答案】2024【解析】【解答】解：將x=-1代入方程可得：

a-b-1=0，即a-b=1

∴

故答案為：2024

【分析】將x=-1代入方程可得a-b=1，化簡(jiǎn)代數(shù)式，再整體代入即可求出答案.14．【答案】24【解析】【解答】解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，AB=6，BC=8，∴AH=DH=BF=CF=8，AE=BE=DG=CG=3．在△AEH與△DGH中，∵，∴△AEH≌△DGH（SAS）．同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，∴S四邊形EFGH=S正方形﹣4S△AEH=6×8﹣4××3×4=48﹣24=24．故答案為：24．【分析】先根據(jù)E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點(diǎn)得出AH=DH=BF=CF，AE=BE=DG=CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根據(jù)S四邊形EFGH=S正方形﹣4S△AEH即可得出結(jié)論．本題考查的是中點(diǎn)四邊形，熟知矩形的對(duì)邊相等且各角都是直角是解答此題的關(guān)鍵．15．【答案】【解析】【解答】解：如圖

∵校門關(guān)閉時(shí)，每個(gè)菱形的鈍角度數(shù)為120°，即∠BAD=120°

∴∠BAO=60°

∴∠ABO=90°-∠BAO=30°

∴

∴校門關(guān)閉時(shí)，伸縮門的寬度為

∵校門部分打開時(shí)，每個(gè)菱形原來120°的角縮小為60°，即∠B'A'D'=60°

∴△A'B'D'為等邊三角形

∴B'D'=A'B'=25

∴校門打開時(shí)，伸縮門的寬度為25

∴校門打開了cm

故答案為：

【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得B'D'=A'B'=25，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.16．【答案】解：因式分解法：

(x-3)(x+1)=0

∴x-3=0或x+1=0

解得：x=3或x=-1

配方法：

移項(xiàng)可得：

配方可得：

即

兩邊同時(shí)開方可得：x-1=±2

∴x=3或x=-1【解析】【分析】根據(jù)因式分解法及配方法解方程即可求出答案.17．【答案】（1）解：如圖，EF即為所求

（2）解：四邊形AECF為菱形，理由如下：

設(shè)EF交AC于點(diǎn)O

∵EF垂直平分AC

∴OA=OC，EF⊥AC

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AF∥CE

∴∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC

∴△OAF≌△OCE

∴OE=OF

∴AC與EF互相垂直平分

∴四邊形AECF為菱形【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線定義作圖即可.

（2）設(shè)EF交AC于點(diǎn)O，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得OA=OC，EF⊥AC，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得AF∥CE，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△OAF≌△OCE，則OE=OF，再根據(jù)菱形判定定理即可求出答案.18．【答案】（1）證明：∵方程kx2+（2k+1）x+2=0為一元二次方程，∴k≠0．∵△=（2k+1）2﹣4×2k=（2k﹣1）2≥0，∴無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)（k≠0），方程總有實(shí)數(shù)根（2）解：設(shè)方程kx2+（2k+1）x+2=0的兩個(gè)根為x1、x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=5，即（﹣）2﹣=5，整理，得：k2=1，解得：k=±1．【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式判斷求解即可；

（2）先求出x1+x2=﹣，x1x2=，再利用完全平方公式計(jì)算求解即可。19．【答案】（1）65-x；130-2x；130-2x（2）解：由題意可得：

15×2(65-x)=x(130-2x)+550

解得：x=10或x=70(舍去)

則130-2x=110元

∴每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤為110元【解析】【解答】解：（1）由題意可得：

每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時(shí)，生產(chǎn)甲產(chǎn)品的有(65-x)人，共生產(chǎn)甲產(chǎn)品2(65-x)=(130-2x)件

在乙每件120元獲利的基礎(chǔ)上，增加x人，利潤減少2x元每件，則乙產(chǎn)品的每件利潤為120-2(x-5)=130-2x

故答案為：65-x；130-2x；130-2x

【分析】（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可求出答案.

