重難點03指、對、幕數(shù)比較大小問題(舉一反三專項訓(xùn)練)

【全國通用】

題型歸納

【題型1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】...........................................................2

【題型2中間值法比較大小】....................................................................3

【題型3特殊值法比較大小】....................................................................4

【題型4作差法、作商法比較大小】.............................................................6

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】..................................................................7

【題型6數(shù)形結(jié)合法比較大小】.................................................................10

【題型7利用基本不等式比較大小】............................................................12

【題型8放縮法比較大小】.....................................................................14

【題型9利用函數(shù)的綜合性質(zhì)比較大小】.........................................................16

命題規(guī)律

1、指、對、基數(shù)的大小比較問題

指數(shù)與對數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個重要的知識點，從近幾年的高考情況來看，指、對、幕數(shù)的大小比較是

高考重點考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點問題，主要涉及指數(shù)與對數(shù)的互化、指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，以

及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和暴函數(shù)的性質(zhì)等知識，一般以選擇題或填空題的形式考查，難度不大.這類問題的

主要解法是利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象來求解，解題時要學(xué)會靈活求解.

方;版巧

知識點指、對、幕數(shù)比較大小的一般方法

1.單調(diào)性法：當兩個數(shù)都是指數(shù)幕或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)的函數(shù)值，

然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同,指數(shù)不同時,如〃和利用指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)的單調(diào)性；

②指數(shù)相同,底數(shù)不同時,如占”和其，利用幕函數(shù)y=x"單調(diào)性比較大?。?/p>

③底數(shù)相同,真數(shù)不同時,如log”網(wǎng)和log0馬，利用指數(shù)函數(shù)log.X單調(diào)性比較大小.

2.中間值法：當?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其它

能判斷大小關(guān)系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進行大小關(guān)系的判定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商,可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大??；

(2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法:

（1）估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

（2）可以對區(qū)間使用二分法（或利用指對轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構(gòu)造函數(shù)法：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律,

所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來比較大小.

6.放縮法：

（1）對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

（2）指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來放縮；

（3）利用均值不等式的不等關(guān)系進行放縮.

舉一反三

【題型1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】

【例1】（2025?天津?二模）已知Q=4.5&6,1=5.454,c-iOg455.4,則b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解題思路】利用指、對、幕的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過程】y=4.5%是增函數(shù)，4.5Va=4.54-5<4.554,

y=%s.4在（0,_|_8）是增函數(shù)，.?.b=5.414〉《占,"，故b>a>4.5,

???y=log45%在（0,+8）是增函數(shù)，c=log4.55.4<2<4,5,

即c<a<b,

故選：D.

15

【變式1-1]（2025?北京?三模）已知a=log2156=T，c=Q',則下面結(jié)論正確的是（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】c

【解題思路】由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得c<6<a,即可得解.

【解答過程】根據(jù)題意，a=log21,5>log2V2=3=b,

所以c<b<a.

故選：C.

08

【變式1-2]（2025?河北石家莊?三模）已知a=20-6,b=O.5,c=log20.9,則a,1c的大小關(guān)系為（

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【解題思路】依據(jù)y=log2%，y=2X,y=0.5》的單調(diào)性比較a,b,c與0,1的大小關(guān)系即可.

【解答過程】因為y=log2%單調(diào)遞增,所以c=log20.9<log2l=0,

因為y=2,單調(diào)遞增，所以a=2。，6>2。=1,

因為y=0.5尢單調(diào)遞減，所以b=O,50-8<0.5°=1,且b>0

所以a>b>c,

故選：D.

【變式1-3]（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測）若a=0.5。%b=0.4。%c=51og302,則（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【解題思路】根據(jù)幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間值法比較大小即可.

【解答過程】因為函數(shù)y=在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=log3°工在（0,+8）上單調(diào)遞增，

y=0.5*在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以6=O.4002<O.5002<O.5001=a<1,

c=51og302=log302s_log3032>log3030=1,所以b<a<c.

故選：D.

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（2025?福建漳州?模擬預(yù)測）若。=2024°2。25,b=log2024^,c=sin康則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

【答案】c

【解題思路】通過中間值0,1即可比較大小.

