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2025-2026學(xué)年鄂西南三校合作體數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.43.由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長(zhǎng)分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.6425.設(shè),是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,記().下列兩個(gè)命題()①數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù);②數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).A.①正確,②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤,②正確C.①②都正確 D.①②都錯(cuò)誤6.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動(dòng);“書”,指各種歷史文化知識(shí);“數(shù)”,指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng),每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在第三節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種7.我國古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”這個(gè)問題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這位女子每天分別織布多少?根據(jù)上述問題的已知條件,若該女子共織布尺,則這位女子織布的天數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.18.若非零實(shí)數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.10.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)的值可以為()A. B. C. D.11.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.1112.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為,則對(duì)于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,若,且,則實(shí)數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是________.14.已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點(diǎn)都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為___________.15.如圖,機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格,從地移動(dòng)到地,每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,則亮亮從移動(dòng)到最近的走法共有____種.16.的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為______;系數(shù)最大的項(xiàng)是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,直線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)且斜率的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),證明:直線.18.(12分)如圖,是正方形,點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點(diǎn),現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.(1)證明:平面.(2)三棱錐的體積最大時(shí),求二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù),為實(shí)數(shù),且.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間和極值;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間,上的值域(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).20.(12分)某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì),健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”,提高廣大市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度,推出了健身促銷活動(dòng),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:健身時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi),超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元(不足l小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來該健身館健身,設(shè)甲、乙健身時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別為,,健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別為,,且兩人健身時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).(1)設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量(單位:元),求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)此促銷活動(dòng)推出后,健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來參與健身活動(dòng),以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),預(yù)測(cè)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營業(yè)額.21.(12分)如圖,在四棱錐中底面是菱形,,是邊長(zhǎng)為的正三角形,,為線段的中點(diǎn).求證:平面平面;是否存在滿足的點(diǎn),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.22.(10分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來,電子購物平臺(tái)成為人們的熱門選擇.為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī),某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷方案,并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后,對(duì)“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個(gè),對(duì)比上一年度的銷售情況,分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額,并按年銷售總額增長(zhǎng)的百分點(diǎn)分成5組:,分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖,并規(guī)定年銷售總額增長(zhǎng)10個(gè)百分點(diǎn)及以上的營銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.(1)請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”;采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100(2)某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤(rùn),通過分析上一年度的售價(jià)(單位:元)和日銷量(單位:件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表,表中的:①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值;②已知該公司成本為10元/件,促銷費(fèi)用平均5元/件,根據(jù)所求出的回歸模型,分析售價(jià)定為多少時(shí)日利潤(rùn)可以達(dá)到最大.附①:附②:對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
將化成以為底的對(duì)數(shù),即可判斷的大小關(guān)系;由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可判斷出與1的大小關(guān)系,從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)?,?故選:A.本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí),底數(shù)相同,則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大小;若真數(shù)相同,則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.2.B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得?!?選B。3.C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,
若,則,即成立,
若成立,則,即,
故“”是“”的充要條件,
故選:C.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.4.A【解析】
設(shè)球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O,則由球的幾何知識(shí)得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.本題考查與球有關(guān)的組合體的問題,解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè):(1)構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,這是解決與球有關(guān)的問題時(shí)常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c5.A【解析】
