高一上學(xué)期第一次月考十四大題型歸納（基礎(chǔ)篇）【人教A版（2019）】題型1判斷是否為同一集合題型1判斷是否為同一集合1．（2023秋·高一單元測試）下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）A．參加卡塔爾世界杯比賽的全體球員B．小于2的正整數(shù)C．?dāng)?shù)學(xué)必修第一冊課本上的難題D．所有有理數(shù)【解題思路】根據(jù)集合的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過程】對于A中，參加的全體球員，是確定的，沒有重復(fù)的，所以能構(gòu)成集合；對于B中，小于2的正整數(shù)，是確定的，沒有重復(fù)的，所以能構(gòu)成集合；對于C中，多難的題才算是難題，有一定的不確定性，不符合集合中元素的確定性，故不能構(gòu)成集合；對于D中，所有有理數(shù)，所研究的有理數(shù)，是確定的，沒有重復(fù)的，所以能構(gòu)成集合，故選C.故選：C.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法中，正確的個數(shù)是（

）①2的近似值的全體構(gòu)成一個集合②自然數(shù)集N中最小的元素是0③在整數(shù)集Z中，若a∈Z，則?a∈Z④一個集合中不可以有兩個相同的元素A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)集合的定義、自然數(shù)集、整數(shù)集的定義判斷.【解答過程】①2的近似值的全體沒有確定性，不能構(gòu)成集合，錯誤；②自然數(shù)集N中最小的元素是0，正確；③在整數(shù)集Z中，若a∈Z，則?a∈Z，整數(shù)的相反數(shù)還是整數(shù)，正確，④一個集合中不可以有兩個相同的元素，根據(jù)集合的定義知正確，故選：C．3．（2022·上海·高一專題練習(xí)）下列研究對象能否構(gòu)成一個集合？如果能，采用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎舅?）小于5的自然數(shù)；（2）某班所有個子高的同學(xué)；（3）不等式2x+1>7的整數(shù)解．【解題思路】（1）根據(jù)集合元素的確定性、互異性進(jìn)行判斷即可，并表示出相應(yīng)的集合；（2）根據(jù)集合元素的確定性進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)集合元素的確定性、互異性進(jìn)行判斷即可，并表示出相應(yīng)的集合.【解答過程】（1）小于5的自然數(shù)為0、1、2、3、4，元素確定，所以能構(gòu)成集合，且集合為0,1,2,3,4；（2）個子高的標(biāo)準(zhǔn)不確定，所以集合元素?zé)o法確定，所以不能構(gòu)成集合；（3）由2x+1>7得x>3，因?yàn)閤為整數(shù)，集合元素確定，但集合元素個數(shù)為無限個，所以用描述法表示為xx>3,x∈Z4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學(xué)．【解題思路】根據(jù)集合的基本概念即得.【解答過程】（1）因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣的名稱是確定的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集合；因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣是有限的，故該集合為有限集；（2）因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是確定的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是無限的，故該集合為無限集；（3）因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學(xué)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是有限的，故該集合為有限集.題型2題型2判斷元素與集合的關(guān)系1．（2023秋·山東臨沂·高一?？奸_學(xué)考試）已知集合A=xx2=xA．?1∈A B．1∈A C．0?A D．2∈A【解題思路】解方程可求得集合A，再根據(jù)元素和集合的關(guān)系即可求解.【解答過程】由x2=x得x=1或x=0，則集合A=0,1，所以?1?A，1∈A，0∈A故選：B.2．（2023秋·高一課時練習(xí)）給出下列關(guān)系：①13∈R；②5∈Q；③?3?A．1 B．2C．3 D．4【解題思路】利用集合與元素間的關(guān)系逐個分析即可.【解答過程】135是無理數(shù)，不是有理數(shù)，②錯誤；?3是整數(shù)，③錯誤；?7正確的個數(shù)為2個，故選：B.3．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知集合M=x|x=a+b2,a,b∈Z，判斷【解題思路】根據(jù)集合的表示方法，以及元素與集合的關(guān)系，即可求解.