【解答過程】易知a=2O240-2025>2024°=1,

b=l°g20247777<l°g20241=

所以a>c>b,

故選：C.

【變式2-1]（2025?天津?二模）設(shè)a=3一°1，b-log35,c=log遮2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

【解題思路】通過中間值1,和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

【解答過程】。=3-。3<3°=1,

b=log35>log33=1,

2

c=logvs=1°g34>log33=1,

再結(jié)合y=log3%的單調(diào)性可知：Iog35>log?*即b>c,

所以a<c<6,

故選：D.

12

【變式2-2](2025?天津?一模)若a=2.2'3,b=0.3,c=log30.3,則()

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解題思路】根據(jù)指對數(shù)和中間值1和0比較大小，即可判斷.

0312

【解答過程】a=1.2>1,b=0.3￡(0,1),c=log30.3<0,

所以c<6<a.

故選：A.

09

【變式2-3](2025?河北秦皇島?二模)已知a=log2678,b=1.25,c=log918,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用中間值法，可得答案.

【解答過程】由題a=log26(3x26)=log263+1>log273+1=1+

c=log9(2x9)=1+log92<1+log82=1+-,且c=1+log92>1+log162=1+

b=1.2509<1.251=14-i,

4

綜上，6<l+-<c<l+-<a,即a>c>b.

43

故選：B.

【題型3特殊值法比較大小】

[例3]（2025?陜西商洛?模擬預(yù)測）設(shè)a=log050.6,b=0.49-。汽c=0.6-。巴則q,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【解題思路】利用幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值判定即可.

【解答過程】因為y=logosX在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以logos1<logo.50,6<logo.50-5,即0<a<1.

因為y=%。6在(0,+00)上單調(diào)遞增，又0.49-63=0.7-0.6=06-0.6=(|)*

又所以0°.6>(三)°.6>1。巴故c>b>L所以c>b>a.

故選：A.

【變式3-1](2025?西藏林芝?模擬預(yù)測)已知久=ln3,y=logs31z=e-5,貝|()

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

【答案】D

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助媒介數(shù)比較大小.

【解答過程】依題意，%=ln3>l,y=log5^<log5V5=而z=e"=i>；且2<1,

52y/e2

所以y<z<x.

故選：D.

【變式3-2](2025?天津紅橋?二模)若a=(|f,fa=logi|,c=則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

【答案】c

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，并借助媒介數(shù)比較大小.

【解答過程】b=logij>logi|=1,a=(|)3=[(|)4戶=端)五>(2)五=G)Z=C,而。=(|)3<1,

所以mb,c的大小關(guān)系為b>a>c.

故選：C.

3

【變式3-3](2025?江西贛州?一模)已知>23,記a=log73,b=10gli5,c=log237,則()

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】C

【解題思路】利用指數(shù)和對數(shù)運算，先估算出ce的取值范圍，再用對數(shù)運算來估算a<(和b>|,即

可得到判斷.

1

【解答過程】由換底公式等價變形得：a=log73^=logu5,c=log237=,

10g7Z3

3

因為75>233,兩邊取以7為底的對數(shù)可得：5>log723=31og723log723<|,

22

又因為73=343<529=23,兩邊取以7為底的對數(shù)可得：3<log723=21og723=log723>|,

可知c=f

log723\53/

3

由3b=310gli5=log115=log11125>log11121=logulM=2,可得b>|,

53

由5Q=51og73=log73=log7243<log7343=log77=3,可得Q<|,

從而可得a<c<b,

故選：C.

【題型4作差法■作商法比較大小】

【例4】(2025?廣東?模擬預(yù)測)已知a=logs%以=logoRSc=log?2,則()

A.b<a<cB.b<c<a

C.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解題思路】利用作差法與對數(shù)的運算性質(zhì)即可判斷.

?__22o

22

【解答過程】由于a=log84=log232=又23<3,貝！]2<3^,c=log32<log333=-=a,即c<a.

3Jgf_lg2_lg3-lg5_lg2lg23-]g31g5Tg22+[g21g5

由于b-c=log2--log2=-

553lg|lg3lg2Tg5lg3(Ig2-lg5)lg3

0g3y)。g3:g2Tg5)<0n6<c,則b<c<a,

(Ig2-lg5)lg3

故選：B.