利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計(jì)算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.【詳解】因?yàn)?是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,所以,,因?yàn)?所以,即當(dāng)時(shí),數(shù)列中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù),則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,,依次計(jì)算可知,數(shù)列中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng),故②錯(cuò)誤;故選:A.本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.6.C【解析】
根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,即可求解.【詳解】由題意,“數(shù)”排在第三節(jié),則“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí),可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),有3種,再考慮兩者的順序,有種,剩余的3門全排列,安排在剩下的3個(gè)位置,有種,所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選:C.本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用,其中解答中認(rèn)真審題,根據(jù)題設(shè)條件,先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】
將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問題.【詳解】根據(jù)實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,在等比數(shù)列中,公比,前項(xiàng)和為,,,求的值.因?yàn)?,解得,,解得.故選B.本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計(jì)算,對(duì)于解決實(shí)際問題很有幫助.8.C【解析】
令,則,,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.本題考查了利用作差法比較大小,同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.9.C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】
由題意可得,根據(jù),即可得出,從而求出結(jié)果.【詳解】,且,,∴的值可以為.故選:D.考查描述法表示集合的定義,以及并集的定義及運(yùn)算.11.A【解析】
根據(jù)約束條件畫出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡(jiǎn)單題.12.C【解析】分析:根據(jù)最低點(diǎn),判斷A=3,根據(jù)對(duì)稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.詳解:因?yàn)闉閷?duì)稱中心,且最低點(diǎn)為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯(cuò)誤,②正確,③當(dāng)時(shí),,所以與有6個(gè)交點(diǎn),設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為,則,所以③正確所以選C點(diǎn)睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13..【解析】
化簡(jiǎn)集合,由,以及,即可求出結(jié)論.【詳解】集合,若,則的可能取值為,0,2,3,又因?yàn)?,所以?shí)數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是.故答案為:.本題考查集合與元素的關(guān)系,理解題意是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
只要算出直三棱柱的棱長(zhǎng)即可,在中,利用即可得到關(guān)于x的方程,解方程即可解決.【詳解】由已知,,解得,如圖所示,設(shè)底面等邊三角形中心為,直三棱柱的棱長(zhǎng)為x,則,,故,即,解得,故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為:.本題考查特殊柱體的外接球問題,考查學(xué)生的空間想象能力,是一道中檔題.15.【解析】
分三步來考查,先從到,再從到,最后從到,分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù),然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】分三步來考查:①從到,則亮亮要移動(dòng)兩步,一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位,一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位,此時(shí)有種走法;②從到,則亮亮要移動(dòng)六步,其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位,三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位,此時(shí)有種走法;③從到,由①可知有種走法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有種不同的走法.故答案為:.本題考查格點(diǎn)問題的處理,考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.16.【解析】
求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開式中的常數(shù)項(xiàng);求出項(xiàng)的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為,令,得,所以,展開式中的常數(shù)項(xiàng)為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為:;.本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的求解,同時(shí)也考查了系數(shù)最大項(xiàng)的求解,涉及展開式通項(xiàng)的應(yīng)用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)見解析【解析】
(1)設(shè),求出后由二次函數(shù)知識(shí)得最小值,從而得,即得橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程整理,設(shè),由韋達(dá)定理得,設(shè),利用三點(diǎn)共線,求得,然后驗(yàn)證即可.【詳解】解:(1)設(shè),則,所以,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),值最小,所以,解得,(舍負(fù))所以,所以橢圓的方程為,(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得.設(shè),則,設(shè),因?yàn)槿c(diǎn)共線,又所以,解得.而所以直線軸,即.本題考查求橢圓方程,考查直線與橢圓相交問題.直線與橢圓相交問題,采取設(shè)而不求思想,設(shè),設(shè)直線方程,應(yīng)用韋達(dá)定理,得出,再代入題中需要計(jì)算可證明的式子參與化簡(jiǎn)變形.18.(1)見解析(2)【解析】
(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面,由此證得,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得,由此證得平面.(2)判斷出三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系,通過平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫嫫矫媸钦叫危云矫?因?yàn)槠矫?,所?因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓弧上,所以.又,所以平面.(2)解:顯然,當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí),的面積最大,三棱錐的體積也最大.不妨設(shè),記中點(diǎn)為,以為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面的法向量為,則令,得.設(shè)平面的法向量為,則令,得,所以.由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.本小題主要考查線面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19.(Ⅰ)極大值0,沒有極小值;函數(shù)的遞增區(qū)間,遞減區(qū)間,(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)由,令,得增區(qū)間為,令,得減區(qū)間為,所以有極大值,無極小值;(Ⅱ)由,分,和三種情況,考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域,即可得到本題答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,沒有極小值;函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,即函數(shù)的值域?yàn)?;?dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,即函數(shù)的值域?yàn)?;?dāng)時(shí),易得時(shí),,在上單調(diào)遞增,時(shí),,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,最小值為,中最小的,當(dāng)時(shí),,最小值;當(dāng),,最小值;綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)椋?dāng)時(shí),函數(shù)的值域,當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?,?dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.20.(1)見解析,40元(2)6000元【解析】
(1)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況,因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情況,分情況計(jì)算即可(2)根據(jù)(1)結(jié)果求均值.【詳解】解:(1)由題設(shè)知可能取值為0,20,40,60,80,則;;;;.故的分布列為:020406080所以數(shù)學(xué)期望(元)(
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