PageSeq2026高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講70.立體幾何新教材中的一些?？夹赂拍顜缀误w含答案70.立體幾何新教材中的一些常考幾何體一．素材展示（均選自人教A版必修二教材）二．典例分析（以下按照上圖順序展開），下面進入正文分析★1.阿基米德多面體例1．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿同一頂點出發(fā)的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去8個三棱錐，得到8個面為正三角形、6個面為正方形的一種半正多面體．若，則此半正多面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．解析：如圖，在正方體中，分別取正方體、正方形的中心、，連接，∵分別為的中點，則，∴正方體的邊長為，故，可得，根據(jù)對稱性可知：點到該半正多面體的頂點的距離相等，則該半正多面體外接球的球心為，半徑，故該半正多面體外接球的表面積為.故選：D例2．（多選題）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種阿基米德多面體．已知，則關(guān)于圖中的半正多面體，下列說法正確的有（

）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過三點的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的表面積為解析：A：如圖，因為，所以該半正多面體是由棱長為的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，所以該半正多面體的體積為：，故A正確；B：根據(jù)該半正多面體的對稱性可知，過三點的截面為正六邊形，又，所以正六邊形面積為，故B正確；C：根據(jù)該半正多面體的對稱性可知，該半正多面體的外接球的球心為正方體的中心，即正六邊形的中心，故半徑為，所以該半正多面體外接球的表面積為，故C錯誤；D：因為該半正多面體的八個面為正三角形、六個面為正方形，棱長皆為，所以其表面積為，故D正確.故選：ABD★2.正八面體例3．正八面體可由連接正方體每個面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長為2的正八面體中，則有（

）

A．直線與是異面直線 B．平面平面C．該幾何體的體積為 D．平面與平面間的距離為解析：正八面體可由正方體每個面的中心構(gòu)成，如圖：

因為正八面體的棱長為2，所以正方體的棱長為.∵，，，四點共面，直線與是共面的，故A錯；設(shè)二面角為，，，所以.所以：二面角，故B錯；，故C錯；由八面體的構(gòu)成可知：平面和平面之間的距離是正方體體對角線的，所以兩個平面之間的距離為：，故D對.故選：D例4．將兩個各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，動點在該六面體表面上，且滿足，則（

）

A． B．該幾何體的體積為C．動點的軌跡長為 D．該多面體內(nèi)切球的半徑為解析：對于A，取的中點，連接，由正三棱錐的性質(zhì)可得，因為，所以平面，所以，正確.

對于B，在正三棱錐中，作高線，由正三角形的性質(zhì)可得，，所以，其體積為，所以該幾何體的體積為，不正確.

對于C，由幾何體的對稱性可得，四點共面，由選項A可知，平面，所以點的軌跡為線段和及棱和，其長度為，正確.

對于D，設(shè)幾何體的內(nèi)切球半徑為，球心為，連接球心和各頂點，則有，即，解得，正確.故選：ACD例5．將兩個各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，則（

