重難點突破02活用隱圓的五種定義妙解壓軸題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長 2題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值 3題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90° 3題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值 4題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值 403過關測試 6

活用隱圓的五種定義來妙解壓軸題，關鍵在于理解和運用圓的五種基本性質(zhì)。這五種定義包括：到定點的距離等于定長（定義圓）、到兩定點距離的平方和為定值、到兩定點的夾角為90°、邊與對角為定值且對角互補、到兩定點距離之比為定值。解題時，首先要識別題目中的關鍵條件，看是否符合隱圓的某一定義。一旦確定，就可以利用圓的性質(zhì)來簡化問題，如利用直徑所對的圓周角是直角、同弦所對的圓周角相等或互補等性質(zhì)。通過逆用這些性質(zhì)，可以找到隱形圓，進而利用圓的幾何特征求解。這種方法能有效轉(zhuǎn)化復雜問題，使解題過程更加清晰明了。題型一：隱圓的第一定義：到定點的距離等于定長【典例1-1】已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知單位向量與向量垂直，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1-1】如果圓上總存在兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1-2】設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-3】設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【變式1-4】設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的值為（

）A．5 B．10 C． D．題型二：隱圓的第二定義：到兩定點距離的平方和為定值【典例2-1】在平面直角坐標系中，為兩個定點，動點在直線上，動點滿足，則的最小值為．【典例2-2】（2024·江蘇鹽城·三模）已知四點共面，，，，則的最大值為．【變式2-1】已知圓，點，設是圓上的動點，令，則的最小值為．【變式2-2】已知圓:，點，.設是圓上的動點，令，則的最小值為．【變式2-3】正方形與點在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長為1，且，則的取值范圍為.題型三：隱圓的第三定義：到兩定點的夾角為90°【典例3-1】已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為.【典例3-2】已知向量為單位向量，且，若滿足，則的最大值是.【變式3-1】已知點，，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7，【變式3-2】已知圓：和點，若圓上存在兩點，使得，則實數(shù)的取值范圍是.題型四：隱圓的第四定義：邊與對角為定值、對角互補、數(shù)量積定值【典例4-1】已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是.【典例4-2】設向量滿足，，，則的最大值等于()A．4 B．2 C． D．1【變式4-1】（2024·天津·一模）如圖，梯形中，,E和分別為AD與的中點，對于常數(shù)，在梯形的四條邊上恰好有8個不同的點，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【變式4-2】（2024·廣東廣州·一模）在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為．題型五：隱圓的第五定義：到兩定點距離之比為定值【典例5-1】古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏圓”）．在平面直角坐標系中，已知，直線，直線，若為的交點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·江西贛州·模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（2024·湖南·模擬預測）希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值（）的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中，，若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為R，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-2】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，點滿足.設點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（

）A．的方程為B．當三點不共線時，則C．在C上存在點M，使得D．若，則的最小值為1．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點為軸上一點，且，若點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩個定點A、B的距離之比為（，），那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：和點，點，M為圓O上的動點，則的最小值為（

）A． B．C． D．3．已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．如果圓上總存在兩個點到原點的距離為2，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．5．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．設向量，，滿足：，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．（2024·遼寧·模擬預測）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷．平面內(nèi)兩個定點及動點，若（且），則點的軌跡是圓．后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓．點為圓上一動點，為圓上一動點，點，則的最小值為．9．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點A、B，動點P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點，P是圓上的動點，則的最小值為．10．（2024·高三·吉林通化·期末）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262-190年)，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學家；他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)絡殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．比如在平面直角坐標系中，、，則點滿足所得點軌跡就是阿氏圓；已知點，為拋物線上的動點，點在直線上的射影為，為曲線上的動點，則的最小值為．則的最小值為．11．（2024·山東日照·一模）已知向量滿足，，則的最大值為．12．若向量，且向量，滿足，則的取值范圍是