（2）根據(jù)題意建立方程，解方程即可求出答案.20．【答案】（1）8（2）解：設(shè)P出發(fā)ts時(shí)，，則Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(t-2)s

∴AP=t，CQ=2(t-2)

∴PC=6-t

∴

解得：t=4

∴點(diǎn)Q移動(dòng)4秒鐘后（3）解：設(shè)經(jīng)過x秒后PQ=BQ，則PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x

由題意可得：

解得：或（舍去）

∴經(jīng)過秒鐘后【解析】【解答】解：（1）由題意可得：PA=2，CQ=4

∴PC=AC-AP=4

∴

故答案為：8

【分析】由題意可得：PA=2，CQ=4，根據(jù)邊之間的關(guān)系可得PC，再根據(jù)三角形面積即可求出答案.

（2）設(shè)P出發(fā)ts時(shí)，，則Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(t-2)s，再根據(jù)三角形面積建立方程，解方程即可求出答案.

（3）設(shè)經(jīng)過x秒后PQ=BQ，則PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x，根據(jù)邊之間的關(guān)系建立方程，解方程即可求出答案.21．【答案】（1）解：設(shè)矩形的長為，則寬為，依題意得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，

答：當(dāng)矩形面積為時(shí)，長為，寬為；（2）不能圍成，理由如下：設(shè)矩形的長為，則寬為，依題意得：，整理得：，，該方程無解，不能圍成面積為的矩形．【解析】【分析】（1）設(shè)矩形的長為，則寬為，根據(jù)矩形面積計(jì)算公式可得出方程，解方程求解，進(jìn)一步得出長和寬；

（2）設(shè)矩形的長為，則寬為，根據(jù)矩形面積計(jì)算公式可得出方程，根據(jù)根的判別式可知該方程無實(shí)數(shù)解，進(jìn)一步即可得出結(jié)論。（1）解：設(shè)矩形的長為，則寬為，依題意得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，答：當(dāng)矩形面積為時(shí)，長為，寬為；（2）不能圍成，理由如下：設(shè)矩形的長為，則寬為，依題意得：，整理得：，，該方程無解，不能圍成面積為的矩形．22．【答案】（1）（2）；倒數(shù)（3）∵方程的兩根是，

∴該方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的兩根為x1=-1，x2=2021

將，整理得

∴x-1=-1或x-1=2021

解得：x=0或x=2022

∴關(guān)于x的方程的兩根為x=0或x=2022【解析】【解答】解：（1）由題意可得：

一元二次方程的“友好方程”為

即為

故答案為：

（2）由（1）可知一元二次方程的“友好方程”為

解方程可得：，

觀察可得：

∴猜想的兩根、與其“友好方程”的兩根、之間存在的一種特殊關(guān)系為互為倒數(shù)

故答案為：；倒數(shù)

【分析】（1）根據(jù)“友好方程”的定義即可求出答案.

（2）求出該方程的“友好方程”，再解方程可得x4，再根據(jù)根之間的關(guān)系可得“友好方程”的根互為倒數(shù).

（3）根據(jù)題意可得該方程的“友好方程”的根，化簡(jiǎn)二次方程，根據(jù)整體思想再解方程即可求出答案.23．【答案】（1）解：FG=CE，F(xiàn)G∥CE，理由如下：

過點(diǎn)G作GH⊥CB的延長線于點(diǎn)H，則GH∥BF，∠GHE=90°

∵EG⊥DE

∴∠GEH+∠DEC=90°

∵∠GEH+∠HGE=90°

∴∠DEC=∠HGE

在△HGE和△CED中

∴△HGE≌△CED(AAS)

∴GH=CE，HE=CD

∵CE=BF

∴GH=BF

∵GH∥BF

∴四邊形GHBF是矩形

∴GF=BH，F(xiàn)G∥CH

∴FG∥CE

∵四邊形ABCD是正方形

∴CD=BC

∴HE=BC

∴HE+EB=BC+EB

∴BH=EC

∴FG=EC（2）證明：FG=CE，F(xiàn)G∥CE仍成立，理由如下

過點(diǎn)G作GH⊥CB的延長線于點(diǎn)H，

∵EG⊥DE

∴∠GEH+∠DEC=90°

∵∠GEH+∠HGE=90°

∴∠DEC=∠HGE

在△HGE和△CED中

∴△HGE≌△CED(AAS)

∴GH=CE，HE=CD

∵CE=BF

∴GH=BF

∵GH∥BF

∴四邊形GHBF是矩形

∴GF=BH，F(xiàn)G∥