【解答過程】由題意，可得3=0+0×2，2?因?yàn)镸=x|x=a+b2,a,b∈不存在a,b∈Z，使得32∈M4．（2023·全國·高一假期作業(yè)）集合A={x∣x=2m+n,m∈Z(1)x=0；(2)x=1(3)x1【解題思路】（1）x=0可以表示成x=2（2）x=12+1（3）x1,x2可以表示成x=2【解答過程】（1）x=2m+n,m∈Z,n∈Z所以x=0，有x∈A；（2）x=2m+n,m∈Z,n∈Z所以x=12+1（3）若x1∈A,x2∈A∴x=x1+x2題型3題型3判斷兩個集合是否相等1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合M=1,0，則與集合M相等的集合為（）A．x,yx?y=?1x+y=1 C．xx=?1n【解題思路】求出每個選項(xiàng)的集合，即可比較得出.【解答過程】對A，x,yx?y=?1對B，x,y|y=x?1+1?x中x?1≥01?x≥0對C，xx=對D，x?1<x<2,x∈故選：D.2．（2023春·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期中）設(shè)Q所示有理數(shù)集，集合X=xx=a+b2,a,b∈Q,x≠0，在下列集合中：①2xx∈X；②x2x∈X；③1A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【解題思路】根據(jù)集合相等的含義，逐一分析①②③④，即可得答案【解答過程】對于①：集合2xx∈X，則2(a+b解得p=2a,q=2b，即a=p2,b=對于②：集合x2x∈X，則a+b2對于③：集合1xx∈X，1a+b對于④：?1?2∈X，但方程?1?2=x2無解，則故選：D.3．（2023春·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）判斷下列集合A、B是否表示同一集合，若不是，請說明理由.(1)A=2,4,6，B=(2)A=2,3，B=(3)A=x|x>3，B=(4)A=y|y=2x,x∈R，【解題思路】根據(jù)同一集合的概念，逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】（1）A=2,4,6，B=（2）2,3，3,2表示不同的點(diǎn)，故A=2,3（3）A=x|x>3，B=（4）不是同一集合，A是數(shù)集，B是點(diǎn)集.4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)A=x,x2,xy,B={1,x,y}，且A=B【解題思路】根據(jù)集合中的元素對應(yīng)相等，結(jié)合互異性即可分情況求解.【解答過程】由于B={1,x,y}，所以x≠1,且y≠1，若集合A中x2=1，則x=?1，此時A=?1,1,?y,B={1,?1,y}，由A=B得若集合A中xy=1，則x2=y，此時xy=x綜上可知x=?1,y=0.題型4題型4集合間關(guān)系的判斷1．（2023春·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期中）如果集合S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k?2,k∈Z}，則（

）A．S?≠T B．T?S C．S=T【解題思路】先將兩集合元素表示形式統(tǒng)一，再比較確定包含關(guān)系.【解答過程】由S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k?2,k∈Z}={x|x=3k?1令t=k?1，則t∈Z，所以T={x|x=3t+1,t∈Z}，由于N?≠Z故選：A.2．（2023秋·高一課時練習(xí)）若集合A=x|x=2k+1,k∈Z，B=x|x=2k?1,k∈Z，A．C?≠A=BC．A=B?≠C【解題思路】將集合A,B,C改寫成形式統(tǒng)一的格式，再判斷其表示數(shù)集的范圍即可得出其關(guān)系.【解答過程】已知A=x|x=2k+1?1,k∈Z，顯然k,k+1可表示整數(shù)，而2k只能表示偶數(shù)；所以C?故選：A．3．（2023·全國·高一課堂例題）指出下列各組集合之間的關(guān)系：(1)A=x?1<x<5，(2)A=xx=2n,n∈Z，(3)A=xx2【解題思路】（1）利用數(shù)軸即可判斷集合關(guān)系；（2）利用集合所表示的含義即可判斷；（3）求出集合A,B即可判斷.【解答過程】（1）在數(shù)軸上表示出集合A，B，如圖所示，由圖可知B?（2）∵集合A是偶數(shù)集，集合B是4的倍數(shù)集，∴B?（3）A=xx2?x=0=0,1．在集合當(dāng)n為偶數(shù)時，x=1+?1n2=14．（2023秋·高一課時練習(xí)）指出下列各組集合之間的關(guān)系：①A=?1,1，B=②A=xx是等邊三角形}，B=x③M=xx=2n?1,n∈N【解題思路】①利用集合的元素類型可判斷集合A、B的包含關(guān)系；②利用集合包含關(guān)系的定義可判斷集合A、B的包含關(guān)系；③利用列舉法可判斷集合M、N的包含關(guān)系.