2025-2026高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)試卷：平面向量解答題專項(xiàng)練

一、平面向量的線性運(yùn)算（本大題共1小題）

1.如圖，在4c中，DC=2BD，E為力。的中點(diǎn)，過點(diǎn)￡的直線分別與邊48,AC交于點(diǎn)、M,N

UUULUUflULOUULU

（不含端點(diǎn)）.若4W=x九5，AN=y4C，x,y>0.

（1）用麗,萬表示布（請(qǐng)寫出具體推理步驟）；

（2）求,的值

x2y

二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（本大題共6小題）

2.在銳角三角形48c中,角4瓦C所對(duì)的邊分別為「仇c,且?sinC+病sin8=4asin8sinC

（I）若2bsinB+2csinC=6c+G”，求V48C面積的取值范圍；

（2）已知^^sin8+c--lcos5=x/7,b-c=2.

2I2）

（i）求8c邊上的高；

（ii）若力。是/A4C的平分線，交〃。于點(diǎn)0,且而=〃?而+〃正，求加-〃的值.

3.如圖，在平行四邊形48co中，AP1BD,垂足為P.

（1）若淳.怒=8，求4尸的長(zhǎng)；

（2）設(shè)|萬|二6,|祝|二8,N84C=E,萬=x^+y充,

3

①用向量而，就表示向量而；

②求y-x的值.

4.已知向量。=（2,1）,5=（-2,3）,1=（5,-1）.

（I）^6a+h-2c;

（2）若萬=凝+位,求實(shí)數(shù)加，〃的值;

⑶若（，+砌〃管求實(shí)數(shù)&的值.

5.己知方=（1/），^=（0,-2）.

（|）若%-5與□+涕共線,求上的值.

（2）若35-A石與"+B的夾角為90。，求女的值.

<3）求向量占在向量石上投影向量.

第1頁(yè)，共37頁(yè)

6.已知q,6是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若4B=25一々,BP=ei-3e,,PC=e1+2e2.

(I)證明：A,B,C三點(diǎn)共線；

uur..

(2)若e,=(l,O),e2=(0,l),點(diǎn)。(2,1),B,C,D,尸恰好構(gòu)成平行四邊形68尸,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

/、__,、UU1__

7.已知點(diǎn)0(0,0),向量04=(2,3),08=(4,-3),。。=(").

(1)若反_L荔，求2的值；

(2)若點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上，且|萬卜亨而卜求點(diǎn)P的坐標(biāo).

三、平面向量的數(shù)量積(本大題共26小題)

8.已知平面向量八B,若同=1,問=2,歸-涕卜歷.

(1)求向量不與石的夾角：

(2)若5=1+區(qū)，d=4ta+b，向量2與向量［共線且方向相反，求實(shí)數(shù)/的值.

9.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形48CO中/8月。=60。.

⑴求標(biāo)衣；

(2)若￡為對(duì)角線力。上一動(dòng)點(diǎn)連結(jié)8E并延長(zhǎng)，交CO于點(diǎn)尸，連結(jié)/廣，設(shè)豆=7以(04241).當(dāng)義為

何值時(shí)，可使療?命最小，并求出而?旃的最小值.

10.設(shè)0vav乃v6v2萬,向量a=(1,-2),B=(2cosa,sina),c=(siiV?,2co^?),2=(coM，-2si哨

<1)若6_LB,求a；

(2)若I，+2|=6求sin^+cos夕的值；

(3)若tanatan/=4,求證：bf/c.

11.如圖，在直角梯形48CD中，|方|=2,Z.CDA-y,而=2E，/B為直角,七為48的中點(diǎn)，

DP=ADC(&R，0^2^1).

(2)求|而|的最小值，并指出桎應(yīng)的實(shí)數(shù)2的值.

12.已知向量值=31+4］出=91+12￡/=41-3瑟，其中［=(1,0)￡=(0,1)

(I)若(萬+廟)1.(5-1),求〃的值：

第2頁(yè)，共37頁(yè)

(2)若麗=2n-6,a,求向晟聲在向量力上的投影向量的坐標(biāo).

13.已知向量值=(3,"),b=(1,2),c=(0,1).

(I)若方〃?+/),求人的值；

(2)若,+q=4,求cos@E).

14.已知平面向量入5滿足問=1,[*2,(2a+6)p-b)=-3.

