江西省2026屆高三年級(jí)入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：①答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．②回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，必須使用黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．③考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.59 B.61 C.63 D.653.“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.若隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）A. B. C.8 D.5.已知圓臺(tái)的上底面積，下底面積分別為，體積為，則該圓臺(tái)的外接球表面積為（）A. B. C. D.6.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為．直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，且，則的周長(zhǎng)為（）A.24 B.28 C.32 D.367.已知數(shù)列滿足，且函數(shù)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.8.已知為曲線上的兩點(diǎn)，為曲線上的兩點(diǎn)．其中點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)．則矩形的面積最大值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若雙曲線焦距是虛軸長(zhǎng)的倍，則（）A.的離心率為 B.的漸近線方程為C.的漸近線夾角的正切值為 D.的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的倍10.在直角中，且．若的內(nèi)切圓半徑為2，且與線段相切于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.11.贛南臍橙是江西省贛州市特產(chǎn)，中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，被譽(yù)為＂中華名果＂．近年贛南臍橙受黃龍病影響，臍橙產(chǎn)品合格率有所降低．現(xiàn)有6個(gè)臍橙，其中有3個(gè)不合格產(chǎn)品，每次從中抽取1個(gè)且不放回，設(shè)為抽到第2件合格品時(shí)抽取次數(shù)，則（）A.的取值為2，3，4，5 B.時(shí)，共有108種抽取順序C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則的實(shí)部為_(kāi)_____．13.已知，且，則______．（用含的代數(shù)式表示）14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知．若拋物線上有且僅有一點(diǎn)滿足，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.2025年江西省城市足球聯(lián)賽（即“贛超”）在江西各區(qū)市舉行為了研究觀看“贛超”與經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，在城市社區(qū)隨機(jī)調(diào)查了1200人，得到如下的列聯(lián)表：觀看“贛超”不觀看“贛超”經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)67921不經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)121379（1）求觀看“贛超”者不經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)的概率的估計(jì)值；（2）根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析觀看“贛超”是否與經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)有關(guān)．附：．00500.0100.0013.8416.63510.82816.如圖，三棱錐中，，，，，，．（1）若，證明：平面平面；（2）若二面角的正切值為，求三棱錐的外接球表面積．17.已知函數(shù)．（1）若曲線的切線過(guò)點(diǎn)，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值；（2）（?。┣笄€在處切線方程；（ⅱ）設(shè)函數(shù)，判斷有幾個(gè)極值點(diǎn)并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）18.已知數(shù)列，其前項(xiàng)的和為．設(shè)數(shù)列，其中．（1）求；（2）設(shè)，求的值；（3）設(shè)，求使得成立的最大正整數(shù)的值．（其中符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)）19.已知和為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)和也在橢圓上，點(diǎn)A在射線上且滿足，線段與橢圓交于異于的點(diǎn)B，記和的面積分別為，且．（1）用表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）（i）求；（ii）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案1-8【答案】C【答案】D【答案】D【答案】A【答案】B【答案】B【答案】B【答案】A9.【答案】AC10.【答案】BD11.【答案】ABD12.【答案】13.【答案】或14.【答案】3215.【小問(wèn)1】根據(jù)表格可知，觀看“贛超”的800人中有121人不經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)，所以所求概率的估計(jì)值為.【小問(wèn)2】零假設(shè)為：觀看“贛超”與經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，根據(jù)題中表格得：觀看“贛超”不觀看“贛超”合計(jì)經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)67921700不經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)121379500合計(jì)8004001200代入公式得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷不成立，即觀看“贛超”與經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)有關(guān).16.【小問(wèn)1】，解得，在中，由余弦定理，，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，由勾股定理逆定理得，，因?yàn)榍?，所以，又因?yàn)椋?，所以即，結(jié)合前述，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?wèn)2】在中，由余弦定理，，因?yàn)?，所以，所以，解得，在平面?nèi)，過(guò)點(diǎn)A作，取，則在平面內(nèi)，，且，所以，四邊形為矩形，由知，因?yàn)槠矫嫫矫?，又，所以二面角的平面角為，連接PE，則，也即，在中，，解得，又因?yàn)?，，所以，即為直角三角形，，又因?yàn)?，，所以平面，所以，得到，所以平面，由此以矩形為底，為高?gòu)建長(zhǎng)方體，如圖所示，所以可將三棱錐放入長(zhǎng)方體內(nèi)，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于外接球的直徑，，所以．17.【小問(wèn)1】設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，則的方程為，將代入得，得：，，令，解得：，所求三角形面積，，時(shí)，，則單調(diào)遞減，時(shí)，，則單調(diào)遞增，，即所求三角形面積最小值為．小問(wèn)2】（i），則曲線在處的切線方程為，即．（ⅱ），欲求有幾個(gè)極值點(diǎn)，即求有幾個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，①時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，由零點(diǎn)存在定理：，使得，時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)，②時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，③時(shí)，下證：，令，則，時(shí)，，故單調(diào)遞減；時(shí)，，故單調(diào)遞增，，令，則，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，，，恒成立，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，④時(shí)，，但兩者不同時(shí)取得等號(hào)，恒成立，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，綜上可得，有1個(gè)極值點(diǎn)．18.【小問(wèn)1】，，，即，，，即，，同理，，則，而，所以.【小問(wèn)2】由，則，當(dāng)時(shí)，，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，，，.【小問(wèn)3】，下證當(dāng)時(shí)，：①顯然恒成立②，，，故，，，即，又，，因此滿足不等式的最大正整數(shù).