§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算課標(biāo)要求1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.通過(guò)函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)記作或.

f'(x0)=limΔx→(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))f'(x)=y'=limΔ2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的，相應(yīng)的切線方程為.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=

f(x)=xα(α∈R，且α≠0)f'(x)=

f(x)=sinxf'(x)=

f(x)=cosxf'(x)=

f(x)=ax(a>0，且a≠1)f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

f(x)=logax(a>0，且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f'(x)，g'(x)存在，則有[f(x)±g(x)]'=；

[f(x)g(x)]'=；

f(x)g(x)'=(g[cf(x)]'=.

5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.()(2)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.()(3)f'(x0)=[f(x0)]'.()(4)(ex)'=ex.()2.若函數(shù)f(x)=lnx2x+1，則f'12等于(A.0 B.12 C.32 D3.(2024·開(kāi)封模擬)已知函數(shù)f(x)=2x，則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為()A.xy1=0 B.xy+1=0C.x·ln2y1=0 D.x·ln2y+1=04.設(shè)曲線y=e2ax在點(diǎn)(0，1)處的切線與直線2xy+1=0垂直，則a的值為.

1.巧記兩個(gè)常用結(jié)論(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f'(x)|反映了變化的快慢，|f'(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡峭”.2.明確兩點(diǎn)不同區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過(guò)點(diǎn)處的切線：在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條.過(guò)點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條.3.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，每一步求導(dǎo)分不清哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo)而致誤.(2)牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，切忌記錯(cuò)記混.題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1(1)(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.(ln7)'=1B.[(x2+2)sinx]'=2xsinx+(x2+2)cosxC.x2exD.[ln(3x+2)]'=1(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且f(x)=2xf'π3+sinx，則fπ3等于(A.32π3 B.32+π3 C.思維升華(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列命題正確的有()A.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，若f'(1)=2，則limΔB.cosxx'C.已知函數(shù)f(x)=ln(2x+1)，若f'(x0)=1，則x0=1D.設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且f(x)=x2+3xf'(2)+lnx，則f'(2)=9題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點(diǎn)1求切線方程例2(2023·全國(guó)甲卷)曲線y=exx+1在點(diǎn)1，A.y=xe4 B.y=xB.y=eC.y=e4x+e4 D.y=e2命題點(diǎn)2求參數(shù)的值(范圍)例3若函數(shù)f(x)=lnx+2x2ax的圖象上存在與直線2xy=0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

命題點(diǎn)3切線的應(yīng)用例4(2025·廣州模擬)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=ex上，點(diǎn)Q在直線y=1ex上，則|PQ|的最小值為(A.1e2+1 C.ee2+1 思維升華(1)處理與切線有關(guān)的問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.(2)注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P的切線”.跟蹤訓(xùn)練2(1)牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖，方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)r，取初始值x0，f(x)的圖象在橫坐標(biāo)為x0的點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，f(x)的圖象在橫坐標(biāo)為x1的點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2，一直繼續(xù)下去，得到x1，x2，…，xn，它們?cè)絹?lái)越接近r.若f(x)=x22(x>0)，x0=2，則用牛頓迭代法得到的r的近似值x2約為()A.1.438 B.1.417 C.1.416 D.1.375(2)若點(diǎn)A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，則A，B兩點(diǎn)間距離|AB|的最小值為.

題型三兩曲線的公切線例5(2025·廣州模擬)若直線l既和曲線C1相切，又和曲線C2相切，則稱l為曲線C1和C2的公切線.已知曲線C1：f(x)=ex1和曲線C2：g(x)=1+lnx，請(qǐng)寫(xiě)出曲線C1和C2的一條公切線方程：.

