2.2基本不等式（精講）一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．二．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.三．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”．基本不等式求最值滿足條件利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:“一正二定三相等”.(1)“一正”就是各項必須為正數(shù).(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值.(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號,則這個定值就不是所求的最值.二．利用基本不等式求最值常見形式與方法（1）配湊法①形如f(②配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形,配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.（2）常值代換法已知形如或可化為x+y=t(t為常數(shù)),求ax+by的最值以及形如或可化為ax+by=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解時要注意將已知條件變形為“1”的形式,將ax+by看作是(ax+b（3）消元法對于二元變量的條件最值問題,若不能夠化為“角度三”的類型,常用其中一個變量表示另一個變量,將待求式化為一個變量的關(guān)系式后求最值,此類要注意所保留變量的取值范圍.三．恒（能）成立含參數(shù)的問題①分離參數(shù)法：則常將參數(shù)分離后,利用最值轉(zhuǎn)化法求解分離參數(shù)法分離參數(shù)法利用基本不等式求解實際問題(1)根據(jù)題意將待求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)后,將實際問題抽象出函數(shù)的解析后,再將函數(shù)解析式變形利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)在求函數(shù)的最值時,一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.考法一直接法求最值【例11】（2023廣西）函數(shù)的最小值為（

）A． B．2 C．2 D．4【例12】（2022·北京大興）當時，的最大值為（

）A． B． C． D．【例13】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【一隅三反】1．（2022·廣東茂名）若a，b都為正實數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．2．（2023云南）若,那么的最小值是（

）A．64 B．128 C． D．3．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）已知實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·廣西柳州·柳州高級中學校聯(lián)考模擬預測）若，，，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2考法二配湊法求最值【例21】（2023內(nèi)蒙古）已知x＞1，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．12 D．10【例22】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．14【一隅三反】1．（2022·山西·懷仁市第一中學校二模）函數(shù)的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．52．（2023·云南）函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．123．（2022·江蘇）當時，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．44．（2023北京）函數(shù)的最大值是（

）A．2 B． C． D．考法三常數(shù)替代求最值【例31】（2022·安徽）已知，，，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6【例32】（2023春·湖南）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．【例33】．（2022·貴州畢節(jié)）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【例34】（2023·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考學業(yè)考試）已知，則的最小值是______．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為__________．2．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，且，則的最小值為___________.3．（2022·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．考法四消元法求最值【例4】（2020秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習）若，，且，則的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【一隅三反】1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知，，且，則的最小值為（

）．A．4 B．6 C．8 D．122．（2022·河南·鄭州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，則（

）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值3．（2022·遼寧丹東）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3考法五基本不等式解成立問題【例51】（2023·河南）若對任意正數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例52】（2023·山西）已知，且，若有解，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【一隅三反】1．（2023·四川南充）已知實數(shù)滿足，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．252.（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．考法六基本不等式解實際問題【例6】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費3萬元購進了一套先進設(shè)備，該設(shè)備每年管理費用為0.1萬元，已知使用年的維修總費用為萬元，則該設(shè)備年平均費用最少時的年限為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【一隅三反】1．（2023·北京）設(shè)計用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為，則車廂的最大容積是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m32．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學校聯(lián)考一模）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅、全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實意義和深遠歷史意義的三件大事之一．某企業(yè)積極響應(yīng)國家號召，對某經(jīng)濟欠發(fā)達地區(qū)實施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品．經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本萬元，當產(chǎn)量不足50萬件時，；當產(chǎn)量不小于50萬件時，．每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完．欲使得生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得最大利潤，則產(chǎn)量應(yīng)為（

）A．40萬件 B．50萬件 C．60萬件 D．80萬件3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）隨著新能源技術(shù)的發(fā)展，新能源汽車行業(yè)也迎來了巨大的商機.某新能源汽車加工廠生產(chǎn)某款新能源汽車每年需要固定投入100萬元，此外每生產(chǎn)x輛該汽車另需增加投資g（x）萬元，當該款汽車年產(chǎn)量低于400輛時，，當年產(chǎn)量不低于400輛時，，該款汽車售價為每輛15萬元，且生產(chǎn)的汽車均能售完，則該工廠生產(chǎn)并銷售這款新能源汽車的最高年利潤為（

）A．1500萬元 B．2100萬元 C．2200萬元 D．3800萬元考法七基本不等式與其他知識綜合【例71】（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知，P是橢圓上的任意一點，則的最大值為（

）A．9 B．16 C．25 D．50【例72】（2023·全國·高三專題練習）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【一隅三反】1．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預測）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值是（