(I)求￡在3上的投影向量(結(jié)果用5表示)：

(2)求cos(a,a+B)；

(3)a-c=bc=2f求卜|.

15.在V/18C中，。、b、c分別為VZ8C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，滿足一"，。為力的

中占

(I)求角。的大??；

(2)若。=3,b=4,求線段C。的長(zhǎng)度.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，力(1,1),^(2,-11.

(1)求向量布與向量次夾角的余弦值：

(2)點(diǎn)C是線段46的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

17.己知平面向量滿足￡=(24),歷卜6(工+5)_LG-35).

(I)求向量2與右的夾角；

(2)求向量%+否的模.

18.已知平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)4(-2,0),3(2,-3),單位向量而與向量而垂直.

(I)求單位向量獲的坐標(biāo)；

(2)若云=?而+礪，且碇〃￡,求向量正在｝方上的投影向量2.

19.某數(shù)學(xué)興趣小組探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形的三條邊所對(duì)的外

接圓的三條圓弧(劣弧)，沿者三角形的邊進(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為

該三角形的垂心(即三角形三條高線的交點(diǎn))，如圖，已知銳角V48C中，BC=4,其外接圓。的半徑

為的,且三條圓弧沿V48C三邊翻折后交于點(diǎn)

(2)若點(diǎn)r為劣弧而d上一動(dòng)點(diǎn)，求無?元的最小值；

(3)若瓦5.祀=-10，求H4+I/B+HC的值.

20.在平行四邊形力8。。中，E為48的中點(diǎn)，點(diǎn)?G滿足方=2萬，GC=2BG.

(I)用布，而表示麗，EG;

第3頁(yè)，共37頁(yè)

(2)若EF工EG,求一；

(3)若4B=4D=1,求3(而+麗)?麗+阿|的取值范圍.

21.如圖，在平面四邊形力8c。中，VN8C是等邊三角形，點(diǎn)E,尸分別是CO,4C的中點(diǎn)，AD=\,

CD=2,//。C=120°.

(I)求力C；

(2)求sin/GW；

(3)求麗?麗.

22.如圖，在直角梯形力8c。中，AB//CD,AD1AB,/0=2百，CD=2,月8=4,尸為BC的中

點(diǎn)，點(diǎn)E滿足麗=4覺，北［0口.

(I)用而與而表示萬；

(2)求存?療的取值范圍；

23.平面內(nèi)給定三個(gè)向量"=(3,2)方=(-1,2)1=(4,1).

(1)求7號(hào)E+"的夾角的余弦值：

(2)求滿足a=/疝-〃c的實(shí)數(shù)力，

24.在平行四邊形4BCO中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，G分別是4。，8c的三等分點(diǎn)(=；力。，

BG=；BC),設(shè)通工，AD=b.

⑴若同=4,阿=3,儂一3日)儂+5)=13,求￡與5的夾角仇

⑵若w=|同

第4頁(yè)，共37頁(yè)

①而與詼夾角余弦值；

②判斷四邊形EFCG的形狀，并說明理由.

25.已知￡=(〃】』)，石=(1,石)，K=(cos2e,sin6cose)(0<e<5.

(I)若￡〃(2->),求機(jī)的值；

(2)若加工=1,求夕的值.

26.在V48c中，麗=2反，E為力。中點(diǎn)，BE與4D交于點(diǎn)F.

(I)設(shè)獷=2而，求實(shí)數(shù)％的值：

(2)若/"C=9(T,AB=2tAC=3,設(shè)M是4。上一點(diǎn)，且麗.麗=祝?麗，求百7方的值.

27.如圖，在V48C中，AB=AC,M,N分別是力。的中點(diǎn).

(1)設(shè)刀=￡，AC=h^試用5，%表示麗，CA7：

(2)若BNLCM,求cos/BWC.

28.已知向量1和5,且同=2,忖=2,<25>=60‘求：

(I)的值

(2)恢+.的值

(3)25+反與5的夾角。的余弦值.

29.已知平面向量1=(1,x),b=(2x+3,-x).

(I)若dJ.B，求》的值；

(2)若求卜一4.

30.已知向量入3滿足同=1,W=2,且匠孫,+31)=-5.

(I)若(4135)1.胸+5),求實(shí)數(shù)k的值；

(2)求￡與％+方的夾角.

31,已知"=(1,一2),5=(41),5=(—2,3).