）A．該幾何體的表面積為B．該幾何體的體積為C．過該多面體任意三個頂點的截面中存在兩個平面互相垂直D．直線平面解析：對于A，，所以表面積為，故A對；對于B，如圖所示：設(shè)點在平面內(nèi)的投影為，為的中點，則由對稱性可知為三角形的重心，所以，又因為，所以正三棱錐的高為，所以題圖所示幾何體的體積為，故B錯；對于C，由B選項可知面，由對稱性可知三點共線，所以面，而面，所以面面，故C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：其中軸平行，因為，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，不妨取，解得，所以取，又，而，所以直線與平面不平行，故D錯.故選：AC.★3.鱉臑例6.如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面,且,點是的中點，連接．（1）.證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；（2）.記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值．圖1圖1證明：（1）因為底面，所以；由底面為長方形，有，而，所以平面，平面，所以又因為，點是的中點，所以，而，所以平面，由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形.即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別是（2）由已知，是陽馬的高，所以；由（1）知，是鱉臑的高，，所以.在△中，因為，點是的中點，所以，于是★4.“鴨嘴”模型結(jié)論1：如圖，，設(shè)為中點，則，故面，則.結(jié)論2：反過來，若如圖，，且，設(shè)為中點，則.另一方面，由于，則面，故，因為為中點，故可得：.結(jié)論3.上述兩個結(jié)論中，即為二面角的平面角.例7．（2023年全國乙卷真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．解析：取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C例8.（2023年新高考2卷）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．（1）證明：；（2）點F滿足，求二面角的正弦值．解析：（1）連接，因為E為BC中點，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）二面角的正弦值為．三．習(xí)題演練1．如圖1，過球上不在同一大圓上的，，三個點中的任意兩點作大圓.可以得到劣弧，與，則這三條劣弧圍成的曲面（陰影部分）稱為球面，這三條劣弧稱為球面的邊.，，三點稱為球面的頂點.設(shè)二面角為，二面角為，二面角為，則球面的面積，其中為球的半徑，，，均用弧度制表示.以球心為坐標(biāo)原點，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.已知，，三點均在球的球面上，其中，.(1)求，的值；(2)求點到平面的距離；(3)求球面的面積.【詳解】（1）根據(jù)，可得，解得，因為，所以，（2）由（1）得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，，所以平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為；（3）依題意，設(shè)平面，平面，平面的法向量為，則，令，則，則，則，令，則，則，則，令，則，則，所以，，，結(jié)合四點的位置，可知均為鈍角，所以，故球面的面積..2.正多面體是指各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的多面角，又稱為柏拉圖多面體，因為柏拉圖及其追隨者對它們所作的研究而得名．自然界中有許多的柏拉圖多面體，如甲烷、金剛石分子結(jié)構(gòu)模型都是正四面體，氯化鈉的分子結(jié)構(gòu)模型是正六面體，螢石的結(jié)晶體有時是正八面體，硫化體的結(jié)晶體有時會接近正十二面體的形狀……柏拉圖多面體滿足性質(zhì)：（其中V，F(xiàn)和E分別表示多面體的頂點數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)）．(1)正十二面體共有幾條棱，幾個頂點？(2)如圖所示的正方體中，點為正方體六個面的中心，假設(shè)幾何體的體積為，正方體的體積為，求的值；(3)判斷柏拉圖多面體有多少種？并說明理由．【詳解】（1）根據(jù)柏拉圖多面體滿足性質(zhì)：，正十二面體有個面，即，則，設(shè)正十二面體每一個面都是正邊形，每一個頂點處有條棱，因為多邊形至少有條邊，而再每個頂點處至少有條棱，則，由于每條棱都出現(xiàn)在相鄰的兩個面中，每條棱連接兩個頂點，則有，即，所以，所以，所以，即，由，得，當(dāng)，即時，，符合題意，當(dāng)，即時，（舍去），當(dāng)，即時，（舍去），當(dāng)，即時，（舍去），綜上所述，，，此時，即正十二面體共有條棱，個頂點；（2）設(shè)正方體的棱長為，則，幾何體所有棱長為，是正八面體，所以，所以；（3）假多面體每一個面都是正邊形，每一個頂點處有條棱，因為多邊形至少有條邊，而再每個頂點處至少有條棱，則，由于每條棱都出現(xiàn)在相鄰的兩個面中，每條棱連接兩個頂點，則有，代入可得，即，當(dāng)時，，這與矛盾，所以中至少有一個等于，若，則，由于，則，因此，則，對應(yīng)，所以存在正四面體，正八面體，正二十面體；若，則，由于，則，因此，則，對應(yīng)，所以存在正四面體，正六面體，正十二面體綜上所述，柏拉圖多面體只有種.71.新概念背景下的立體幾何壓軸一．常用背景與命題方式1.空間解析幾何2.曲率3.平面翻折與圓錐曲線綜合4.丹德林雙球5.其他新定義二．典例展示例1．（2021年教育部八省聯(lián)考）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為．

（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．解析：（1）由題可知：四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點的曲率之和.