【解答過程】①集合A中的元素是數(shù)，集合B中的元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與B之間無包含關(guān)系；②等邊三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角形，故A?③由列舉法知M=1,3,5,7,9,?，N=3,5,7,9,?，所以題型5題型5集合的運(yùn)算1．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考期末）已知集合A=x?4<x≤2，B=xA．0,1,2 B．?1,0,1,2 C．x?4<x≤4 D．【解題思路】根據(jù)集合的交集的運(yùn)算求出答案即可．【解答過程】解：∵A=x?4<x≤2，∴A∩B=x故選：D．2．（2023秋·黑龍江·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合U=?2,?1,0,1,2，A=x∈N?2<x<3，則A．? B．?2,?1 C．?2,?1,0 D．?2,2【解題思路】根據(jù)集合補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.【解答過程】因?yàn)锳=x∈所以?UA=故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合A={x|3≤x<7},B={x|0<x<5},C={x|2<x<10}，求A∩B,B∪C,?【解題思路】根據(jù)集合交集、并集和補(bǔ)集的概念與運(yùn)算，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【解答過程】由集合A={x|3≤x<7},B={x|0<x<5},C={x|2<x<10}，可得A∩B={x|3≤x<5}，B∪C={x|0<x<10}，由補(bǔ)集的概念與運(yùn)算，可得?CA={x|2<x<3或4．（2023秋·河南信陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合S=x1<x≤7，A=x(1)A∩B，A∪B；(2)?S【解題思路】（1）利用交集、并集的定義可求得集合A∩B、A∪B；（2）求出集合?SA、?S【解答過程】（1）解：因?yàn)锳=x2≤x<5，則A∩B=x3≤x<5，（2）解：因?yàn)槿疭=x1<x≤7，A=x則?SA=x1<x<2或5≤x≤7，因此，?SA∩題型6題型6判斷命題的真假1．（2023秋·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）下列命題是真命題的是（

）A．若兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形全等B．若平行四邊形的對角線相等，則這個四邊形是矩形C．存在一個實(shí)數(shù)x，使得xD．所有可以被5整除的整數(shù)，末尾數(shù)字都是0【解題思路】根據(jù)題意，對各選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解答過程】若兩個三角形的面積相等，由三角形的面積公式可得這兩個三角形底與高的乘積相等，所以兩個三角形不一定全等，故A錯誤；由矩形的定義可知，若平行四邊形的對角線相等，則則這個四邊形是矩形，故B正確；因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)，x≥0所有可以被5整除的整數(shù)，末尾數(shù)字都是0或者5，故D錯誤；故選：B.2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）下列命題：①矩形既是平行四邊形又是圓的內(nèi)接四邊形;②菱形是圓的內(nèi)接四邊形且是圓的外切四邊形;③方程x2④周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等;⑤集合A∩B是集合A的子集，且是A∪B的子集．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)矩形以及菱形的性質(zhì)即可判斷①②，根據(jù)一元二次方程的判別式即可判斷③，根據(jù)三角形全等的判斷即可判斷④，根據(jù)集合的關(guān)系即可判斷⑤.【解答過程】對于①，矩形是平行四邊形，同時矩形有外接圓，故正確;對于②，菱形不一定有外接圓，故錯誤，對于③，方程x2?3x?4=0的判別式為對于④，周長或者面積相等的三角形不一定全等，故錯誤，對于⑤，A∩B?A,A?A∪B,故正確;故選：C．3．（2021·高一課時練習(xí)）判斷下列命題的真假：（1）若a=b，則a2（2）若a2=b（3）全等三角形的面積相等（4）面積相等的三角形全等.【解題思路】依次判斷即得.【解答過程】（1）當(dāng)a=b時，顯然有a2（2）當(dāng)a=1，b=?1時，a2=b2=1（3）由全等三角形的定義可知，當(dāng)兩個三角形全等時，這兩個三角形的面積一定相等，命題為真.（4）如圖，直角三角形ABC與三角形A14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假．