(I)若GJ.B，求人的值；

(2)當(dāng)上為何值時(shí)，(a+2c)//(ka-c)?

32.已知向量￡=(一1,32)方=(5,2-1).

(I)若［〃九求2的值；

(2)若(2〃+山(。叫,KA>0,求(a叫B.

第5頁(yè)，共37頁(yè)

33.已知向量瓦5滿足同=4,同=2石與B的夾角為條

（I）求忸-年

（2）當(dāng)4為何值時(shí)，向量3G+2?與府+B垂直？

四、平面向量應(yīng)用舉例（本大題共3小題）

34.（1）敘述余弦定理，并用向量法證明；

（2）敘述正弦定理，并用向量法證明（僅證明鈍角三角形的情形，設(shè)力為鈍角）；

（3）用正弦定理證明余弦定理.

35.如圖，G為AO/iB的中線的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線分別交0408兩邊于點(diǎn)P,。，記

OA=a,OB=b設(shè)麗=工刀，麗=y麗.

（I）試用向量1,3表示前；

X+V

（2）判斷一1是否是定值，若是，求出該定值，若不是，說明理由；

xy

（3）設(shè)△OP。的面積為s,△。4B的面積為了，求下的取值范圍.

36.如圖，A/,GN是以點(diǎn)。為圓心，OB為半徑的麗工的點(diǎn)，點(diǎn)、M、N關(guān)于直線OC對(duì)稱，

OCJ.AE,OA=OE,ZBAE=ZAED.如果以線段￡4所在直線為實(shí)軸，以線段CO所在直線為虛軸，建

立亞平面.則48兩點(diǎn)在夏平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為4=4后,Z2=5百-5i.

（3）點(diǎn)"在何位置時(shí)，五邊形用WCN。的面積S取到最大值，并求出該最大值.

五、專題綜合（本大題共7小題）

37,如圖，我們把由平面內(nèi)夾角為60。的兩條數(shù)軸ox,少構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為“完美坐標(biāo)系”，設(shè)l，I分

別為。x,（沙正方向上的單位向量，若向星麗=.屹十y%,則把實(shí)數(shù)對(duì)［匹習(xí)叫做向星麗的“完美坐標(biāo)

第6頁(yè)，共37頁(yè)

(I)若向量存的“完美坐標(biāo)”為［3,4］,求|西;

(2)已知［再以］,卜必］分別為向量值，E的“完美坐標(biāo)”，證明：a-b=x).r2+y}y2+^(x］y2+x2y］)；

(3)若向量不，不的“完美坐標(biāo)”分別為［2sinx,l］,［2cosx,l］,設(shè)函數(shù)/(%)=萬?鼠若對(duì)任意的

不等式砌x)*in2K恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

38.設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量嬴［的夾角為6,定義一種運(yùn)算“③”：機(jī)=%〃sin。.試求解下列問題.

(I)已知向量￡,坂滿足)=(1,2),同=2,75=4,求的值；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)/((),-1),3(-3,0),C(-2,2),求的值;

(3)已知向量-一—IJ=faG(^，求的最小值.

\cosasinay\sinacosaJ\2J

39.人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù).主要應(yīng)用距離測(cè)試樣本之間的相

似度，常用測(cè)量距離的方式有3種，設(shè)題小必),8瓦,外)，則歐幾里得距離

0(48)=；曼哈頓距離"(48)=|再—&|+1乂—為I；余弦距離式力，0=I-cos(4B),

其中cos(48)=cos〈厲，礪〉(。為坐標(biāo)原點(diǎn))

(I)若力(1,2),8(3,4),求48之間的余弦距離e(44)；

(2)已知0＜a＜。＜^,M(5cosa,5sincr),Ar(13cos/7,13sin/?),P(5cos(a+/?),5sin(?+/7)),若

cos(^,P)=—,cos(.W,7V)=—,求M、P之間的曼哈頓距離;

1365

(3)若點(diǎn)”(3,0),d(M,N)=2,求e(M,N)的最大值.

40.設(shè)。,48是平面上任意三點(diǎn)，定義向量的運(yùn)算：RT(E,而卜司?礪，其中歷由向量5以點(diǎn)O

為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)方為零向量時(shí)，規(guī)定H7也是零向量.