1

【變式4-1]（24-25高三上?四川綿陽?階段練習）已知a=b=lg4,c=log32,則(

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，則a>1,b<1,c<1,再利用作商得2<1,可得a>c>b.

c

【解答過程】a>G)=1,0=Igl<lg4<IglO=1,0=log3l<log32<log33=1,0<h<l,0<c<

1,

又c=~~21g3=lg9<IglO=1,b<c,：-a>c>b.

3lg3

故選：B.

【變式4-2](2025?浙江金華?二模)已知a=log32,b=log54,c=log98,貝!j()

A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【解題思路】利用對數(shù)換底公式以及運算性質(zhì)，利用作商法結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過程】由題意可知，0Va<1,0Vb<1,0VcV1.

則色=產(chǎn)=臀乂臀=^x畢=畢=臀VI,所以avb.

blog54lg3lg4lg321g221g3lg9

則2=皿=晝、亶=^x坨=維=幽vl,所以b<c.

clog98lg5lg8lg531g231g5lgl25

所以Q<b<c.

故選：D.

【變式4-3](2024?湖南岳陽?二模)設(shè)Q=log23,6=log35,c=log58,則()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出a>|,6<|,c<|,然后利用作差法比較b與c的大小關(guān)系即可.

【解答過程】因為32>23,所以Iog232>log223,即21嗚3>3,所以1嘀3>|,即a>|；

因為52<33,所以log352<log333,即210g36<3,所以log35<|,即b<去

因為82<53,所以10g582<10gs53,即210g58<3,所以log58<|,即c<會

8

又因為b-c=10g35-log58=嵩-logs8=i黑產(chǎn)'

且2/1嗝3,晦8<log53+log58=log524<log525=2,

所以log53?log58VL所以b-c>0,所以b>c；

綜上所述，a>b>c.

故選：A.

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】

【例5】(2025?陜西漢中?二模)若a=loggl/b=lgl5,c=21ogu4,則()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

【答案】c

【解題思路】先由對數(shù)的運算性質(zhì)變形a,b,c,再構(gòu)造函數(shù)/0)=嗯2029),然后求導(dǎo)分析單調(diào)性即可.

【解答過程】a=晉，b=罌，c=logll16=^

ln9InlO°jInll

構(gòu)造函數(shù)/(%)=華生(久29),則r(x)=xlnx-(x+5)ln(x+5)

x(x+5)(lnx)2

易證函數(shù)y=%lnx(x>9)為增函數(shù),

(yz=Inx+l,x>0,令y'=0=久=%所以汽6(±1)時，y為增函數(shù).)

所以%In%-(x+5)ln(x+5)<0(x>9),所以尸(%)<0,所以/(9)>f(以)>f(11),即a>b>c.

故選：C.

【變式5-1](2025?山西臨汾?二模)設(shè)a=ln09b=—jc=eS9,貝！J()

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)/(%)=1口%-%+1,求導(dǎo)可證明比％4％-1,即可求解a>b,進而根據(jù)指數(shù)以及對數(shù)

的性質(zhì)求解.

【解答過程】記/(%)=Inx-x+1,則廣(%)=|-1=

故當0<汽<1時，/(%)=7>0,故/(%)在(0,1)單調(diào)遞增,

當久>1時，/(%)=?<0,故/(%)在(L+8)單調(diào)遞減，

故/(%)=Inx-x+1</(I)=0,因此對任意的％>0,都有In%<%-1,

當且僅當％=1時取到等號，

故1口竺<故—ln2<-=>ln0,9>-故a>b,

991099

由于a=ln0,9<0,b=—^<0,c=e0,9>0,因此c>a>b,

故選：A.

1r

【變式5-2](2025?遼寧?二模)已知a=31nl.5,1=囪c=「貝!I()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解題思路】由b-a=3+In(1-構(gòu)造函數(shù)f(%)=+ln(l-0<%V1,利用導(dǎo)數(shù)分析其

單調(diào)性，可得函數(shù)/(x)在(0,或-1)上單調(diào)遞增，結(jié)合/(0)=0可得fG)>0,進而得到6〉a,再通過比

較/和03的大小得到c>b,進而得出選項.