(1)偶數(shù)不能被2整除；(2)當(dāng)a?12+b?1(3)兩個相似三角形是全等三角形．【解題思路】逐項(xiàng)判斷即可得解.【解答過程】（1）若一個數(shù)是偶數(shù)，則它不能被2整除，根據(jù)偶數(shù)的定義可知，偶數(shù)能被2整除，為假命題；（2）若a?12+b?1要想滿足a?12+b?12=0（3）若兩個三角形是相似三角形，則這兩個三角形是全等三角形，兩個三角形相似，則形狀相同，但大小不一定相等，故不一定全等，為假命題.題型7題型7充分條件、必要條件及充要條件的判定1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知a,b∈R，則“a>b”是“a2>bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】通過反例可說明充分性和必要性均不成立，由此可得結(jié)論.【解答過程】當(dāng)a=0，b=?2時，滿足a>b，此時a2當(dāng)a=?2，b=0時，滿足a2>b∴a>b?a2>∴“a>b”是“a2故選：D.2．（2023秋·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）已知p：0<x<2，那么p的一個充分不必要條件是（

）A．1<x<3 B．?1<x<1C．0<x<1 D．0<x<3【解題思路】利用集合的關(guān)系，結(jié)合充分條件、必要條件的定義及判定，即可求解.【解答過程】對于A中，由1<x<3，則0<x<2不一定成立，反之：若0<x<2，則1<x<3不一定成立，所以1<x<3是0<x<2的即不充分也不必要條件，所以A不符合題意；對于B中，由?1<x<1，則0<x<2不一定成立，反之：若0<x<2，則?1<x<1不一定成立，所以?1<x<1是0<x<2的即不充分也不必要條件，所以B不符合題意；對于C中，由0<x<1，則0<x<2成立，反之：若0<x<2，則0<x<1不一定成立，所以0<x<1是0<x<2的充分不必要條件，所以C符合題意；對于D中，由0<x<3，則0<x<2不一定成立，反之：若0<x<2，則0<x<3成立，所以0<x<3是0<x<2的即必要不充分條件，所以D不符合題意.故選：C.3．（2023·全國·高一課堂例題）若p是r的充分不必要條件，r是q的必要條件，r又是s的充要條件，q是s的必要條件，則s是p的什么條件？【解題思路】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，直接判斷即可求解.【解答過程】因?yàn)閜是r的充分條件，所以由p能推出r；又r是s的充要條件，所以由r能推出s；因此由p能推出s，即s是p的必要條件；因?yàn)閜是r的不必要條件，所以r不能推出p；又r是s的充要條件，所以由s能推出r；因此s不能推出p，所以s是p的必要不充分條件.4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）指出下列各組命題中，p是q的什么條件（充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件）．(1)p:數(shù)a能被6整除，q:數(shù)a能被3整除；(2)p:x>1，q:x(3)p:△ABC有兩個角相等，q:△ABC是正三角形；(4)a,b∈R，p:ab=ab，【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義，逐項(xiàng)判定即可得解.【解答過程】（1）因?yàn)椤皵?shù)a能被6整除”能推出“數(shù)a能被3整除”，所以p?q，但“數(shù)a能被3整除”推不出“數(shù)a能被6整除”，如a=9，所以q?所以p是q的充分不必要條件.（2）因?yàn)閤>1能推出x2>1，即但當(dāng)x2>1時，如x=?2，推不出x>1，即所以P是q的充分不必要條件.（3）因?yàn)椤啊鰽BC有兩個角相等”推不出“△ABC是正三角形”，因此p?但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有兩個角相等”，即q?p，所以p是q的必要不充分條件.（4）因?yàn)閍b=0時，ab=ab所以“ab=ab”不能推出“ab>0”，即p而當(dāng)ab>0時，有ab=ab，即q?p所以p是q的必要不充分條件.題型8題型8全稱量詞命題與存在量詞命題的真假1．（2023秋·四川眉山·高三校考開學(xué)考試）下列命題中，是真命題且是全稱命題的是（

）A．對任意實(shí)數(shù)a，b，都有aB．梯形的對角線不相等C．?D．所有的集合都有子集【解題思路】根據(jù)全稱量詞定義可知A，B，D為全稱量詞命題，進(jìn)而根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)梯形的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)子集的定義可判斷D選項(xiàng).【解答過程】根據(jù)全稱命題的定義可知，全稱命題有A，B，D三項(xiàng)，C為特稱命題，對于A，有a2對于B，梯形的對角線不一定相等，故B為假命題；對于D，根據(jù)子集的定義可知，D為真命題.故選：D.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）以下四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是（