(I)若)=(2,1),歷=(一1,1),求RT(麗麗)，RT(OB,OA)；

(2)若不/為不共線的向量，滿足+=wR),請(qǐng)解答下面的問題：

RT(咽

<i)證明：一H4：

RT(a,6)

(ii)求［RT(叫"RT但中+RT(?㈤葉G的值.

41.如圖，設(shè)Ox、Or是平面內(nèi)相交成a(0<a<兀)的兩條射線，%,1分別為Ox,同向的單位向

..-—Ultt，、

量，定義平面坐標(biāo)系X。箕為仿射坐標(biāo)系，在a-仿射坐標(biāo)系中，若=+>q，則記OP=(x，V)-

第7頁(yè)，共37頁(yè)

￡

B

r

(I)在:-仿射坐標(biāo)系中，若z=(后」)，求卜卜

(2)在a-仿射坐標(biāo)系中，若7=(-1,3),5=(-3』)，且￡與坂的夾角為求cosa；

(3)如圖所示，在g-仿射坐標(biāo)系中，B,C分別在x軸，N軸正半軸上，甌卜I,OD=-^OC,E,

產(chǎn)分別為8。、BC中點(diǎn)、,求瓦.礪的最大值.

42.定義非零向量的=(a,b)的“相伴函數(shù)”為/(x)=asinx+bcosx,(xwR),向量?jī)?(a,b)稱為函

數(shù)/(x)=asinx+Acosx(xeR)的“相伴向量”(其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(I)設(shè)函數(shù)“3=2$喑7卜。5仁+，，求函數(shù)“X)的“相伴向量”兩的坐標(biāo)；

⑵記麗=(0,2)的“相伴函數(shù)”為了(%),設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+2石|sin4|T,xw[0,2句,若方程

g(x)=k有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)々的取值范圍；

(3)已知點(diǎn)M(d〃)，(/-0)滿足條件：且向量?jī)傻摹跋喟楹瘮?shù)”/(可在x=當(dāng)時(shí)取得最

大值，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x0的取值范圍.

43,向量作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，在代數(shù)與幾何中發(fā)揮著重要橋梁作用，不僅在平面幾何學(xué)中有著廣

泛的應(yīng)用，在空間中、物理學(xué)、工程學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域也同樣發(fā)揮著重要的作用.它們通過向量的

運(yùn)算，使得我們能夠描述和分析現(xiàn)實(shí)世界中的各種現(xiàn)象和問題.其中數(shù)量積的運(yùn)算就很好的解決了物理

中做功的概念，其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù).向量在空間中還有一種運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果仍是一個(gè)向量，即向

量的又積(外積)，記作：axb.規(guī)定：①UxZ；為同時(shí)與5垂直的向量，且與Ex]為相反向量；

②方xB卜同麻貼力(他?為向量方與B的夾角)；

(?)證明：Bx耳=J,「w-；

(2)如圖，已知棱長(zhǎng)均為1的平行六面體4AC。-力畫GR,且/氏4。=/844=/4/。=60。，計(jì)算

1(篇x通)?怒|的值，并解釋其幾何意義.

(3)有一正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四個(gè)平行平面%，%，&上，且兩相鄰平行平面羽離為1，

第8頁(yè)，共37頁(yè)

求該四面體的棱長(zhǎng).

第9頁(yè)，共37頁(yè)

參考答案

1.【答案】(1)~AD=-AB+-AC

33

(2)3

【詳解】(1)而=1方+國(guó)5=刀+：壇=1萬+；！阮-荏)=2萬

3、)3

(7)~AE=-JD=-AB+^AC=^AM+^—AN,

2363x6y

"七三點(diǎn)共線，$々=1,-11

+一=3

x2y

3V3"

2.【答案】(1)

(2)(i)(ii)Y

142

【詳解】(1)B>^>/3^sinC4-\/3csin5=4asin5sinC?

0TIU\/3sinBsinC+V3sinCsin=4sinAsinBsinC.

因?yàn)椤?lt;8<工，0<C<^,所以sinBwO,sinCVO,所以sin八巫,

222

又。＜力《，所以44

由正弦定理得一2」里,sin八業(yè)，sinC=叵,

sin5sinCsin432a

需=慶+百〃，整理得〃+。2一/2abe

代入2/?sinB+2csinC=be+Via，得2b+2c

3

由余弦定理得/+c，2-1=A,所以8°?二立abc，a=&，〃=2sin8,c=2sinC,

3

二正

所以,，加sin/=\/isin〃sinC=Gsin4sin--Bsin|2B--

2I3"TI64.

