高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省四平市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則的值為（）A.9 B. C.7 D.【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄浚?故選：C2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】因?yàn)橹本€即直線垂直于x軸,根據(jù)傾斜角的定義可知該直線的傾斜角為，故選:C.3.與直線垂直，且在軸上的截距為-2的直線方程為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得所求直線的斜率為，∴所求直線方程為，整理為．故選：A4.如圖所示，在平行六面體中，點(diǎn)為上底面對(duì)角線的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依題意，又，所以，.故選：C5.已知直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸的截距相等，則滿足條件的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】B【解析】分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為時(shí)，，即；②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為時(shí)，則，即.綜上所述，直線共2條．故選：B.6.若圓和圓相切，則等于（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】B【解析】由題意圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；則，所以當(dāng)兩圓外切時(shí)，，解得；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，解得，不合題意；所以.故選：B7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量平面，則點(diǎn)到平面的距離為（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題意，平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為．故選：A8.已知直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），點(diǎn)P在圓上，則點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】解：直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即為，所以直線過定點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與交于點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)到直線的距離為D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【解析】由題意，得：，解得，，故A、B正確，∴到直線的距離，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.10.已知空間向量，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，因?yàn)?，所以，與不共線，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：ACD.11.直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A.5 B.4 C. D.3【答案】BC【解析】曲線表示圓在軸的上半部分，且含端點(diǎn)，當(dāng)直線與圓左上部分相切時(shí)，，解得或（舍去），當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，由圖可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)，知實(shí)數(shù)的值可能是4，.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，則___________.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為，所以．故答案：.13.過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為___________．【答案】或【解析】①直線的斜率不存在時(shí)滿足，②直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，所以切線方程為，即．故答案為：或.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)滿足，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，整理化?jiǎn)得，過點(diǎn)O作AB的垂線交AB于D，則，得.又圓心到直線的距離為，所以，所以，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知點(diǎn)，求滿足下列條件的直線l的一般方程.（1）經(jīng)過點(diǎn)P，且在y軸上的截距是x軸上截距的4倍；（2）經(jīng)過點(diǎn)P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.解：（1）當(dāng)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得直線l的斜率為，可得直線l的方程為，即；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，解得，可得直線方程為，即，所以所求直線l的一般方程為或.（2）直線顯然不過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，即.直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，解得或，故直線的方程為或，即直線的一般方程為或.16.已知向量.（1）若，求的值；（2）求的最小值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，解得；?）因向量，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面ABCD，Q為線段PD上的點(diǎn)，，，．（1）證明：平面ACQ；（2）求直線PC與平面ACQ所成角的正弦值．（1）證明：如圖，連接BD與AC相交于點(diǎn)M，連接MQ，∵，，則，∴，，∵，∴，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；（2）解：平面，平面,，因?yàn)榈酌?則AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，．設(shè)平面ACQ的法向量為，由，，有，令，，，可得，由，有，，則．故直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為．18.如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.（1）證明：為的中點(diǎn)；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨令正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，設(shè)，則，，所以，所以，解得（舍去），即為的中點(diǎn).（2）由（1）可得，，設(shè)是平面法向量，則.令，得.易得平面的一個(gè)法向量為，所以.所以所求銳二面角的余弦值為.19.已知圓過點(diǎn)且與直線相切于點(diǎn)，直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，．（1）求圓的方程；（2）若圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，求證：是定值．（1）解：過點(diǎn)且與直線垂直的直線為：即.又線段，其中的垂直平分線為：即.由，得圓心，又.故圓的方程為：.（2）證明：將代入得：，整理得：.由.設(shè)Ax1,y1，B又，所以，同理：.所以.所以為定值.吉林省四平市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則的值為（）A.9 B. C.7 D.【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄浚?故選：C2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】因?yàn)橹本€即直線垂直于x軸,根據(jù)傾斜角的定義可知該直線的傾斜角為，故選:C.3.與直線垂直，且在軸上的截距為-2的直線方程為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得所求直線的斜率為，∴所求直線方程為，整理為．故選：A4.如圖所示，在平行六面體中，點(diǎn)為上底面對(duì)角線的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依題意，又，所以，.故選：C5.已知直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸的截距相等，則滿足條件的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】B【解析】分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為時(shí)，，即；②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為時(shí)，則，即.綜上所述，直線共2條．故選：B.6.若圓和圓相切，則等于（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】B【解析】由題意圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；則，所以當(dāng)兩圓外切時(shí)，，解得；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，解得，不合題意；所以.故選：B7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量平面，則點(diǎn)到平面的距離為（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題意，平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為．故選：A8.已知直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），點(diǎn)P在圓上，則點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】解：直線l：x－my＋4m－3＝0（m∈R）即為，所以直線過定點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與交于點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)到直線的距離為D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【解析】由題意，得：，解得，，故A、B正確，∴到直線的距離，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.10.已知空間向量，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，則，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，因?yàn)?，所以，與不共線，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：ACD.11.直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A.5 B.4 C. D.3【答案】BC【解析】曲線表示圓在軸的上半部分，且含端點(diǎn)，當(dāng)直線與圓左上部分相切時(shí)，，解得或（舍去），當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，由圖可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)，知實(shí)數(shù)的值可能是4，.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，則___________.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為，所以．故答案：.13.過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為___________．【答案】或【解析】①直線的斜率不存在時(shí)滿足，②直線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，所以切線方程為，即．故答案為：或.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)滿足，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，整理化?jiǎn)得，過點(diǎn)O作AB的垂線交AB于D，則，得.又圓心到直線的距離為，所以，所以，即.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知點(diǎn)，求滿足下列條件的直線l的一般方程.（1）經(jīng)過點(diǎn)P，且在y軸上的截距是x軸上截距的4倍；（2）經(jīng)過點(diǎn)P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.解：（1）當(dāng)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得直線l的斜率為，可得直線l的方程為，即；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，解得，可得直線方程為，即，所以所求直線l的一般方程為或.（2）直線顯然不過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，即.直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，解得或，故直線的方程為或，即直線的一般方程為或.16.已知向量.（1）若，求的值；（2）求的最小值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，解得；?）因向量，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面ABCD，Q為線段PD上的點(diǎn)，，，．（1）證明：平面ACQ；（2）求直線PC與平面ACQ所成角的正弦值．（1）證明：如圖，連接BD與AC相交于點(diǎn)M，連接MQ，∵，，則，∴，，∵，∴，平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；（2）解：平面，平面,，因?yàn)榈酌?則AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，．設(shè)平面ACQ的法向量為，由，，有，令，，，可得，由，有，，則．故直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為．18.如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.（1）證明：為的中點(diǎn)；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨令正方體的棱