）A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角 B．至少有一個實(shí)數(shù)x，使xC．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù) D．存在一個負(fù)數(shù)x，使1【解題思路】判斷ACD為假命題，B是存在量詞命題又是真命題，得到答案.【解答過程】對選項(xiàng)A：銳角三角形中的內(nèi)角都是銳角，所以A為假命題；對選項(xiàng)B：是存在量詞命題，當(dāng)x=0時，x2對選項(xiàng)C：3+對選項(xiàng)D：對于任何一個負(fù)數(shù)x，都有1x故選：B.3．（2023秋·高一課時練習(xí)）判斷下列命題的真假.(1)?x∈R，x(2)?x∈Z，使3x+4=5(3)至少有一組正整數(shù)a，b，c滿足a2【解題思路】根據(jù)全稱命題以及存在量詞命題的真假的判斷，一一判斷各小題，即可得結(jié)論.【解答過程】（1）當(dāng)x=?1時，x2+2x+1=0，故?x∈R（2）由于3x+4=5成立時，x=13?Z，因而不存在所以存在量詞命題“?x∈Z，使3x+4=5（3）由于取a=1,b=1,所以存在量詞命題“至少有一組正整數(shù)a，b，c滿足a24．（2023秋·全國·高一隨堂練習(xí)）判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并判斷其真假性.(1)對所有的正實(shí)數(shù)t，t為正且t<t(2)存在實(shí)數(shù)x，使得x2(3)存在實(shí)數(shù)對(x,y)，使得3x?4y?5>0；(4)角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等.【解題思路】（1）根據(jù)全稱量詞的定義可得命題為全稱量詞命題，取t=1，可得命題為假命題；（2）根據(jù)全存在量詞的定義可得命題為存在量詞命題，根據(jù)判別式可得命題為真命題；（3）根據(jù)全存在量詞的定義可得命題為存在量詞命題，取實(shí)數(shù)對(2,0)，可得命題為真命題；（4）根據(jù)全稱量詞的定義可得命題為全稱量詞命題，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得命題為真命題.【解答過程】（1）為全稱量詞命題，且為假命題，如取t=1，則t<t（2）為存在量詞命題，且為真命題，因?yàn)榕袆e式Δ=（3）為存在量詞命題，且為真命題，如取實(shí)數(shù)對(2,0)，則3x?4y?5>0成立.（4）為全稱量詞命題，且為真命題，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷.題型9題型9命題的否定1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）命題“?x∈R，x2?2xA．?x∈R，x2?2x<0 C．?x∈R，x2?2x≥0 【解題思路】由全稱命題的否定可以直接得出結(jié)果.【解答過程】由全稱命題的否定可知：原命題的否定為?x∈R,x故選：A.2．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知命題?p：?a∈R，aπ?A．p：?a?R，aπ?πa>0 C．p：?a∈R，aπ?πa≤0 【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷即可.【解答過程】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以?p：?a∈R，aπ?πa>0的否定是故選：D.3．（2023秋·高一課時練習(xí)）寫出下列各命題的否定.(1)p：對任意的正數(shù)x，x>x?1(2)q：三角形有且僅有一個外接圓；(3)r：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于180°；(4)s：有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù).【解題思路】依據(jù)命題否定的定義，即可得出各命題的否定.【解答過程】（1）?p：存在正數(shù)x0，使x（2）?q：存在一個三角形有兩個或兩個以上的外接圓或沒有外接圓.（3）?r：所有三角形的內(nèi)角和小于或等于180°.（4）?s：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù).4．（2023·全國·高一課堂例題）寫出下列命題的否定，并判斷其真假．(1)?x∈R，x+1?x≠0(2)?a∈R，一次函數(shù)y=x+a的圖象經(jīng)過原點(diǎn)；(3)每一個素數(shù)都是奇數(shù)；(4)某些平行四邊形是菱形；(5)可以被5整除的數(shù)，末位上是0．