【解答過程】b—a—e3—31nl.5=3Qel—ln|)=3*eE+In(1—

設(shè)/(%)=xex+ln(l—%),0<%<1,

則r(x)=(x+l)ex+—=(L+1,

x—1x—1

設(shè)h(%)=(x2—l)ex+1,0<x<1,則h'(%)=(x2+2%—l)ex,

令九，(久)<0,得0<x<四—1,

所以函數(shù)九0)在(0,四一1)上單調(diào)遞減，又九(0)=0,

所以當％e(o,加-1)時，/i(%)<0,則廣(%)>0,

此時函數(shù)/(%)在(0,四一1)上單調(diào)遞增，又/(0)=0,

所以J0>0,則b—a=3[[e三+In(1—1)]>0,即b>a；

又川=ev3,c3=(j)=翳>3,則c>b,

所以c>b>a.

故選：D.

【變式5-3](2025?河南?模擬預(yù)測)已知a=e可b=",c=1+ln||,貝！Ja,瓦c的大小關(guān)系是()

1835

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】A

【解題思路】根據(jù)a=/b="式子結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)/(x)=ex-x-l,利用單調(diào)性判斷可得a<b,再令

5(%)=ln(x+l)-1^,%>0,求導(dǎo)判斷出單調(diào)性可得c>b,即可求得結(jié)果.

【解答過程】由a=e表,b=工可構(gòu)造函數(shù)f(%)=ex-x-l,

18

則/(%)=ex-1,令/'(%)=0,解得％=0,

因此可得當％6(0,+8)時，/(%)>0,即/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當工€(-8,0)時，f'(x)<0,即/(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

可知/(%)在％=0處取得極小值，也是最小值，所以/(%)>/(0)=0,

即e%>x+1,故e-%>—x+1,即2>1—x

當0<x<l時，有e，<二—，所以就<當=旦可得a<b；

1-x1---18

19

令g(x)=ln(x+1)———,x>0,

2

4_x0,

(x+2)2—(x+l)(x+2)2

故g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

可得9(%)>9(。)=0，即ln(%+1)>—,

2

?。?親貝小n《+l)>?l=M所以1+1碌>1+套=蘇可得c>b；

35

綜上可得，a<b<c.

故選：A.

【題型6數(shù)形結(jié)合法比較大小】

【例6】(2025?湖北荊州?模擬預(yù)測)已知alog2。=blnb=clog3c>0,則正數(shù)a,仇c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

【解題思路】通過將已知等式變形得到關(guān)于a、仄c的方程，然后將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點的橫坐標,

最后通過比較函數(shù)圖像交點的位置來確定a、b、c的大小關(guān)系.

【解答過程】設(shè)alog2@=b\nb=clog3c=k>0,由此log2。=：,lnb=log3c=%

a,8c分別為方程log2%=|jnx=|Jog3x=g的解，在同一坐標系作函數(shù)y=g的圖像，

分別與函數(shù)y=\og2x,y=\nx,y=log?%的圖像分別交于C,其橫坐標分別為a,b,c,

由圖可知。<b<c.

【變式6-1](2025?湖北黃岡?模擬預(yù)測)若a=log505b=5-65,c=k)g5.50.5,則()

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.b>c>a

【答案】D

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)圖象可得a<c<0,結(jié)合b>0即可得答案.

【解答過程】同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=logs%和y=logs.5%的圖象，如圖，

由圖可知log5（）?5<log550.5<0,

即Q<C<0,

又因為b=5-0-5>0,

所以力>c>a.

故選：D.

【變式6-2]（2024?河南?模擬預(yù)測）已知a=Imr,b=log3%c=V^ln2,貝!Ja,瓦c的大小關(guān)系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解題思路】

利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，嘉函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】e<3<7T,Aa=loge7T>log37r=b>log33=1,即Q>b>1,

???a=IRTT=ln（V7r）2/c=V^ln2=ln2近,

下面比較（歷）2與2赤的大小，構(gòu)造函數(shù)y=%2與y=2X,

由指數(shù)函數(shù)y=2%與幕函數(shù)y=/的圖像與單調(diào)性可知，

當xe（0,2）時，x2<2X；當xe（2,4）時，x2>2X

由x=A/TTe（0,2）,故（低）2<2后，故ln?r<ln2小，即a<c,

所以6<a<c,

故選：A.