因?yàn)閂/4C為銳角三角形，所以。且"+H即受入1

23262

r-r-||兀er*兀5兀a，旦s”巫

所以V一<2B—<—,-<sin|2S--

6662，6J2△，BC4

fx/33四

故VABC面積的取值范圍為

回所以

(2)(i)m^)—sinB+\c--cosB=ccos8-6cos18+g=6,

2I2

第10頁(yè)，共37頁(yè)

因?yàn)?=E71,所以cos5+—I=cos(4+N)=—cosC,所以cco$4+Z>cosC=.

3I3J

設(shè)&為V//8C外接圓的半徑，分為8C邊上的高.

由正弦定理,得2&(sinCcos8+sin8cosC)=2Rsin(8+C)=2RsinZ=y/1,

所以2Hsin力=J7,即〃=

由余弦定理，=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b-c)2+bc,解得兒=3,

所以SI*='bcsin4==，上="J

,sc24214

(ii)由b-c=2,be=3,解得〃=3,c=1.

因?yàn)榱?。是N44C的平分線，所以/歷1。=/。。，

DBCD

又sinNBAD=----sinB,sin/CAD=sinC,

ADAD

…，DBsinCc1

所以---?1=—=—

CDsinBa3

所以力0=45+40=44+^8C=力AC-ABfAB\AC-

因比，〃'=?〃=；，卅一〃的值為1

3.【答案】(1)2

一一一2

(2)BD=AC-2AB；~

【詳解】(1)

???在平行四邊形44co中，AP1BD,垂足為〃，

.?.===JP+0=8,

...(祠2=府］=4,

解得|萬卜2,故月尸長(zhǎng)為2.

(2)?~BD='AD-AB=BC-78=75-1B-~AB=~AC-2AB

@-：AP=xAB+yAC=xAB+2yAO，月.民尸,。三點(diǎn)共線，

/.x+2y=1,

又而卜6,|AC\=8,/BAC=1,

據(jù)網(wǎng)

則存.而=cos/84c=12,

由4P_L8O可知".麗=卜麗+2夕就）.（怒-方）二0,

展開2J，)。?-x~AB2+(x-2y).NO=()，化簡(jiǎn)得到V=3x

132

聯(lián)立解得x=,,y=,,^y-x=-.

第11頁(yè)，共37頁(yè)

4.【答案】(1)(0,11)

,78

(2)m=——，〃=—

1313

7

(3)k=-

3

【詳解】(1)va=(2,l)^=(-2,3),c=(5,-l),

7.6?+^-2c=6(2,l)+(-2,3)-2(5,-l)

=(12,6)+(-2,3)-(10,-2)

=(031).

(2)???1=(-2,3),5=(5,-1),

mb+nc=w(-2,3)+/;(5,-l)

=(-2m,3加)+(5〃,-〃)

=(-2〃?+5〃,3，〃一〃)

又。=mB+位，

7

m=一

2=-2ni+5n

解得

1=3m-n

所以6=77,〃=7T

(3)va=(2,l),^=(-2,3),c=(5,-l),

.?.)+必=(2,1)+左(一2,3)=(2—及.1+3左)，

c-2a=(5,-l)-2(2,l)=(l,-3),

'：(a+kb)//(c-2a)f

.?.3(2-2幻+(l+3A)=0,

解得

5.【答案】(1)一工；

2

(2)-6；

(3)(0,1).

【詳解】(1)因?yàn)?=(1,1),6=(0,-2),

所以垢一NXAM+Z),?+26=(1,-3),

因?yàn)锳Z-5與@+2月共線,所以-3￡="+2,解得左=-5；

(2)因?yàn)?口一花=(3,3+2左)，35+Zr=(3,l),

又3,-口與3,+方的夾角為90°,

則(32-序)?(3G+5)=3x3+3+2/=0，解得上=一6；

第12頁(yè)，共37頁(yè)

(3)因?yàn)榭诙?)，B=(0,-2),

所以展在=-2，|加=2,

zl.A-1-

所以向量萬在向量入上投影向量為右小=-3〃=(01).

6.【答案】(1)見詳解

(2)(0,2)

---------一一ULUULU

【詳解】(1)因?yàn)锽C=BP+PC=2%-4,所以/18=8C.