【解題思路】根據(jù)存在量詞命題與全稱量詞命題的否定逐一寫出結(jié)果.【解答過程】（1）命題的否定：?x∈R，x+1?x=0（2）命題的否定：?a∈R，一次函數(shù)y=x+a圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，是假命題．（3）命題的否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)，是真命題，比如2是素數(shù)但不是奇數(shù)．（4）命題的否定：每一個平行四邊形都不是菱形，是假命題．（5）命題的否定：存在一個被5整除的數(shù)，末位上不是0，是真命題．題型10題型10利用不等式的性質(zhì)判斷正誤1．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知a>b,c>d，且cd≠0，則（

）A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)c>bcC．a(chǎn)?c>b?d D．a(chǎn)+c>b+d【解題思路】利用不等式的性質(zhì)判斷.【解答過程】a，b，c，d的符號未確定，排除A、B兩項(xiàng)；同向不等式相減，結(jié)果未必是同向不等式，排除C項(xiàng)；由同向不等式的可加性，D選項(xiàng)正確.故選：D.2．（2023秋·安徽滁州·高一?？计谀┤绻鸻，b，c，d∈R，則正確的是（

A．若a>b，則1a<1b C．若a>b,ab≠0，則1ab2>1【解題思路】舉例說明ABD是錯誤的，用作差法證明C是正確的．【解答過程】取a=1，b=?1，則取c=0，則ac由于a>b，所以1ab2取a=2，b=?1，c=0，d=?2，則ac=0，bd=2，ac<bd，故D錯誤.故選：C．3．（2023·高一課時練習(xí)）對于實(shí)數(shù)a,b,c,判斷下列命題的真假:(1)若a>b,則ac<bc;(2)若ac2>b(3)若a<b<0,則|a|>|b|.【解題思路】找到命題的反例即可推得假命題；利用不等式的性質(zhì)即可證明真命題【解答過程】解:(1)由于c的符號未知,當(dāng)c=0時,ac=bc,故該命題是假命題；(2)∵ac∴c≠0,∴c2>0∴ac∴a>b.故該命題為真命題；(3)∵a<b<0,∴?a>?b>0,∵a=?a,∴a>4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論是否成立？若成立，試說明理由；若不成立，試舉出反例．(1)如果c?a>c?b，那么a<b；(2)若ab>c，b>0，則a>c(3)若ac>bc，則a>b；(4)若a>b，c>d，則a?c>b?d．【解題思路】由不等式的性質(zhì)判斷（1）（2）成立，取特殊值判斷（3）（4）不成立.【解答過程】(1)∵c?a>c?b，∴?a>?b，∴a<b，故成立.(2)∵ab>c，b>0,∴ab?1即a>c(3)取a=1,b=2,c=?1時，滿足ac>bc，但是a>b不成立.(4)取a=1,b=0,c=3,d=?1，滿足a>b，c>d，但是a?c>b?d不成立.題型11題型11由基本不等式比較大小1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知a、b為正實(shí)數(shù)，A=a+b2,A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤H D．H≤A≤G【解題思路】利用基本不等式計算出H≤G≤A.【解答過程】因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以A=a+b2≥2H=1a+綜上：H≤G≤A.故選：B.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱．一位顧客到店里購買10g，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的交給顧客．你認(rèn)為顧客購得的附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時有m1L1=m2L2，其中A．等于10g B．小于10g C．大于10【解題思路】設(shè)天平左臂長x1，右臂長x2，且x1≠x2，根據(jù)已知條件求出a1【解答過程】設(shè)天平左臂長x1，右臂長x2，且設(shè)天平右盤有a1克，天平左盤有a2克，所以所以a1=5x1故選：C．3．（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知對于正數(shù)a、b，存在一些特殊的形式，如：a2+b2a+b【解題思路】利用基本不等式可得出a2+b2a+b【解答過程】解：a2因?yàn)閍、b均為正數(shù)，由基本不等式可得a2則2a2+b2由上可知a2+b2≥所以，a2綜上所述，a2+b4．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價，產(chǎn)品生產(chǎn)者決定根據(jù)這兩種原料提價的百分比，對產(chǎn)品分兩次提價，現(xiàn)在有三種提價方案：方案甲：第一次提價p%，第二次提價q%；方案乙：第一次提價q%，第二次提價p%；方案丙：第一次提價p+q2%，第二次提價其中p>q>0，比較上述三種方案，哪一種提價少？