【變式6-3]（2024?廣東茂名.統(tǒng)考一模）己知x,y,z均為大于0的實數(shù)，且乎=3〃=logsZ,則x,y,z大小關(guān)

系正確的是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【答案】C

【解題思路】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2\y=3\y=logsx與直線y=t>1的交點的橫坐標的關(guān)系,

再作出圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【解答過程】解：因為x,y,z均為大于0的實數(shù)，

y

所以2*-3—log5z—t>1,

進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x,y=3x,y=logs%與直線y=t>1的交點的橫坐標的關(guān)系，

故作出函數(shù)圖像，如圖，

由圖可知z>x>y

故選：C.

【題型7利用基本不等式比較大小】

【例7】（2025?廣東廣州?一模）已知a=|,38=5,5c=8,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】c

【解題思路】結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較a,b與a,c的大小，然后結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)及基本不等式比較b,c的

大小，即可求解.

【解答過程】由題意得b=log35,c=log58,

to3___

因為a=-=log332=log3v27>log35=b,即a>b,

3—/

a=-=log552=log5V125>log58,即a>c,

因為2=lg5lg5=(lg5)2(lg5)2=4(lg5)2=lf25

X21,所以力>C,

由"c-lg3lg8-Ig3xlg8,(睇;與2-ig224-lg24，

故Q>b>c.

故選：C.

【變式7-1]（2025?北京海淀?一模）已知四個數(shù)a=蛆產(chǎn)，b=Jlg2.lg5,c=lg2,d=lg5,其中最小的

是（）

A.aB.b

C.cD.d

【答案】c

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可求得0<lg2<lg5,再由基本不等式以及不等式性質(zhì)比較得出四個數(shù)的

大小，即可得出結(jié)論.

【解答過程】易知0<lg2<lg5,所以可得lg2<吟更<lg5,

即c<a<d；

再由基本不等式可得Jlg2.lg5<史譬，即b<a；

顯然lg2=Jlg2?lg2<Jlg2?lg5,即c<b；

因此可得c<b<a<d,即最小的是c.

故選：C.

【變式7-2]（2025?云南?一模）已知a=log32,b=log53,c=log85,貝b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較根據(jù)基本不等式比較仇C.

【解答過程】因為log23>log2V8=|jog35<log3V27=|,所以log??>log35>0,

所以[og3<10g5,即logs2<logs3,即“<b,

Iog3+log8'2=(10g524)2<],

又因為log53-log8<55

524

所以log53<-^―=log85,即b<c,

10gs8

綜上，a<b<c9

故選:A.

【變式7-3]（2025?陜西西安?模擬預(yù)測）若a=0.31L5,b=Iog3i2,c=log26,d=[-|,則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解題思路】由題意首先得0<a<1,d=—|<0,進一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+

log23>2,從而我們只需要比較Iog34,log23的大小關(guān)系即可求解，兩式作商結(jié)合基本不等式、換底公式即

可比較.

【解答過程】a=0.3115<0,31°=1,所以0VaVl,d=-|<0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=14-log23>2,

/In4+ln2,'、2

In44n2<~.)_(ln2偽:

又因為鬻=-<1,

In3-ln3In31n3(ln3)2

所以b<c,即d<a<b<c.

故選：B.

【題型8放縮法比較大小】

【例8】(2025?甘肅白銀?三模)若Q=log53,b=log5()18,c=lg6,則()

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】D

【解題思路】利用對數(shù)的運算和換底公式，適當放縮即可求解.

【解答過程】a=[嗝3=窿=|^<記=黑=1嗝。18=b,

c_1啊6_1臉3+1_210g23+2>21哂3+1_臉18_=b

50

-log210-log25+l-210g25+2'210g25+1-log250-^-'

所以。<b<C.

故選：D.

【變式8-1]（2025?天津南開?二模）已知a=logsVXb=log&3,c=2"貝！J（）.

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c

【答案】C

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來放縮估算大小，即可比較.