又因?yàn)?瓦4^有公共點(diǎn)點(diǎn)8,

所以4B,。三點(diǎn)共線.

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x/),則麗=(2-x』-y),^C=S?+PC=2^-^=(2,-l),

因?yàn)?,C,D,P恰好構(gòu)成平行四邊形8CQP.所以防=豆不，

2-x=2x=0

即《—解得

y=2

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2).

7.【答案】(I)A=1

(2)(8,-15)

【詳解】(1)AB=OB-OA=(2,-6),

因?yàn)榉確L而，所以反?方=2-62=0,

得％=；：

(2)設(shè)蛆了)，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段”的延長(zhǎng)線上且網(wǎng)臼網(wǎng)

所以而吳麗,

2

3,

》-2=3(..4)

A=8

所以，解得：.

y=-15"

y_3=](y+3)

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(8,-15).

8.【答案】(1)y

(2)/=--

2

【詳解】(1)因?yàn)锽-”卜同，

則,一ZB)?二-4二B+4戶=同?一4同?忖cos(2B)+4,

=1-8COSG，5)+16=21,

解得85他萬)=彳，又因?yàn)?W他B〉。，

第13頁(yè)，共37頁(yè)

因比，々方）=與，即向量值、石的夾角為經(jīng).

（2）因?yàn)橄蛄?與向量0共線，所以存在實(shí)數(shù)〃吏得G+區(qū)=2（4位+B）,

^a+tb=4Ata+Ab，

因?yàn)橄蛄糠脚c5不共線，所以丫=:'，

/=X

解得;或;，

t——I-

22

因?yàn)橄蛄恳遗c2方向相反，所以義＜o(jì),

所以￡=

2

9.【答案】（1）6

（2）2

【詳解】（1）在菱形H8CO中，易知祝=荔+而，|刀卜|加卜2,

所以在?衣二刀?（而+碼二|西2+而五B

=4+|j^||j5|cos60°=4+4x^-=6.

（2）在菱形力8。。中，ABHCD,易知AEFCS^EBA,

__CFICFI__

由豆=4屬，則==m=4，即斤=一/1方，

AB陽(yáng)

所以萬.麗=（益+淤+#）?（BC+CF）=［（1-%而+而］何一MlT］

=（1-2）^-JD-2（1-A）pw|2+JD=4A乙”+6,

故麗麗=4僅—1『+2,所以當(dāng)2=1時(shí)，萬.而取得最小值為2.

10.【答案】（1）a=-

3

(3)見詳解

【詳解】(1)若2_Z,5，Mab-2cosa-2sincr=0?tancz=1?

再由0＜。＜乃，可得。=￡；

(2)由題意可得0+2=(sin夕+cos夕2cos夕一2sin夕),

.,.「+《=yj(s\nft+cos/?)2+(2cos^-2sin/?)2=J5_6sin/7cos/?=也,

sin夕cos/7=g.

結(jié)合乃＜夕＜2不，可得夕為第三象限角，故sin￡+cos￡＜0,

第14頁(yè)，共37頁(yè)

sin/?+=—^sin/?+cos/?)2=—J+2sin/?ccs/?=-.....：

3

(3)若tana?tan夕=4,則有剋絲?又黑=4,

cosacosp

2cosa2cos/?=sintzsin/?,

6=(2cosa,sina),c=(sin^,2cos^)

故

11.【答案】(1)775c+7S3

64

⑵”(

48

11——

【詳解】(1)解:因?yàn)楫?dāng)％=§時(shí)，DP=qDC,

所以而(PA+PB)

=7[(次一而)+d+E)]

-1(5J-1DC+-DC+-DA)

2332

1—.,3一

=6DC+4DA

(2)因?yàn)槎?g(9+而)

=^[(DA-DP)^-(PC+CB)]

=；麗"就+(1-2)覺+；麗

=1[|S3+(1-22)^C]

3I1-24

=-DA+^—DC,

42

由于I蕩1=2,ZCZ)J=1,DJ=2C5，知I比|=|方1=2,

???屁F=1>2+中反2+22防皮

1Q27

4A2-7A+—

4816

因?yàn)?W/IWI,所以當(dāng)2=（7時(shí)，|而F有最小值2二7,

816

即|方I有最小值地.