哪一種提價多？【解題思路】不妨設(shè)提價前的價格為1，分別計算三種方案兩次提價后的價格，利用均值不等式比較即可.【解答過程】不妨設(shè)提價前的價格為1，則方案甲：兩次提價后的價格為：(1+p%)(1+q%)=1+p%+q%+0.01pq%，方案乙：兩次提價后的價格為：(1+q%)(1+p%)=1+p%+q%+0.01pq%，方案丙：(1+p+q由于p>q>0，由均值不等式p+q≥2pq，當(dāng)且僅當(dāng)p=q時等號成立故(p+q2)2≥pq因此方案丙提價最多，方案甲、乙少，且提價一樣.題型12題型12利用基本不等式求最值1．（2023秋·新疆伊犁·高三?？茧A段練習(xí)）已知x>3，則y=x+1x?3的最小值為（A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】根據(jù)x的取值范圍，利用基本不等式即可求出y=x+1【解答過程】已知x>3，則x?3＞所以y=x+1當(dāng)且僅當(dāng)x?3=1x?3=1此時最小值為5.故選：B.2．（2023秋·廣東中山·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=3，則下列說法錯誤的是（

）A．yx+3y的最小值為4 C．x+2y的最大值為2 D．x【解題思路】根據(jù)基本不等式以及“1”的妙用判斷各選項(xiàng).【解答過程】對于A，yx+3對于B，xy=12?x?2y≤12對于C，(x則x+2y≤6，當(dāng)且僅當(dāng)對于D，x2+4y故選：C.3．（2023秋·山東臨沂·高一?？奸_學(xué)考試）求下列代數(shù)式的最值(1)已知x>1，求fx(2)已知x>0,y>0，且滿足8x+1【解題思路】（1）x+4（2）x+2y=8x+【解答過程】（1）因?yàn)閤>1,則x?1>0,所以x+4x?1=x?1+當(dāng)且僅當(dāng)x?1=4x?1時,即所以x+4（2）因?yàn)閤>0,y>0,8所以x+2y=8x+當(dāng)且僅當(dāng)8x+1所以當(dāng)x=12,y=3時,(x+2y)min4．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+b=ab．(1)求a+2b的最小值；(2)求ab的最小值．【解題思路】運(yùn)用基本不等式求解.【解答過程】（1）因?yàn)?a+b=ab，所以1aa+2b=a+2b當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時，等號成立；（2）因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù)，所以ab>0，又2a+b=ab≥22ab，所以(ab)2?8ab≥0當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=4時，等號成立；綜上，a+2b的最小值為9，ab的最小值為8.題型13題型13一元二次不等式的解法1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式?x2+3x+10>0A．{x|?2<x<5}B．{x|x<?2C．{x|?5<x<2}D．{x|x<?5【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解.【解答過程】由?x2+3x+10>0，得x2?3x?10<0所以不等式的解集為x?2<x<5故選：A.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式ax2?A．{x|2a≤x≤1}C．{x|x≤2a或【解題思路】首先不等式轉(zhuǎn)化為x?1ax?2≥0，再根據(jù)【解答過程】原不等式可以轉(zhuǎn)化為：x?1ax?2當(dāng)a<0時，可知(x?2a)(x?1)≤0，對應(yīng)的方程的兩根為1，所以不等式的解集為：x2故選：A.3．（2023秋·貴州黔東南·高一校考階段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庀铝幸辉畏匠?(1)x2(2)2x(3)x2(4)x2【解題思路】（1）因式分解得出解集即可；（2）根據(jù)判別式為負(fù)得出解集為空；（3）因式分解得出解集即可；（4）因式分解得出解集即可；【解答過程】（1）由x2?2x+1=0，即x?12=0，可得（2）由2x2+4x+3=0,（3）由x2?4x?12=0，即x?6x+2=0，可得x=6或（4）由x2?6x?91=0，即x?13x+7=0，可得x=13或4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：(1)a(2)(a?1)x+(2?a)【解題思路】（1）分解因式并含參討論解不等式即可；（2）將分式不等式化為整式不等式，含參討論即可.【解答過程】（1）ax若a=0，ax?2x?2=?2x?2若a≠0，則不等式可化為：a①若a<0，則2a<2，解不等式得x<②若a∈0,1，則2a>