【解答過程】由。=log3V2<log33=1,

log3log3

b=log企3=------2--=―.2-=210g23=log9>log8=3,

log2V2A22

c=23>2°=1,c=23<21=2,

所以滿足b>c>a,

故選：C.

【變式8-2]（2025?四川樂山?三模）若a=log32,b=log43,c=e-2,貝！Ja,仇c的大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解題思路】利用放縮法可得a>J*>[c<利用作商比較法可得？=里等<,進而可得。<

222blgz3叫l(wèi)gz了3

b,可得結(jié)論.

-2

【解答過程】a=log32>log3V3=|,&=log43>log4V4=|,c=e<

所以則a>c,b>c,

又g_略2_Ig21g4vE（lg2+lg4）[2=lg28lg29=41g23_

22222

blog43lg3-lg341g341g341g3'

所以a<b,所以c<a<b.

故選：D.

【變式8-3]（2025?全國?模擬預(yù)測）已知a=g—VT73=64,c=log53—|log35,貝U（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【解題思路】采用放縮法和中間值比較大小，得到a<6<c.

【解答過程】因為。=內(nèi)一"7=方』<焉F=9，

V19+A/17?\/16+A/164

71、111,11M

b=6"=4/216>V256=41V216（病="故"C（丁力

C=log3-|log5=1log27-Jlog25>^log25-^log27'

5y3j5zf3j5v3joo

所以a<b<c.

故選：A.

【題型9利用函數(shù)的綜合性質(zhì)比較大小】

【例9】(2025?陜西商洛?三模)已知/(%)是偶函數(shù)，且/(%)在(-8,0］上單調(diào)遞增，則()

A./(log|3)>/(|)>/(0.901)B./(log|3)>/(0.901)>/(|)

C./(0.901)>/(log|3)>/(|)D./(0.901)>/(|)>/(logi3)

【答案】D

【解題思路】分析函數(shù)/Xx)在［0,+8)上的單調(diào)性，比較log工3、0.9。%:的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)

性可得出結(jié)果.

【解答過程】因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且/(%)在(-8,0］上單調(diào)遞增，則該函數(shù)在［0,+8)上為減函數(shù)，

因為log工3<logil=0,

22

所以，logi3=|log2-i3|=log23,且函數(shù)y=log2%在(0,+8)上為增函數(shù)，

2

所以，log23>10g22V2=|>1,

因為函數(shù)y=0./在R上為減函數(shù)，則0<O.901<0.9°=1,

01log3

故0<O.9<|<log23=log|3,且/。翼3)=/(||)=/Q°g23)，

01

所以，/(O.9)>/(|)>/(log23)=f(log|3),

故選：D.

08

【變式9-1］(2025?湖北?一模)已知奇函數(shù)/(%)在1<上是增函數(shù)，9(%)=%/(%).若a=5(-log25.1),ZJ=5(2-),

c=0(3)，則。，b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解題思路】首先利用奇函數(shù)〃乃的性質(zhì)及單調(diào)性推出g(%)在(0,+8)上的單調(diào)性，再判斷g(%)的奇偶性，然

后比較-log25.1,2。巴3的大小關(guān)系，最后根據(jù)以乃的單調(diào)性得出a,b,c的大小關(guān)系.

【解答過程】已知奇函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，f(0)=0,所以當久>0時，/(%)>f(0)=0.

又因為/(%)在R上是增函數(shù)，所以/'(%)>0.對于g(%)=%/(%),“(%)=/(%)+

所以當%>0時，"(%)=/(、)+%廣(%)>0,這就表明g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

對于9(%)，在R上，。(一%)=(-%)/(-%).因為/(%)是奇函數(shù)，即/(一%)=-/(%)，

所以g(-久)=(-%)/(-%)=(-%)x(-/(%))=x/(x)=g(%),所以g(x)是偶函數(shù).

根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，y=log2》在(0,+8)上單調(diào)遞增，因為2=log24,3=log28,且4V5.1V8,所以2V

log25.1<3.

又根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，y=2%在R上單調(diào)遞增，因為2。=1,21=2,且0V0.8<1,所以1<2“v2.

因為9(%)是偶函數(shù),所以a=^(-log25.1)=^(log25.1).