4

12.【答案】（1）A=-l

'7]_

(2)<5’2

第15頁(yè)，共37頁(yè)

【詳解】(1)解：因?yàn)?=(3,4)山=(9,12),5=(4,-3),

所以1+序=(3+94,4+12左),5—5=(5,15),

因?yàn)?萬+歷)

所以m+=5(3+9〃)+15(4+124)=0,

所以攵=-；；

(2)m=25-^=2x(3,4)-(9,12)=(-3,-4)，

H=5+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),

所以玩?方=一3乂7-4乂1=-25,同=力2+12=5及,

in?n-25(

所以向量所在向量萬的投影向量為L(zhǎng)方=F(7/)二'

Inr50I?4l-

13.【答案】(1)9

⑵一通

13

【詳解】(1)6+?=(1,2)+(0,1)=(1,3),

a//(b+c),故3x3-A=0,解得k=9；

(2)Z+坂=(3㈤+(1，2)=(4,%+2),

￡+4=4,故56+(左+2丫=4，解得〃=-2,

所以］=(3,-2),

/一八ac(3,-2).(0,1)2后

cos(a,c)=丁77=-——六±=-￡=------

'同r同內(nèi)富13

14.【答案】(1)-b

4

⑵也

7

(3)2

第16頁(yè)，共37頁(yè)

(f，G，小180。，???(詞=60°,

fl:OA=afOB=3，OC=c,如下圖所示：

???OA^B=^^-a^=OAOB-OA=\-\=()即況_1.茄，

va-c=bc=2,^OAOC=OBOC=2^

.?.瓦.(礪-刀)=歷.前=0,則反_L而，故刀、灰;共線，即聯(lián)〃：?,

X'*'a-c=2＞0?故a、c同向‘故"式=同卜卜口=2.

15.【答案】⑴y

⑵姮

2

【詳解】(1)因?yàn)閍，+〃=c，—nb，即a?+1/一/=，

ab_1

由余弦定理可得cosC="一小

2ab~2ab~~2'

因?yàn)?＜。＜兀，故。=女.

3

——1—1——

(2)因?yàn)椤?8的中點(diǎn)，所以8=5。+］。？，即2而:0+區(qū)，

所以4CD2=(CA+CB)2=C42+2C4-CB+CB'=CA+2j存josZACB+cF

=/+2bqcosg+a2=16+2x4x3x(-；)+9=l3,故Q)=孚.

16.【答案】(1)-巫

10

⑵俘一與或8)

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),4(1,1),8(2,-1),所以刀=(1,-2),04=(1,1),

則cos(AB,OA)=普罌=—=羋，

\/阿|.同V5-V210

所以向量方與向量方夾角的余弦值為-業(yè)；

10

(2)若點(diǎn)C是線段"的三等分點(diǎn)，則撫=2而或就=g而，設(shè)C(xj)，

第17頁(yè)，共37頁(yè)

當(dāng)祝=2通時(shí)，(x-l,^-l)=2(2-x,-l-j),

5

x=—

x-l=2(2-x)3(51

則X=解得,所以C

1\。J

當(dāng)祝二)時(shí)，(x-lj-l)=g(2-x,-1-y),

%T=；(2-X)4

x=-

3f41)

則J，解得?，所以cRw

1

yT=3(-i-y)y=-

4

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為或

17.【答案】(D四

3

(2)7105

【詳解】(1)由題意|司=26|同=6(2)+分0-3垃=0，

所以2/-575-360,

即3獷+5ab-2a~=3x5+5〃石一2x20=0?

ab=5.

ab51

cos(a,b)=

\a\-\b\一26x石~2,

————冗

?.Ya/〉G[0,n],.,.〈〃力〉=—.

(2)|2a+b\^J(2a+Z)=+4a-b+b2--^0+4x5+5—M)5.

34

18.【答案】(1)145，-5

⑵/、d二=(b32?-劊24)

【詳解】(1)由題意方=(4,-3),設(shè)所求為而=(x,y),

因?yàn)閱挝幌蛄慷c向量而垂直，

33

所以何尸7=15

,解得：

m-AB=4x-3y=Q4

y=-

35

3434

故圻求為

5,5r~5

(2)由題意反=f?+礪=(—2,0)+(2,-3)=(2-2f-3),

因?yàn)榛?/正，且而與向量在=(4,一3)垂直，所以8(1-/)+9=0,

解得/=1，

O

第18頁(yè)，共37頁(yè)