可以從整個多面體的角度考慮，所有頂點相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖可知：四棱錐共有5個頂點，5個面，其中4個為三角形，1個為四邊形.所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個為三角形，1個為四邊形組成，則其總曲率為：.（2）設(shè)頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，所以有，設(shè)第個面的棱數(shù)為，所以，所以總曲率為：，所以這類多面體的總曲率是常數(shù).例2．（長沙雅禮中學(xué)25屆高三第二次聯(lián)考）高斯-博內(nèi)公式是大范圍微分幾何學(xué)的一個經(jīng)典的公式，是關(guān)于曲面的圖形（由曲率表征）和拓撲（由歐拉示性數(shù)表征）間聯(lián)系的一項重要表述，建立了空間的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)之間的聯(lián)系.其特例是球面三角形總曲率與球面三角形內(nèi)角和滿足：，其中為常數(shù)，（如圖，把球面上的三個點用三個大圓（以球心為半徑的圓）的圓弧聯(lián)結(jié)起來，所圍成的圖形叫做球面三角形，每個大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構(gòu)成的二面角叫做球面三角形的一個角.球面三角形的總曲率等于，為球面三角形面積，為球的半徑）.(1)若單位球面有一個球面三角形，三條邊長均為，求此球面三角形內(nèi)角和；(2)求的值；(3)把多面體的任何一個面伸展成平面，如果所有其他各面都在這個平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體.設(shè)凸多面體頂點數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，試證明凸多面體歐拉示性數(shù)為定值，并求出.解析：（1）如圖，設(shè)球心為，球面三角形三個頂點分別為，由球面三角形三邊長均為，由題意，即每個大圓弧長均為.又單位球面的球半徑，則球面三角形每條邊所對圓心角為，所以在三棱錐中，兩兩垂直.由，，且平面，平面，則平面，平面，故平面平面，同理平面平面，平面平面，即球面三角形任意兩條邊所在的半平面構(gòu)成的二面角均為，故球面三角形的個角均為，從而此球面三角形內(nèi)角和為.（2）若將地球看作一個球體，在地球上零度經(jīng)線和經(jīng)線所在大圓與赤道所在大圓將球面平均分成個全等的球面三角形，由（1）可知，每個球面三角形的個角均為，且球面三角形內(nèi)角和，從而每個球面三角形的面積為，則每個球面三角形的總曲率為，設(shè)，由題意，且為常數(shù)，則有，從而.（3）將多面體的每個面視作可以自由伸縮的橡皮膜，使膨脹為一個半徑為的球，每個頂點均在球面上，每條邊變?yōu)榍蛎嫔系倪?，每個多邊形變?yōu)榍蛎嫔系亩噙呅?，且膨脹前后不?不妨記球面仍為單位球面，半徑，對于任意一個球面邊形，可用球面上的邊分割成個球面三角形，由（2）可知，，則每個球面三角形的內(nèi)角和．即每個內(nèi)角和為的球面三角形面積為，記，稱為分割成個球面三角形的球面邊形的內(nèi)角和．所以球面邊形面積為.由已知凸多面體頂點數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則可記球面上多邊形，對每一個球面多邊形，設(shè)其邊數(shù)為，內(nèi)角和為，面積為，則，由球面三角形角的定義可知，每個頂點處所有球面多邊形的角之和為，頂點數(shù)為，從而所有球面多邊形內(nèi)角和為，又球面多邊形每條邊被重復(fù)計算次，棱數(shù)為，故，則，又所有球面多邊形面積之和，故，故.例3.（山東濟南24屆高三一模）在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個平面的方程都能表示成，其中，，且為該平面的法向量.已知集合，，.(1)設(shè)集合，記中所有點構(gòu)成的圖形的面積為，中所有點構(gòu)成的圖形的面積為，求和的值；(2)記集合Q中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為，中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值：(3)記集合T中所有點構(gòu)成的幾何體為W.①求W的體積的值；②求W的相鄰（有公共棱）兩個面所成二面角的大小，并指出W的面數(shù)和棱數(shù).解析：（1）集合表示平面上所有的點，表示這八個頂點形成的正方體內(nèi)所有的點，而可以看成正方體在平面上的截面內(nèi)所有的點.發(fā)現(xiàn)它是邊長為2的正方形，因此.對于，當(dāng)時，表示經(jīng)過，，的平面在第一象限的部分.由對稱性可知Q表示，，這六個頂點形成的正八面體內(nèi)所有的點.而可以看成正八面體在平面上的截面內(nèi)所有的點.它是邊長為的正方形，因此.（2）記集合，中所有點構(gòu)成的幾何體的體積分別為，；考慮集合的子集；即為三個坐標(biāo)平面與圍成的四面體.四面體四個頂點分別為，，，，此四面體的體積為，由對稱性知，，考慮到的子集構(gòu)成的幾何體為棱長為1的正方體，即，，顯然為兩個幾何體公共部分，記，，，.容易驗證，，在平面上，同時也在的底面上.則為截去三棱錐所剩下的部分.的體積，三棱錐的體積為.故的體積.當(dāng)由對稱性知，.（3）如圖所示，即為所構(gòu)成的圖形.其中正方體即為集合P所構(gòu)成的區(qū)域.構(gòu)成了一個正四棱錐，其中到面的距離為，，.由題意面方程為，由題干定義知其法向量，面方程為，由題干定義知其法向量n2=0,1,1，故.由圖知兩個相鄰的面所成角為鈍角.故H相鄰兩個面所成角為.由圖可知共有12個面，24條棱.例4．（江西南昌24屆高三二模）如圖所示，用一個不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面，得到的幾何體稱之為“斜截圓柱”.圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱”，AB是底面圓的直徑，，橢圓所在平面垂直于平面ABCD，且與底面所成二面角為，圖一中，點是橢圓上的動點，點在底面上的投影為點，圖二中，橢圓上的點在底面上的投影分別為，且均在直徑AB的同一側(cè).(1)當(dāng)時，求的長度；(2)（i）當(dāng)時，若圖二中，點將半圓均分成7等份，求；（ii）證明:.解析：（1）如圖，取CD中點，過作與該斜截圓柱的底面平行的平面，交DA于點，交BC延長線于點，與交于點，因則，，過作GH的垂線，交圓于J、K兩點.過作交