08

由g(%)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且1<2<2<log25.1<3,可得9(2?！?<(g(log25.1)<g(3),即匕<a<c.

故選：C.

【變式9-2](2025?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=2|%+m|+log3(%+m)2.若/(X+1)為偶函數(shù)，a=

y(|),b=/(V^),c=y(嗎)，則()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】A

【解題思路】首先根據(jù)條件判斷函數(shù)f(x)的對稱性和單調(diào)性，再根據(jù)自變量的大小，比較函數(shù)值的大小.

【解答過程】若函數(shù)/。+1)是偶函數(shù)，所以/(-x+1)=/(x+l),所以函數(shù)/O)關(guān)于直線久=1對稱，

函數(shù)/'(X)=2|x+m|+Iog3(x+m)2關(guān)于直線x=—對稱，所以—m=1,即m=—1,

2

/(%)=2|x—1|+log3(x-I),函數(shù)y=\x-1|和1=log3(x—1)2在區(qū)間(一8,1)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+8)

單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/O)在區(qū)間(-8,1)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+8)單調(diào)遞增，

因為1V?,所以/(也9</(習</(值)，即b>a>c.

故選：A.

【變式9-3](2025?天津紅橋?二模)已知/⑺是定義在R上的偶函數(shù)且在[0,+8)上為減函數(shù)，若a=f(log33),

b=/(0.911),c=/(0.912),則()

A.c>b>aB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的定義及對數(shù)的運算，利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【解答過程】因為f(x)是偶函數(shù)，

所以a=f(log：3)=f(Tog23)=/(log23),

由1唯3>logz2=1,

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)y=0.9支在R上單調(diào)遞減，且1.1<1.2,

所以1>0.9］」>0,912>0,

所以logz3>1>0.911>0.912>0,

因為/'(X)在［0,+8)上為減函數(shù)，

所以/(log23)<f(0.911)</(0.91-2),即a<b<c.

故選：A.

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2025?天津南開?模擬預(yù)測)若2a=3=logb9,c=e嗚，則實數(shù)a、b、c的大小順序為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【解題思路】求出a、b、c,利用對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性可得出a、b、c的大小順序.

1n

【解答過程】由題意可得a=log23,b3=9,可得b=9"c=-,

因為對數(shù)函數(shù)y=log2第為(0,+°°)上的增函數(shù)，貝Ij2=log24>a=log23>log22=1,

iii

嘉函數(shù)y=如在(0,+8)上為增函數(shù)，則b=93>83=2,

故b>a>c.

故選：D.

2.(2025?河南許昌?模擬預(yù)測)已知a=3嚙3?4,。=91*3.3,?=(或1哂。3,貝|］()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合指對數(shù)運算比較大小.

10031003

【解答過程】由題意知b=9啕63.3=3扣g23.3=3log2V33,c=(|)^-=S-^=3陶當，

又函數(shù)y=log2久在(0,+8)上單調(diào)遞增，而3.4>y>V33,即log23.4>log2m>log2V33,

.io.—

又y=3方在R上單調(diào)遞增，所以3%23-4>3睡2行>3唾2房，即a>c>6.

故選:D.

3.(2025?山東泰安?模擬預(yù)測)a=0.3°7,b=0.70-3,c=logo.70.3,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別求得a,b,c的取值范圍，即可求解.

【解答過程】由幕函數(shù)y=%°?7為增函數(shù)，得。=0.3。?7〈0.7。"；

由指數(shù)函數(shù)y=0.7%為減函數(shù)，得0.7。?7<b=O,703<0.7°=1；

由對數(shù)函數(shù)y=logo.7%為減函數(shù)，得c=log070.3>log070.7=1.

所以c>b>a.

故選：A.

4.(2025?海南?模擬預(yù)測)若久=3°?y=]og54,z=cos2,則％,y,z的大小關(guān)系為()

A.z<x<yB.y<x<z

C.y<z<xD.z<y<x

【答案】D

【解題思路】由指數(shù)函數(shù)y=3%的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，且cos2<0,即可比較大小.

【解答過程】由指數(shù)函數(shù)y=3%的單調(diào)性可知3。占>3°=1,

由對數(shù)函數(shù)y=logs%的單調(diào)性可知0