一，9、一

所以℃=(2-2/,-3)=:：,-3卜而04=(—2.0),

從而刀=玩一方=(一苫㈤一(-2,0)=(-7-3^.,

I4)I4)

因?yàn)榇?(4,一3),

~tAC,AB———1+9z（3224

所以向量工在詬上的投影向量［=TT3（44-）二天，在

3

19.【答案】（1）-

4

⑵手

（3）2

7

【詳解】（1）在銳角VZ4C中，???8。=4,其外接圓。的半徑為2行,

梟=2"爭(zhēng)‘解得s"B心今

???由正弦定理可得:

cosZBAC=Jl-(sinNZMC)2=Jl一看=：

由題可知/〃C4=q-N8/lC,/.sinZHCA=sin（--ZBAC）=cosZBAC=

224

（2）設(shè)點(diǎn)〃為V48c的邊8C所對(duì)的外接圓的劣弧，點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn).

由題意及對(duì)稱性可知花.=必?zé)o沅=（MD+DB）-（MD-DB）=MD2-DB'=A/5?-4.

故要使瓦.七取得最小值，只需|前|最小.

在圓。上，由三角形三邊關(guān)系可知?dú)vQ+OOAOM=gg，當(dāng)且僅當(dāng)M,0,0三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)

MD=OM-OD=-/7-yJOD2-BD2=-Jl-yloC2-BD2=-V7--V7=-77.

即歷?元的最小值為w24

(3)由(1)可知：sinNB4C=且，cosZ5/1C=J1--=

4V164

-BOAC=-OBAC=-[0>:.OBAC=10.

又麗.尼=麗?(汝-05)=礪灰-萬歷=|麗'反卜0$/2℃-|麗1J萬卜osN86M,

???由圓的性質(zhì)可知

6464

?—cos2Z.BAC——cos2NBCA=b.

77

第19頁(yè)，共37頁(yè)

,-yx|-ycos2NBC4=10,解得cos2ZBCA=~

.?小/cclcos2ZBCA+11..l\-cos2Z.BCA3xf?

??在銳角Y48C中rh，cosZBCA=.------------=一，sinZ.BCA=.\------------=——，

V28V28

sinZ.ABC=sin（N8C/+Zi?JC）=sinZ.BCAcosZ.BAC+cosZ.BCAsinZBAC=

848416

cos/.ABC=Jl-（sin/"Of9

T?

???由正弦定理可得:d=,"=2土行,

sin/RCAsin/ARC7

o父aQoc

AAB=2x-j7sinZBCA=2x-#x-#=6,AC=2x一行stn/ABC=2x—近一b=5.

7787716

在V力8C中，由點(diǎn)〃是V/18C的垂心可得/<"C=7C-/48C,NBHC=TI-NBAC,ZAHB=it-ZACB.

HAAC

在△力，。中，由正弦定理可得

sinZJC//sinZAI/C

5x112<r

?HA_ACsinZACH_58s4,4C5cos'C

sinZAHCsin（兀一/月4。）sinZABC近—

16

,9

ABsinZBAH6cosZ48C6cosZ45C。、m9<T

同理口|■得H8=-----------=-------------=----------------.

3土J"sinAAHBsin（兀一N/C8）sin/ZCB367

~T

BCsxn^CBH4cosN4c44cos4x?2,

nC=------------=-------------=----------=—7="=---

sinZ.BHCsin（7r-N8/C）sinZBAC々7

7

.,.HA+HB+HC=^3i史衛(wèi).

7777

20.【答案】（1）濟(jì)=；而-；萬，EG=^AB+^AD

⑵*

AD3

UUJ-UU1IUUT1UUU*1UUJT

【詳解】（1）由題意知，EF=AF-AE=-AD--AB,

EC=EB+BG=^AB+^AD；

23

（2）若EF工EG,則麗.函=0，

所以（［而而｝（；而+g劉）=0,

可叫珂廿|珂=0,

第20頁(yè)，共37頁(yè)

AB4_4R2

5'加1以M布=3

（3）設(shè)/胡0=8,?！辏?,兀），

?VgEF+￡G=ljD--J5+-J5+UiD=^4D,

32233

所以3（方+函）?麗+國(guó)］

=2JD-（JD-J5）+,（而+而『=2聞2—彷西+J~AB+2AB+~AD2

=2（|可一畫畫cos0）+J珂+2|研畫cos0+|阿

.________02c,

=2