當零點問題遇到函數(shù)同構(gòu)函數(shù)同構(gòu)問題是當下的一個熱門問題，2022，2020,的導(dǎo)數(shù)問題就可以從同構(gòu)角度構(gòu)造恒成立.同構(gòu)問題常見于指對混合函數(shù)的恒成立或零點問題中，重在觀察和變形，所以技巧性較強.當然這類指對混合函數(shù)的恒成立也可用其他方法完成，在這里學(xué)習(xí)同構(gòu)，更多的是提升觀察與思維能力.一．基本原理1.解決指對混合不等式時，常規(guī)的方法計算復(fù)雜，則將不等式變形為的結(jié)構(gòu)，即為外層函數(shù)，其單調(diào)性易于研究.常見變形方式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤.1.直接變形：（1）積型：（同左）；（同右）；（取對數(shù)）.說明：取對數(shù)是最快捷的，而且同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知.（2）商型：（同左）；（同右）；（取對數(shù)）.（3）和差型：（同左）；（同右）.2.先湊再變形：若式子無法直接進行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以，同加上等，再用上述方式變形.常見的有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③④⑤2.多變量同構(gòu)型零點的基本規(guī)律2.1.，圖象如下，左端為，右端為.性質(zhì)：（1）；（2）同構(gòu)特性：（3）若方程存在三個實數(shù)根，分別記為，則有（4）若方程存在四個實根，記為，且有，則有：2.2.，圖象如下：，左端為，右端為.性質(zhì)：（1）；（2）同構(gòu)特性：（3）若方程存在三個實數(shù)根，分別記為，則有（4）若方程存在四個實根，記為，且有，則有：二．典例分析例1.（2023屆成都）已知函數(shù)，其中，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，函數(shù)恰有兩個零點，求a的取值范圍．解析：（1）當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）函數(shù)恰有兩個零點，等價于方程有兩個不等的實數(shù)解．∵，，，令，則．令，則．∴當時，；當時，．∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∵，∴方程有唯一解．∴方程有兩個不等的實數(shù)解等價于方程有兩個不相等的實數(shù)解．等價于方程有兩個不相等的實數(shù)解．構(gòu)造函數(shù)，則．∵，∴當時，；當時，．∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∵，；，．∴只需要，即．構(gòu)造函數(shù)，則．∴當時，；當時，．函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∵，當時，恒成立．∴a的取值范圍為．例2．（2022屆武漢二調(diào)）已知函數(shù)，其中.（1）當時，求的最小值；（2）討論方程根的個數(shù).解析：（1）的最小值是.（2）由題，，則，即.所以.由，得.當時，；當時，；所以，在上遞減；在上遞增.又因為，所以，當且僅當或.又，故和不可能同時成立.所以方程根的個數(shù)是兩函數(shù)和的零點個數(shù)之和，其中當時，函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)換為直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，，令，即，解得.當易知時，,單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增；在處取得最小值為，所以時，直線與函數(shù)圖象無交點，函數(shù)無零點；時，直線與函數(shù)圖象有一個交點，函數(shù)有1個零點；時，直線與函數(shù)圖象有2個交點函數(shù)，有2個零點.同理：函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，設(shè)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在處的函數(shù)值為，所以故時，在上必有1個零點.綜上所述，時，方程有1個根；時，方程有2個根；時，方程有3個根.例3.（2022全國新高考1卷）已知函數(shù)和有相同的最小值.（1）求；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.解析：（2）由（1）可得，的最小值在處取到，的最小值在處取到，且最小值均為1.于是,在上增，在上減，則存在，使得.這樣的話，令,且直線與兩條曲線和共有三個不同的交點.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）另一方面，注意到，考慮函數(shù)，則.設(shè)直線與兩條曲線和從左到右的三個交點橫坐標為.且有.由上述討論可知：，故①，同理，由②可得：.又因為③聯(lián)立①，②，③可得：，即從左到右的三個交點橫坐標成等差數(shù)列.三．習(xí)題演練習(xí)題1．已知函數(shù)和有相同的最大值.（1）求a；（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.解析：（1）；（2）由（1）知，由于時，，時，，因此只有才可能滿足題意，記，且，由（1）得在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以存在，使得，設(shè)，則，設(shè)，則，時，，遞減，時，，遞增，所以，所以，是增函數(shù)，時，，，又，所以存在，使得，即此時與有兩個交點，其中一個交點在內(nèi)，另一個交點在內(nèi)，同理與也有兩個交點，其中一個交點在內(nèi)，另一個交點在內(nèi)，若與和共有三個不同的交點，則其中一個交點為兩條曲線和的公共點，記其橫坐標為，令，則，記與的三個交點的橫坐標從左到右依次為，且滿足，且，即，又，且，且在和上分別單調(diào)，所以，即，所以為的等比中項，所以從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.習(xí)題2．已知函數(shù)和有相同的最大值.（1）求實數(shù)；（2）設(shè)直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標分別為，證明：.解析：（1）（2）由，由，令,當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，至多兩個零點，令，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；至多兩個零點.令，當時，，所以；當時，由，設(shè)，，所以當時，，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，且，所以，設(shè)當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，方程無解，當時，由在上單調(diào)遞增，方程有唯一