思維升華公切線問(wèn)題應(yīng)根據(jù)兩曲線在切點(diǎn)處切線的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過(guò)解方程組求解.或者分別求出兩曲線的切線，利用兩切線重合列方程組求解.跟蹤訓(xùn)練3(2024·福州模擬)已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線，也是曲線y=ln(x)的切線，則()A.k=1e，b=0 B.k=1，bC.k=1e，b=1 D.k=1，b=答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.(1)f'(x0)y'|limΔ2.斜率yf(x0)=f'(x0)(xx0)3.0αxα1cosxsinxaxlnaex1xln4.f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)f'(x)g(5.y'u·u'x自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.A3.D4.1探究核心題型例1(1)BC[(ln7)'=0，故A錯(cuò)誤；[(x2+2)sinx]'=2xsinx+(x2+2)cosx，故B正確；x2ex'=2xe[ln(3x+2)]'=33x+2，故D(2)A[因?yàn)閒(x)=2xf'π3+sinx所以f'(x)=2f'π3+cosx令x=π3則f'π3=2f'π3+cosf'π3=1則f(x)=x+sinx，所以fπ3=π3+sin=32π3跟蹤訓(xùn)練1CD[對(duì)于A，lim=2lim=2f'(1)=4，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，cosxx'=-x對(duì)于C，f'(x)=12x+1(2x+1)'=22x+1，若f'(x0)=1，則22x0對(duì)于D，f'(x)=2x+3f'(2)+1x，故f'(2)=4+3f'(2)+12，故f'(2)=94，故D例2C[因?yàn)閥=ex所以y'=ex(x所以k=y'|x=1=e4所以曲線y=exx+1ye2=e4(x1即y=e4x+e4例3[2，+∞)解析函數(shù)f(x)=lnx+2x2ax存在與直線2xy=0平行的切線，即f'(x)=2在(0，+∞)上有解，而f'(x)=1x+4xa即1x+4xa=2在(0，+∞)得a=1x+4x2在(0，+∞)∵1x+4x≥24=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1∴a≥42=2，∴a的取值范圍是[2，+∞).例4B[令y'=ex=1e，得x=1，代入曲線y=ex中，得P-1，1e，所以|PQ|的最小值即為點(diǎn)-1，1e到直線y=1跟蹤訓(xùn)練2(1)B[由f(x)=x22(x>0)，求導(dǎo)得f'(x)=2x，而x0=2，則f'(x0)=4，又f(x0)=2，于是函數(shù)f(x)的圖象在橫坐標(biāo)為x0=2的點(diǎn)處的切線方程為y2=4(x2)，令y=0，得x1=32則f'(x1)=3，f(x1)=3222=因此函數(shù)f(x)的圖象在橫坐標(biāo)為x1=32的點(diǎn)處的切線方程為y14=3令y=0，得x2=1712≈1.417所以x2約為1.417.](2)2解析點(diǎn)A(a，a)在直線y=x上，點(diǎn)B(b，eb)在曲線y=ex上，即求|AB|的最小值等價(jià)于求直線y=x上的點(diǎn)到曲線y=ex上的點(diǎn)的距離的最小值，過(guò)y=ex上的點(diǎn)(m，em)作y=ex的切線，可得yem=em(xm)，令em=1，可得m=0，故該切線為y=x+1，則直線y=x+1與y=x的距離即為|AB|的最小值，此時(shí)|AB|=11+1=22，即|AB|min=例5y=x(答案不唯一，或填y=ex1)解析設(shè)公切線與C1：f(x)=ex1相切的切點(diǎn)為(x1，ex11)，與C2：g(x)=1+lnx相切的切點(diǎn)為(x2，1+lnx2由f'(x)=ex，則f'(x1)=ex1，則公切線方程為y=ex1(xx1)即y=ex1x+(1x1)e由g'(x)=1x，則g'(x2)=1x2，則公切線方程為y=1x2(xx2)+ln即y=1x2·x+lnx所以e解得x1=0故曲線C1和C2的公切線方程為y=x或y=ex1.跟蹤訓(xùn)練3A[設(shè)直線與曲線