圓錐曲線考試試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.拋物線\(y=2x^2\)的焦點坐標是（）A.\((0,\frac{1}{8})\)B.\((0,\frac{1}{2})\)C.\((\frac{1}{8},0)\)D.\((\frac{1}{2},0)\)2.橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的離心率是（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)3.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)B.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)4.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的一個焦點是\((2,0)\)，則\(a^2-b^2\)等于（）A.1B.2C.4D.85.拋物線\(y^2=8x\)上一點\(P\)到焦點的距離為5，則\(P\)的橫坐標為（）A.2B.3C.4D.56.雙曲線\(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1\)的實軸長為（）A.2B.4C.6D.87.橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)上一點\(M\)到一個焦點的距離為3，則\(M\)到另一個焦點的距離為（）A.2B.3C.5D.78.拋物線\(x^2=-4y\)的準線方程是（）A.\(y=1\)B.\(y=-1\)C.\(x=1\)D.\(x=-1\)9.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的一條漸近線與直線\(x+2y+1=0\)垂直，則雙曲線的離心率為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(\sqrt{2}\)10.已知橢圓\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1\)的離心率為\(\frac{1}{2}\)，則\(m\)的值為（）A.\(\frac{16}{3}\)或3B.\(\frac{16}{3}\)C.3D.6二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于橢圓的說法正確的是（）A.橢圓是平面內(nèi)到兩個定點的距離之和為常數(shù)（大于兩定點間距離）的點的軌跡B.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)中，\(a\)為長半軸長，\(b\)為短半軸長C.橢圓的離心率\(e\)滿足\(0<e<1\)D.橢圓的焦點一定在\(x\)軸上2.拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的性質(zhì)有（）A.焦點坐標是\((\frac{p}{2},0)\)B.準線方程是\(x=-\frac{p}{2}\)C.拋物線上一點到焦點的距離等于到準線的距離D.當\(p\)增大時，拋物線開口變小3.對于雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)，下列說法正確的是（）A.實軸長為\(2a\)，虛軸長為\(2b\)B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距），且\(e>1\)D.雙曲線的焦點在\(x\)軸上4.已知橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，以下說法正確的是（）A.長軸長為8B.短軸長為6C.離心率為\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)D.焦點坐標為\((\pm\sqrt{7},0)\)5.拋物線\(x^2=4y\)上的點可能是（）A.\((2,1)\)B.\((-2,1)\)C.\((4,4)\)D.\((-4,4)\)6.雙曲線\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1\)的性質(zhì)正確的是（）A.實軸長為6B.虛軸長為8C.漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)D.焦點坐標為\((0,\pm5)\)7.橢圓\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m>0,n>0)\)，若\(m>n\)，則（）A.焦點在\(x\)軸上B.長半軸長為\(\sqrt{m}\)C.短半軸長為\(\sqrt{n}\)D.離心率\(e=\sqrt{1-\frac{n}{m}}\)8.拋物線\(y^2=-8x\)的相關(guān)性質(zhì)正確的是（）A.焦點坐標是\((-2,0)\)B.準線方程是\(x=2\)C.拋物線上的點到焦點的距離等于到\(x=2\)的距離D.開口向左9.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)，以下說法正確的是（）A.實軸長為4B.虛軸長為\(2\sqrt{5}\)C.離心率\(e=\frac{3}{2}\)D.漸近線方程為\(y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)10.橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)與雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1\)，下列說法正確的是（）A.橢圓與雙曲線有相同的焦點B.橢圓的長軸長大于雙曲線的實軸長C.橢圓的離心率小于雙曲線的離心率D.橢圓與雙曲線的漸近線不同三、判斷題（每題2分，共20分）1.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)中，\(a\)一定大于\(b\)大于0。（）2.拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的焦點在\(x\)軸正半軸上。（）3.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的漸近線是其與直線無限接近但不相交的直線。（）4.橢圓的離心率越大，橢圓越圓。（）5.拋物線\(x^2=-2py(p>0)\)的準線方程是\(y=\frac{p}{2}\)。（）6.雙曲線\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的實軸長為\(2b\)。（）7.橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)上的點到兩焦點距離之和為8。（）8.拋物線\(y^2=4x\)上一點到焦點的距離等于到\(x=-1\)的距離。（）9.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的離心率為\(\frac{5}{3}\)。（）10.橢圓\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1(m>n>0)\)的焦點坐標為\((\pm\sqrt{m-n},0)\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)的長軸長、短軸長、離心率和焦點坐標。答案：\(a=5\)，\(b=4\)，\(c=\sqrt{a^2-b^2}=3\)。長軸長\(2a=10\)，短軸長\(2b=8\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)，焦點坐標為\((\pm3,0)\)。2.已知拋物線\(y^2=12x\)，求其焦點坐標和準線方程。答案：對于\(y^2=2px(p>0)\)，這里\(2p=12\)，\(p=6\)。焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)即\((3,0)\)，準線方程\(x=-\frac{p}{2}=-3\)。3.求雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程。答案：雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)，此雙曲線中\(zhòng)(a=3\)，\(b=4\)，漸近線方程為\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。4.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)上一點\(P\)到兩焦點距離之和為\(10\)，\(a^2=25\)，求\(b\)的值。答案：由橢圓定義知\(2a=10\)，則\(a=5\)，又\(a^2=25\)，\(b^2=a^2-c^2\)，且\(a^2=25\)，所以\(b^2=25-c^2\)。因為\(a=5\)，\(2a=10\)滿足條件，\(b^2=a^2-c^2=25-0=16\)，則\(b=4\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論橢圓、雙曲線、拋物線的離心率對圖形形狀的影響。答案：橢圓離心率\(0<e<1\)，\(e\)越接近0越圓，越接近1越扁；雙曲線離心率\(e>1\)，\(e\)越大開口越開闊；拋物線離心率\(e=1\)，形狀固定，是到定點與定直線距離相等的點的軌跡。2.分析橢圓和雙曲線標準方程的相同點與不同點。答案：相同點：都有\(zhòng)(x^2\)與\(y^2\)項，分母都大于0。不同點：橢圓方程是“\(+\)”號，\(a\)、\(b\)關(guān)系是\(a>b>0\)，離心率\(0<e<1\)；雙曲線方程是“\(-\)”號，\(a\)、\(b\)無大小限制，離心率\(e>1\)。3.如何根據(jù)給定的條件確定圓錐曲線的類型并求出其方程？答案：先根據(jù)條件判斷曲線類型。若到兩定點距離和為定值是橢圓；差的絕對值為定值是雙曲線；到定點與定直線距離相等是拋物線。再根據(jù)相應定義和已知數(shù)據(jù)，如焦點坐標、頂點坐標等求方程中的參數(shù)，進而確定方程。4.舉例說明圓錐曲線在生活中的應用。答案：橢圓如行星運行軌道；拋物線如投籃、噴水的軌跡；雙曲線如雷達探測區(qū)域邊界。這些應用利用了圓錐曲線的